物理方程之美
——数学形式简单性与物理内涵丰富性-Semi

我只是泛泛而谈，从一个普通人的角度谈下对经典物理与现代物理的理解，谈一下对物理美的自己个人的理解。

一、牛顿三定律与万有引力定律
从数学形式看，尤其从现代视角看，牛顿三定律与万有引力定律十分简单，但它们却包含了极其丰富的现实物理内涵，直到今天，火箭、卫星发射运行仍可由它精确计算。数学形式简单性与物理内涵丰富性可以作为物理方程美不美的一条判据。
若方程数学形式极其优美，但物理内涵为空，即不是描述真实世界，那么这方程就没有物理之美，只有数学之美；另一种，物理内涵为真，但数学形式极其丑陋，那么它也不是美的。以上两种情形都不是最美的，只有数学形式之美与物理内涵丰富性和谐统一起来，这样的方程才是最美的，才具有真正的物理之美。所以，牛顿三定律与万有引力定律具有物理之美，再来看看其它情形。

二、Maxwell方程
Maxwell方程也同样具有物理之美，其数学形式也简单优美，物理内涵也极其丰富。
从数学上看，Maxwell方程可以写成多种形式：Maxwell方程组形式，张量形式，旋量形式，微分几何形式等，当然其物理内涵没变，但是不同形式的等价方程，却可以有不同的推广方式，比如Maxwell方程组形式不便以推广到广义协变情形，后三种却可以方便推广到广义协变情形；旋量形式更可以让人看清电磁场方程与Dirac电子方程数学形式上的相似性，并可以将其纳入一般自旋粒子的旋量方程形式体系。

三、Einstein引力场方程
Einstein引力场方程无疑具有物理之美，其数学形式也简单优美，物理内涵也极其丰富，各种各样宇宙解、黑洞、引力波等。Einstein引力场方程也可以写成多种等价形式，并且其作用量体系可按两种方案理解：一次方式与二次方式，在无物质场或有标量场是两种作用是等价的，但在旋量场耦合时不再等价，此时时空将是有绕。以我自己的理解可以存在介于一次方式与二次方式之间的中间方式：引力场看作一次方式，物质场看作二次方式，此时时空不管有无物质场存在都是无绕的，但似乎不自然，此时将等价于二次方式的Hilbert-Einstein作用量，这也许是李淼书中提到的1.5次方式（我没去确证）。

四、Dirac方程
Dirac方程也无疑具有物理之美，其数学形式也简单优美，物理内涵也极其丰富，原子光谱、反粒子、由其引出的量子场论等。Dirac方程也可以写成多种等价形式，自由场情形，在无质量时，可以分解成两个独立的Weyl方程，即使在有质量情形，也可以分成两个独立的有质量Weyl方程。值得一提的是Dirac方程是众多1/2-Fermi方程中的一种，从纯数学角度看，可以构造类似Dirac方程的各种各样的其它方程，但可能是超光速的或规范对称破缺的或P、C、T及其组合的几种是破缺的，但这些方程都不是美的，因为它们不是描写现实世界的。正是Dirac方程描述了现实世界，所以它才是美的。

五、圈量子引力与弦理论
圈引力与弦理论等量子引力理论，由于其处在初始发展阶段，现在它们只具有数学美，因为它们还没有实验验证。圈引力是对Einstein理论的直接量子化，正象前面说的有两种处理方法：一次方式与二次方式，二次方式量子化的一个重要成果是Wheeler-DeWitt方程，事实上它是一个量子约束方程。一次方式的量子化就是圈量子引力，它是在Ashtekar新变量法基础上发展起来的，现在已发展到更一般框架，从数学上看有更一般变量替代Ashtekar新变量，而且Ashtekar新变量法作为特殊情形包含于其中，其中实用的是实联络变量法。Rovelli、Smolin引入圈表象，提出面积算子、体积算子，发展出自旋网络、自旋泡沫模型（路径积分量子化）等。相对于圈引力，弦理论更为庞大，有各种各样新数学新方法，超对称、额外维、超引力、卡-丘空间、镜象对称、反常、对偶、ADS/CFT对应、M理论等，让人眼花缭乱。在10（11）维，若要求不能出现高于2自旋粒子，并考虑局域超对称及反常消除，则只有五种超弦理论，但要紧致化到四维时空却有太多可能，问题可能就卡在这里。
玻色弦理论作用量与薛定谔方程有同源性。从量子场论角度看，薛定谔方程是牛顿力学的“二次量子化”，它的一般情形是相对论性点粒子的量子化，薛定谔方程是其非相对论性极限。弦理论是相对论性弦的量子化，将点推广为一维的弦，膜则是更一般的推广。所以从数学上看，它们处于统一的数学框架内。
将来若圈引力或弦理论能被实验证实，那么它们也能成为一个美的理论。

支持一下，就等着看其他人如何挑刺或者补充:-)

有时候研究得到一个结果，形式比较丑陋，这时感觉心里不踏实。后来仔细一推敲，发现果然有错。纠正错误之后，得到的结果果真形式很优美。

根据等几率观点，物理方程美不美是等几率的。总之算来，在方程的态上，不美的态应该远远多于美的态，那么方程为什么这样美？毫无根据的认为描写自然界的方程是美的，和迷信无二致。我相信美，是我相信美之前必有一个前提。

正如参与赌博，如果连续50次骰子都是丢出的么点，那么除了继续下注外，还要抽出一部分注意力看看是不是有人捣鬼。

这么美丽的自然界，这么美丽的方程，这么美丽的人类，这么多美丽的姑娘，我必相信必有人在捣鬼。

<<毫无根据的认为描写自然界的方程是美的，和迷信无二致。>>

描写自然界的方程,且同时其数学形式的简单性美合在一起才是美的,描写自然界的方程若其数学形式丑陋,那么它也是不美的.

圈量子引力根本无法和弦论相提并论。
看看arxiv-hep=theory每天出来的新文章中二者的数量比就一目了然，D-Brane，Ads/CFT，C-Y等等与弦论相关的文章占了大多数，而圈量子引力方面的文章却少得极其可怜。
虽然数量无法代表质量，但是可以看出什么是研究的主流

根据等几率观点，物理方程美不美是等几率的
————————————————————
谁告诉你这样的“等几率观点”？谁告诉你物理方程美不美是用概率统计规律来描述的？

::谁告诉你这样的“等几率观点”？谁告诉你物理方程美不美是用概率统计规律来描述的？

我是纯粹根据信仰这么说的。为了精确的讨论我们的分歧，我举一个例子。

有两个方程，一个奇丑，一个奇美，如果它们都是自洽的，那么我认为在实验判决之前，它们对的几率是各占百分之五十（假设真理在它们两之间）。

根据星空的观点（不知我理解对没有？），它们对的几率应该是有差别的，美的可能是60％，不美的相应是40％。现在我要请问，这百分之二十的根据是甚么？如果星空兄认为我理解错了，可以更加具体和通俗的解释你的意思。

PS：这个帖子应该放到浪子的那个论坛里，我们可以多讨论几个轮次。
附《我有一个梦想》


我梦想有一天，在科学的山岗上，昔日民科的儿子能够同昔日官科的儿子同席而坐，亲如手足。 我梦想有一天，甚至连繁星客栈——一个非正义和压迫的热浪逼人的荒漠之州，也会改造成为自由和公正的青青绿洲。

我梦想有一天，我论文里的方程将生活在一个不是以方程的美丑，而是以结果的优劣作为评判标准的国家里。

我今天怀有一个梦。

我梦想有一天，观星阁会有所改变——尽管该州准嘉宾现在仍滔滔不绝地说什么要对丑陋的方程提出异议和拒绝执行——在那里，丑陋方程能够和美丽方程兄弟姐妹般地携手并行。


申明：以上梦想纯属开玩笑，唯争一笑耳，大家不要当真，我从来没有这样的梦想！

To linhaier 网友:

如果你的梦想是找到一个非常欢迎或器重你的论坛，那它早已不是梦想。在网上仔细找找，你会发现在有些论坛，你的水平远比嘉宾更高。

如果你的梦想是丑陋的方程也是被欣赏的，那它早已不是梦想。在网上仔细找找，你会发现在有些论坛，你认为丑陋的方程会因为美丽而另类-因为其它的更丑陋。

如果你的梦想是天下所有论坛都被改造得符合由你来定义的“自由和公正”，那么你的梦想永远不可能成为现实。

=============

认真地说一句：美丑对于判断一个科学理论并不具有一锤定音的意义。哪怕是笃信美学判据的科学家一般也只认为foundamental的科学规律必须是美的。但我们称为科学理论的东西并不都是foundamental的，其中也包含大量暂时的、小范围的、模型式的理论，这些理论许多都是不美的（起码不是无争议地让多数科学家都觉得美的），因此美学判据并不是一般研究人员的行为准则。

to linhaier:

我想在此声明一点:我并不是一般性、哲学层面探讨方程之美，而是结合物理内容谈论方程之美，请更多关注物理内容。

虽然美学判断带有主观性，但历史上这样的美学判断已客观上推动了物理的发展，如Einstein的广义相对论，目前，在没实验证据的情形下，这样的美学判断（数学美）是超弦理论发展的主要推动力之一，当然最好能与实验衔接。

对不论美丑的方程赋予相同的概率是对于均匀性、公平性、无偏性的一个简单误解。看起来每一种情形
都赋予相同的可能性是一个公平的客观的观点。其实不然。均匀这个概念本身就是相对的。没有人认为你随随便便写出来的方程和Witten写出来的应该被赋予相同的概率。是不是我们要把地球上所有人写出来的同类方程数一数然后赋予一个均匀的概率呢？假如蒋蠢宣写出来一百万个方程，难道每一个都要赋予所谓的均匀、公平的可能性吗？虽然蒋可能宣称一个就够了。

看了这一贴子,我作为外行也来"瞎扯"几句:)

我很赞成昌海兄的上述观点.我们会注意到到很多"古典理论派"的物理学家,确实是比较注重"形式的对称",但是"实验应用派"却不大愿意仅仅停留在均匀,整齐的"pattern".因此也就会造就出不同"style"的物理学家.不管如何,都应当对前者和后者予以包容的态度.

This post, and in particular its follow-ups, is not much about physics. I am going to remove it soon.

I hope some other board, such as philosophy, could take it.

这个帖子已经被归为思辨类收入繁星文集中，所以楼主如果不见了这个帖子，不要不快哈:-)

sage兄稍微晚两天再处理这栋楼吧。

美的确是让人比较安心.不过,那只是人的一种理想境界.人们往往喜欢挑选一些美的东东说事,其实,在科学上不美的确实占大多数.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------值得一提的是Dirac方程是众多1/2-Fermi方程中的一种，从纯数学角度看，可以构造类似Dirac方程的各种各样的其它方程，但可能是超光速的或规范对称破缺的或P、C、T及其组合的几种是破缺的，但这些方程都不是美的，因为它们不是描写现实世界的。正是Dirac方程描述了现实世界，所以它才是美的。----------------------------------------------------------------------------------------楼主的想法是,不美的方程都不是描写现实世界的.其实这不是一种科学的态度,美不美不是什么标准,只是一种人的愿望罢了.当然,如果一种成果既正确又美是很好,也只能是锦上添花而已.

楼主的文章让我想起了大二那年。

电磁学教授课上大谈方程之美，那是第一次接受那样的观点，每个人都瞠目结舌，我们曾几何时上升到那种层次。现在想来，后来很多感悟都源自当时，只可惜当时没有好好听，更没好好思考，想来教授课后肯定感叹没有知音了。

楼主的文章，似乎盼了许久一样，对我有久违的亲切之感。