谢谢！！再问一个问题（关于微分几何）
图论的那篇文章多谢大家的评论，那里的思想的确还不成熟（前辈已举出反例），这里就暂不讨论了，今后（估计寒假这几天）等成熟后再来讨论，谢谢！！
下面问一个问题（关于微分几何），
1）高斯绝妙定理是否是唯一的，即是否存在关于第二类基本形式和第三类基本形式的类似结论？即是否存在关于它们的不变量（系统）？
…………我感觉这一点是必然的，即使仅仅从对称性出发这一结论也是有可靠性的。
2）考虑一个量 P=[((H^2)- K)^(1/2)]/K ，其中H为平均曲率，K为高斯曲率，我能证明它是一个变换的不变量并猜想它是关于第三类基本类型的不变量，但还没有能力证明之（所以我才提了第一个存在性问题），希望大家能考虑一下，谢谢！
3）最后，要是第二个问题能得到肯定的回答，那么我们如果设关于第二类基本形式的不变量为T，那么我猜想，
T= T（K，P） ，其中T为有理函数。
问句题外话，请问各位前辈，哪里能找到高斯的《算术研究》，看了一些书，都说那是相当精妙的一本书，特别的，网上哪里能买到？
谢谢！！！！
| 论坛嘉宾: 萍踪浪迹 gauge 季候风 |
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ET  发表文章数: 15
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 THE DAY WITHOUT SCIENCE,
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ni_o  发表文章数: 33
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我是几何菜鸟，但我觉得您的问题是有趣的，寒假可以讨论一下哦．．．不要怕我误导你啦．呵呵．
关于算术研究：http://tycx.gbaopan.com/files/74f7041952ee405ca0c0beb42d005bed.gbp 命运取决于选择。
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季候风 发表文章数: 262
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提醒一下什么是第三基本形式， dn.dn ?
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萍踪浪迹  发表文章数: 1051
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回季候风兄：第三形式就是你所说的那个dn.dn
回楼主：第三基本形式和一、二形式密切相关，因此不重要，且二形式反映曲面（推广的是超空间）在外围空间的形状，所以根本没有类似于绝妙定理的定理。所以你的那么多idea都很不幸。 要看《算术研究》前最好学好初等数论和代数数论，这本书对初学者基本上是天书 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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季候风 发表文章数: 262
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萍踪说得不错。高斯绝妙定理是说，虽然第一基本形式不能决定第二基本形式 （曲面可以等距地变成不同的形态），但是从第二基本形式的构造出来的某些量只依赖于第一基本形式。
然而第三基本形式已经被第一和第二基本形式完全决定了，它并不包含更多的外在信息 （就是说，给定了曲面上任两点间的距离和曲面的空间的弯曲形态，第三基本形式就被决定了），所以从第三基本形式导出的任何量都 显然 只依赖于第一和第二基本形式。 话说回来，如果想从第二基本形式和第三基本形式构造出只依赖于第一基本形式的量，那么，可以负责任地说，有意义的只能是高斯曲率 －－－ 这是黎曼几何在二维的唯一不变量。
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萍踪浪迹 发表文章数: 1051
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具体些说
第三基本形式可以表示成：第二基本形式乘以平均曲率乘以2再减去第一基本形式乘以Gauss曲率 至于第二基本形式，在反向参数变换下就要变号。 考虑圆柱和平面，两者等距，但是圆柱的第二基本形式不为零，而平面的第二基本形式为零。 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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萍踪浪迹 发表文章数: 1051
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公式：KⅠ-2HⅡ=Ⅲ
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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ET 发表文章数: 15
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对不起，我认为有必要说明以下的情况，即，
对于上面谈到的那个不变量，我们完全可以得到*至少在三维欧氏空间中，它是关于任意等距（平行）曲面的不变量，甚至，在那里，很容易就能得到任意同心球面的P曲率为常数（对应点的P曲率相等），而对于平行平面其P不存在（共性！）*。 从这里我们就能看出，仅仅法向量就能决定一系列相应曲面的共有性质而与切向量的大小（这是关键！因为大家都知道在微分几何关于n（第二类基本形式）的定义中仅仅要求了它的方向，但对r却很大程度上依赖于它的大小）无关，这样，我个人冒险认为， 全部三类基本形式是平等的，即从其中任意两个能推出第三个（正如楼上所提供的公式一样），且它们都应该拥有不变量。这样，第一类基本形式中的绝妙定理并不是孤独的（以一个不变量推出两个不相关的不变量的想法我觉得不可能），又由于三类基本形式仅仅依赖两组变量n,r,故我有以下看法， 任意两种基本形式的不变量是独立的，而与之相对应的第三个不变量由关于它们的函数决定。 放假回家后，*……*中的内容我尽量抽时间（大一嘛，春节很多事，所以……）把证明发上来，谢谢大家！！ THE DAY WITHOUT SCIENCE,
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萍踪浪迹 发表文章数: 1051
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三维空间中的局部曲面论早已严密到无法塞进一根针
楼主应该多读些教科书，其他的我就此打住，因为我不想说服别人 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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