先举两个简单的例子。

$(1)$ $[0,1]$上的均匀分布是常值函数$1$.

$(2)$ $\{x_1,\cdots,x_n\}$上的均匀分布是指对每个点赋予相同的概率$1/n$.

这两个例子如此的自然，使得人们放松了警惕，认为这是理所当然的均匀分布。人们几乎不加思索就接受了这两个例子。但是我们将要说明没有先天的均匀性，均匀的含义是指一个量相对于另一个量而言。

例$(1)$中的均匀性是相对于Lebesgue测度而言，事实上常值函数$1$根本就不是一个分布，必须和某个背景测度一起才能构成一个概率密度。但是Lebesgue测度总是以默认值的方式盘踞在我们心头，大致上说，我们会优先使用Lebesgue测度。似乎Lebesgue测度具有至高无上的地位，但是我们没有任何办法证明这一点。

考虑另一个例子。平面上的一条曲线，一个粒子在这条曲线上运动，假设在相同的时间这个粒子在曲线上走过的曲线具有相同的长度。那么，这个粒子相对于这条曲线而言是在匀速运动，但外部观察者就不一定不这样想了。此处的背景是曲线的长度。或者考虑一个具有线密度的曲线，那么现在我们称这条线的质量分布为均匀的，其含义是指，在相同长度的一段上具有相同的质量。这就依赖于曲线本身的长度这样一个背景测度。

对于第二个例子，此处的背景测度是在每个点赋予测度$1$或者其他的常数。所谓的均匀分布$P(x_i)=1/n(\forall i)$是相对于这个背景测度而言。

考虑这样一个例子。在联合国大会上投票，假定每个国家的那一票都具有相同的效力。每个国家一票，这是一个均匀分布。但是有的国家人口多，也有的国家面积大，还有的国家武力强。就以人口而论，为什么有$10$多亿人口的中国，以及只有区区数十万人口的欧洲小国摩纳哥，它们投出的一票具有相同的效力呢，那么代表所有中国人的那一票和代表所有摩纳哥人的那一票，对于这两个国家单个的人来说，一个中国人的意见的效力就仅仅是一个摩纳哥人的千分之一。没有一个中国人会认为这是公平的、均匀的的分配票数的方式。此处投票的均匀分布来自于我们将国家作为考虑的最小单位。没有这样一个基准就谈不上均匀与否。

我们讨论一个与均匀有关的简单思想试验。

de Finetti提出如下的思想试验，试图以此来否定概率公理中的可列可加性。给出一个随机的整数，你猜中这个整数的概率是多少？通常我们理解随机给出的$1$到$n$的整数，其含义是指，每一个数都有相同的概率$1/n$这样一种均匀分布。那么很自然地，一个随机整数似乎也应该这样理解，亦即所有整数都赋予相同的概率。但是这是不可能的，因为无限多个$p>0$相加肯定等于无穷大。而且事实上我们并不需要得出一个无穷大来否定这一点。实际上，$[2/p]$个$p$的和将要超过$1$.这就和概率相矛盾了。随机整数难道不是指每个整数赋予相同的概率吗？如果我们坚持这一点，只能够得到一个结论，就是概率论多少出了点问题。de Finetti据此认为概率公理中的可列可加是多余的。对此，我们做入下的评论。

首先，de Finetti的结论是荒谬的。按照de Finetti本人所持有的主观概率论的观点，亦即概率就是公平的赌博的主观损失。可以证明，如果不满足可列可加，那么我们能够很容易的让持有这种观点的人吃亏。也就是说公平的赌博必然导致可列可加。

其次，我们回头来分析de Finetti愚蠢的思想试验。我们发现，他的论证基于直观上的均匀分布。因而de Finetti``悖论"其实是可列可加和直观上的均匀分布之间的矛盾。因而我们应该反过来考虑这个论证，而不是象de Finetti那样简单的走向否定概率论。这再一次说明了我们的直观是靠不住的。事实上在任意一个总测度为无穷大的背景空间上都不可能赋予一个均匀的概率密度。同时也说明了所谓的均匀性其实是有条件的，它的存在依赖于背景测度。当背景测度为无穷大时，并不存在所谓的均匀分布，除非我们象de Finetti那样愚蠢地因噎废食般地拒绝概率论。

这一点，也体现在最大熵分布这个均匀分布的现代版本中。最大熵分布是均匀分布的现代版本。最大熵对应到某种均匀分布。但是在给定的限制条件下，经常会出现最大熵分布不存在的例子。然而我们并不因此否定最大熵原则，而是选取一列分布来逼近最大熵。注意到熵实际上就是依赖于背景测度的一个量。不论在哪种意义下说，de Finetti都犯了一个极其愚蠢的错误。虽然de Finetti犯了这种简单的错误，但其影响却很大。de Finetti对于主观概率论的兴起有很大的影响。对此，我只能说以一个简单的依赖于直观的例子就敢于否定整个概率论是有勇无谋的行为。

我们通过Bertrand悖论来看均匀性。考虑如下概率。

在圆内随机的作一条弦，那么这条弦的长度$L$小于圆的半径$R$的概率$P(L<R)$为多少？

对此有几个互不相同并且都同样自然的答案。

$(1)$ 考虑弦的两个端点。设弦的两个端点在圆周上为独立的均匀分布，这是合理的，因为这条弦由其两个端点相互唯一决定。这样算出来的概率为$P(L<R)=1/3$.

$(2)$ 随机的取一条直径，过这条直径上的任意点作一条于这条直径垂直的弦，则弦长小于半径的概率为$P(L<R)=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\sim0.13$.

$(3)$ 作半径为$R/2$的同心圆，则弦的长度小于半径当且仅当弦的中点在这个小圆内部，这个小圆的面积大圆面积的为$1/4$,故$P(L<R)=1/4=0.25$.

通常我们所谓的随机选取事实上都是指某种意义上的均匀分布。例如，在Bertrand悖论中给出的$3$个数值都来自某种具有均匀性的机制。对$(1)$,其中假定弦的两个端点在圆周上为均匀分布。对$(2)$,其中假定弦的轴，亦即选取的直径是均匀选取的，这条直径上的点也是均匀选取的。对$(3)$,其中假定弦的中点在圆的内部是均匀分布的。这样我们得到$3$个互不相容的均匀分布。这个例子再一次说明没有具有先天优越性的绝对的均匀分布。

Bertrand悖论再一次告诉我们均匀性是一个相对概念。

由于时间原因这次没有来得及细看,所以我的这个回帖可能牛头不对马嘴哈:

你谈到均匀分布是相对的,是否是为了将要引出"加权平均"的思想来

对于均匀分布的讨论，只是想指出我们通常的一些错误的直觉。加权平均的权可以看作以之为基础的测度空间上的平均值，不打算讨论这个话题。本来这个早就写了，搁在那里。恰好在物理版上讨论对于美和丑的方程赋予均匀的概率这个问题，就拿出来放到这里。

写得好。有些似是而非的智力题的所谓标准答案实际上就是 ”主观概率论” 引导思维的产物。