关于量子力学和泛函的问题
本人胡乱看了一些泛函分析的书。有以下问题不清楚。望高手解答。主要涉及无限维Hilbert空间。
1、无限维Hilbert空间的基到底是怎么回事？一维谐振子的厄米多项式构成一维（模）平方可积的函数空间的基吗？个人感觉应该是这样，此空间的一般函数一般涉及这组基中的无限多个的线性组合。但我又好像看到另外的说法是：有限个基的线性组合（也许是在另一问题背景下谈的）。
2、相干态构成一维（模）平方可积的函数空间的基吗？厄米多项式应该是构成它的基的，这有可数无限个。位置（或动量）本征态在广义的意义下也构成它的基，这是不可数无穷多个，且它们的模都是无穷大。这些都可以理解。但相干态呢？他们存在所谓的“超完备性”，应该也构成基。但我好像读到过：同一空间的基必具有相同的势。而相干态集合的势显然大于厄米多项式集合的势。如果相干态跟位置本征态的性质差不多也就罢了，但问题是相干态的模是有限的。个人感觉应该可以从相干态中选出可数无穷多个来构成基。不知对否？也不知如何选择？
3、无限维Hilbert空间的一个结论是：其对偶空间的每个元素可以和它本身中的元素一一对应。但我在另外一个地方看到：无限维线性空间的对偶空间的势大于它本身。不知怎么回事？
4、对称算符和等距算符，自伴算符和么正算符，可以用cayley变换联系起来，但下面这个等距算符所对应的对称算符是什么？
设基为e1,e2,...等距算符A的作用为：A e1=e2, A e2=e3,...
我觉得这种情况应该简单，它对应的对称算符应该容易得到，但却没有成功。
先就问这么多吧。先谢了。
| 论坛嘉宾: sage |
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blackhole  发表文章数: 196
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季候风 发表文章数: 262
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前面问题的部分解释可以看看
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=3&aid=1162836453 最后一个问题， A 不是满射 （e1 没有原像）， 所以不是么正的
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blackhole 发表文章数: 196
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前面问题的部分解释可以看看
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=3&aid=1162836453 最后一个问题， A 不是满射 （e1 没有原像）， 所以不是么正的 _____________________________ 谢谢答复。 那个帖子我看过。对位置（或动量）本征态构成基的问题我并无不解。 以下是您的一段话： 一个矢量空间的 "基" 可以有多种含义. 一种是线性基 --- 空间里的所有矢量都能写成这些基矢量的 "有限线性组合", 这种基一般用于有限维空间或者对代数问题的研究; 一种是 Hilbert 基 --- 所有矢量都能写成这些基矢量的(收敛的)"可数线性组合", 这种基一般用于无穷维内积空间或者对分析问题的研究; 还有一种是坐标和动量表象里使用的基 --- 相当于在更大的空间里选取的一些矢量, 使得原来空间里的矢量可以写成这些基矢量的 "积分" ( "不可数线性组合" ) 同一个空间可以选取不同 "含义" 的基 (而不仅仅是不同的基). 物理学家通常不加以区分, 怎么方便怎么用. 我不解的事情是： 1、一维（模）平方可积的函数空间有线性基吗？应该只有Hilbert基吧？ 2、在量子力学中相干态可是号称“超完备”的。对此张永德有个解释：好像三维空间中的四个矢量，完备过了头。若真如此，则这四个矢量不能构成基，应该去掉一个。否则空间中的一个矢量的分解不唯一。本人感觉张的解释是不对的，也就是认为一个态矢用相干态分解，分量应该是唯一的，但我无法证明（这里没有类似于傅立叶分解的正交性可资借用）。 3、如果相干态分解是唯一的，那么它们是那一种基？应该您说的三种基都不是。它们不可数（需用两个实数做指标），且每个态的模都有限。位置本征态虽也不可数，但只用一个实数做指标，且每个态的模都无穷大。因此，它们不是第三种基。 4、如果相干态是一组基，那么它们的势是阿列夫1，但此空间中是存在可数无限基的，势为阿列夫0。 那么两组基的势就不同了。这在数学上应该是不对的吧？ 5、所以本人猜测可以从相干态中选出可数无穷个来作为基。但不知如何处理。 6、最后一个问题我知道A不么正，但它等距。应该对应一个对称（非自伴）算符。但我找不到。 再次谢谢你的答复。也希望其他大牛帮我解惑。
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季候风 发表文章数: 262
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1、一维（模）平方可积的函数空间有线性基吗？应该只有Hilbert基吧？
2、在量子力学中相干态可是号称“超完备”的。对此张永德有个解释：好像三维空间中的四个矢量，完备过了头。若真如此，则这四个矢量不能构成基，应该去掉一个。否则空间中的一个矢量的分解不唯一。本人感觉张的解释是不对的，也就是认为一个态矢用相干态分解，分量应该是唯一的，但我无法证明（这里没有类似于傅立叶分解的正交性可资借用）。 3、如果相干态分解是唯一的，那么它们是那一种基？应该您说的三种基都不是。它们不可数（需用两个实数做指标），且每个态的模都有限。位置本征态虽也不可数，但只用一个实数做指标，且每个态的模都无穷大。因此，它们不是第三种基。 4、如果相干态是一组基，那么它们的势是阿列夫1，但此空间中是存在可数无限基的，势为阿列夫0。 那么两组基的势就不同了。这在数学上应该是不对的吧？ 5、所以本人猜测可以从相干态中选出可数无穷个来作为基。但不知如何处理。 6、最后一个问题我知道A不么正，但它等距。应该对应一个对称（非自伴）算符。但我找不到。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 1。 任何线性空间都有线性基。当然，必须承认选择公理才能对无穷维空间证明。 2。 相干态全部线性无关（有限和意义下），因为它们属于不同的本征值。 3。 容易证明相干态不足以构成线性基。但如果允许无穷和，那么可以选取可数个相干态 （满足一定收敛条件，比如它们所属的特征值的倒数组成一个绝对收敛级数），使得形式上每个 Fock 基可以用它们表出，这样形式上它们构成一个可数基。至于它们能不能构成真正的基（要求无穷和收敛），因为关于收敛性的讨论过于复杂，我不能马上得出结论，不过可能是个很有趣的问题。 4。 基的势相同这个命题我见过两种情况下的证明，全部都是线性基，或者全部都是 Hilbert 空间的规范正交基，至于 Hilbert 空间不正交的 Hilbert 基，我不敢肯定它是不是会跟规范正交基有相同的势。 6。 这个对称算子是无界算子，而且在基矢量上没有定义。可以用坐标写出来：(a1,a2,a3,...) |--> i(a1, 2a1+a2, 2a1+2a2+a3, ...) 不过因为它不是对所有元素定义，所以用坐标形式难以验证其对称性。
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季候风 发表文章数: 262
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补充： 6。 也容易用坐标验证对称性，只需要对 A 的值域里面的元素验证即可。
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blackhole 发表文章数: 196
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1。 任何线性空间都有线性基。当然，必须承认选择公理才能对无穷维空间证明。
—————————————————————— 那一维模平方可积函数空间的线性基是什么？厄米多项式应该是Hilbert基吧？ 2。 相干态全部线性无关（有限和意义下），因为它们属于不同的本征值。 ———————————————— 这一点提醒得好。 3。 容易证明相干态不足以构成线性基。但如果允许无穷和，那么可以选取可数个相干态 （满足一定收敛条件，比如它们所属的特征值的倒数组成一个绝对收敛级数），使得形式上每个 Fock 基可以用它们表出，这样形式上它们构成一个可数基。至于它们能不能构成真正的基（要求无穷和收敛），因为关于收敛性的讨论过于复杂，我不能马上得出结论，不过可能是个很有趣的问题。 —————————————————————————— 听您的意思，线性基（只允许有限和）在无限维空间中一般是不可数无穷多的？ 这样的话倒可能纠正了我的一些认识。 看来无穷维空间真麻烦啊。 4。 基的势相同这个命题我见过两种情况下的证明，全部都是线性基，或者全部都是 Hilbert 空间的规范正交基，至于 Hilbert 空间不正交的 Hilbert 基，我不敢肯定它是不是会跟规范正交基有相同的势。 —————————————————————— “基”的概念还真有讲究啊。是不是原则上基就分为线性基和Hilbert基（Hilbert空间中的正交归一基）两种（排除坐标基这类）？
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季候风 发表文章数: 262
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线性基（只允许有限和）在无限维空间中一般是不可数无穷多的？
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 当然有可数维的线性空间，比如所有一元多项式组成的空间。 是不是原则上基就分为线性基和Hilbert基（Hilbert空间中的正交归一基）两种（排除坐标基这类）？ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 数学上一般局限在空间内考虑问题，基向量必须是空间里的元素。我所知道的就是这两种基。 至于薛定谔基，它们不是 L^2 空间内的元素，我猜想物理学家使用它们的原因是，无界区域上的 L^2 空间并不容易找到一组好的 Hilbert 基，所以要想从线性代数的观点 （基和线性组合）来处理无穷维空间的话，就需要引进这种广义函数，而把线性组合扩展到积分 －－－ 在数学上研究无穷维空间更多地依赖于分析而不是代数，一般来说数学家不需要一组具体的基。
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blackhole 发表文章数: 196
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当然有可数维的线性空间，比如所有一元多项式组成的空间。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 我现在关心的是这样的问题：比如，Fock基是一维模平方可积函数空间（全空间）的Hilbert基吧，其中任意态矢都可以用Fock基的有穷组合和无穷收敛组合来表示。前一情况构成一个子空间，Fock基也是它的线性基。因此可数无穷维空间可以存在可数线性基。 但对于全空间而言，Fock基不是线性基。那么全空间的线性基是个什么样子？我想只能是不可数无穷多吧。 另外，这个全空间可否说成是“可数无穷维的”？还是应该是“不可数无穷维的”？
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季候风 发表文章数: 262
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不可数个相干态仍然不能构成一组基，说明 Hilbert 空间的线性基必然是不可数的。
在 Hilbert 空间的情况，一般说 “可分” （存在可数的规范正交基） 或者 “不可分” （规范正交基不可数）。我没有见过关于 Hilbert 空间的线性基的讨论，你可以自己搜寻一下
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萍踪浪迹  发表文章数: 1051
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季候风兄可以把这些回答整理成一篇绝好的文章了
 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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季候风 发表文章数: 262
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萍踪：
这里边有些内容已经讨论过很多次，而关于相干态 （还是凝聚态？）的性质，做物理的同修比较清楚，恐怕我的分析不是很准确。整理就不必了。谢谢提醒。
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blackhole 发表文章数: 196
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所有相干态的集合居然是线性相关的！
这是我刚学到的知识，见喀兴林《高量》（第二版）。这是否意味着用所有相干态作为基矢来展开任意态矢是不恰当的呢？基矢能够线性相关吗？至少有限维空间不行。相干态真是奇怪。 中国是一个从上往下煽耳光,从下往上磕头的社会。
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星空浩淼 发表文章数: 799
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所有相干态的集合居然是线性相关的！
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 楼主对这里的理解不应该割裂开来。既然你一早就知道相干态的集合构成超完备的基，就应该直接知道这个集合是线性相关的。 所谓“超完备”，是完备过了头，存在冗余。完备基是超完备基的一个真子集。例如用笛卡尔平面坐标轴X和Y张成二维空间，此时沿X和Y方向上的单位向量可以构成二维空间的完备正交基。如果再补充一个既不平行于X轴也不平行于Y轴的单位向量，加入到原来的完备正交基集合中来，新的集合就是超完备的，但它仍然可以当作是一组基——只要二维空间中的任意一个向量可以用这组基中的若干基向量展开即可（这是能否作为基的标准），只是这组新的基不够简洁，三个基向量是一个线性相关的向量组，其中一个可以用另外两个线性展开，去掉一个之后仍然是一组基。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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星空浩淼 发表文章数: 799
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无限维Hilbert空间的一个结论是：其对偶空间的每个元素可以和它本身中的元素一一对应。但我在另外一个地方看到：无限维线性空间的对偶空间的势大于它本身。不知怎么回事？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 一般而言，一个空间与它的对偶空间不一定一样大。也许Hilbert空间比较特殊一些，才有你说的那个结论。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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星空浩淼 发表文章数: 799
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再一般性的说几句：
1）无限维Hilbert空间的基，既有离散的基，也有连续的基，前者是可数无穷的，势与自然数集合一样；后者是不可数的，势与实数集合一样。例如，如果以哈密顿算符的完备本征态集合作为基张成一个Hilbert空间，并且如果能量是量子化的且没有上限（即能量本征值分布从小到大，直达无穷大），使得哈密顿算符的本征态有可数无穷多个，则此时Hilbert空间的基是离散的基。一维谐振子哈密顿算符的本征态集合就可以构成这样的完备基。 2）相干态的物理意义之一是，它是湮灭算符的本征态。该态的Heisenberg不确定关系对应最小不确定关系(大于等于号中取等号）。相干态可以由基态（粒子数为零的态）经过一个幺正算子产生的平移得到。由于相干态有这些意义或特征，本人认为它是张成Fock空间。 楼主说“相干态集合的势显然大于厄米多项式集合的势”理由何在？对于无穷集合而言，无穷集合的一个无穷真子集可能跟原集合具有相同的势，例如偶数集合的势跟自然数集合的势一样大。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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季候风 发表文章数: 262
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blackhole:
你的疑问已经包含在我开始的回帖中： ％％％％％％％％％％％％％％ 3。 容易证明相干态不足以构成线性基。但如果允许无穷和，那么可以选取可数个相干态（满足一定收敛条件，比如它们所属的特征值的倒数组成一个绝对收敛级数），使得形式上每个 Fock 基可以用它们表出，这样形式上它们构成一个可数基。至于它们能不能构成真正的基（要求无穷和收敛），因为关于收敛性的讨论过于复杂，我不能马上得出结论，不过可能是个很有趣的问题。 ％％％％％％％％％％％％％％％％％ 就是说，如果取形式无穷和，可数个相干态就足以张成整个空间。如果你只是想做物理，接受教科书上的解释就是了，如果你有数学洁癖，就必须自己动手考虑收敛问题。
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blackhole 发表文章数: 196
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谢谢两位大牛的回复！
To 星空浩淼 >既然你一早就知道相干态的集合构成超完备的基，就应该直接知道这个集合是线性相关的。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 我就是对“超完备”没有真正理解。看我的第二次回复就知道，我原本是反对“完备过了头”这种解释的。因为如果真如此，那么任意矢量在此基下的展开式就不会唯一。而我此前从未想到过会如此。现在，“超完备”居然真的就是“完备过了头”，那么由此导致的展开式不唯一的问题难道不严重吗？ >楼主说“相干态集合的势显然大于厄米多项式集合的势”理由何在？ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 理由很简单：相干态需一个复数或两个实数来表征，故必然是不可数的，至少是Aleph_1；而能量本征态可数，势为Aleph_0。故势必不同。 而且如我前面所说，相干态的不可数跟坐标基的不可数还不一样。后者只用一个实数表征，且每个态都模无穷；前者用两个实数表征（让人感觉比坐标基还多。当然我知道，Aleph_1^2= Aleph_1），且每个态模为1。 To 季候风 >就是说，如果取形式无穷和，可数个相干态就足以张成整个空间。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 我知道你的意思。既然可数个相干态就足以张成整个空间，那么不可数个相干态的全体就必然是线性相关的了。我想，这里的“张成”应该是指无穷收敛叠加（当然包括有穷叠加）吧。 >不可数个相干态仍然不能构成一组基，说明 Hilbert 空间的线性基必然是不可数的。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 那么这个空间的维数该说成是可数还是不可数？我们知道，其正交规一基是可数的，而现在其线性基是不可数的。那么该依据那条来判定此空间的维数是否可数？ 又：你说“不能构成一组基”是指线性基吧？但我们常用相干态展开任一态矢，也就是说相干态也被视为是一组基。但这里的“基”何意？你曾把基分为三类，而相干态好像哪类都不是。 >如果你有数学洁癖，就必须自己动手考虑收敛问题。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 我也许可以归为有数学洁癖但数学手纸不多的人，不像你们，手纸一大堆。Hehe。 另外，关于线性基，其英文是什么？我想多找点关于它的资料。你是第一个告诉我这个名词的人，此前还没听说过。Shy。 又问：是否存在一个态矢量，其在所有Fock基（能量本征态）下的分量都相同？这里排除象坐标基之类严格来说不属于Hilbert空间的矢量。 答案似乎是不存在，但又跟本能的感觉不符。 中国是一个从上往下煽耳光,从下往上磕头的社会。
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星空浩淼 发表文章数: 799
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那么任意矢量在此基下的展开式就不会唯一。而我此前从未想到过会如此。现在，“超完备”居然真的就是“完备过了头”，那么由此导致的展开式不唯一的问题难道不严重吗？
－－－－－－－－－－－ 引入相干态的目的不是为了选取一组基 理由很简单：相干态需一个复数或两个实数来表征，故必然是不可数的，至少是Aleph_1；而能量本征态可数，势为Aleph_0。故势必不同。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 不是这样来判断的。如果按照你这种逻辑，任何能量本征态集合也都是不可数的，因为本征态也是特殊的波函数。这具体地要结合Hilbert空间中定义的内积来判断。 对于我上次回复，这里需要补充说明的是：能量本征态往往同时也是其他力学量算符的共同本征态，此时本征态就有多个指标来标记。如果其中至少有一个力学量算符的本征值是连续分布的，那么此时的能量本征态张成的空间仍然是不可数维的。 至于相干态集合的势，前面我讲过，相干态可以由真空态经过一个幺正算子平移得到，其中的平移参数是一个复变量，因此相干态集合的势应该是Aleph_1。另一方面，刚刚说过，即使是离散的能量本征态集合，如果它同时还是其他具有连续本征值分布的力学量算符的本征态，那么该能量本征态集合势仍然是Aleph_1。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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blackhole 发表文章数: 196
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引入相干态的目的不是为了选取一组基
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 但相干态确实可以作为一组基使用。否则，所谓“超完备性”是干什么用的？ 对于我上次回复，这里需要补充说明的是：能量本征态往往同时也是其他力学量算符的共同本征态，此时本征态就有多个指标来标记。如果其中至少有一个力学量算符的本征值是连续分布的，那么此时的能量本征态张成的空间仍然是不可数维的。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 这个自然。所谓“需要多个指标来标记”其实是指单靠一个力学量来对整个空间进行本征子空间划分时，有些子空间不是一维的（即简并）。此时需要再引入一个与前者对易的力学量，希望它能把非一维的子空间继续细分（指按照不同本征值）。如果还不够，就继续引入新的力学量，直至所有把整个空间彻底分解为一维子空间的直和。此时所取的力学量集合就是完备对易力学量组。 但我们现在讨论的整个空间是一维谐振子的态矢空间。当把此空间用Hamiltonian的本征子空间来划分时，每个子空间都是一维。也就是说，单单H就已构成完备对易力学量组，不再需要其他指标来标记。只有存在某些本征子空间不是一维时，才需要其他指标来标记。所以可以谈论“能量本征态”，而不是“能量本征子空间”，因为它们已经是一个个的态（一维）了。 中国是一个从上往下煽耳光,从下往上磕头的社会。
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星空浩淼 发表文章数: 799
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但相干态确实可以作为一组基使用。否则，所谓“超完备性”是干什么用的？
－－－－－－－－－－－－－－－－ 当相干态作为一组基使用时，展开的非唯一性对于所研究的问题而言，就不会成为问题（否则就不会这样做），例如可以按照我们需要的来选择。 相干态恰好有超完备性这种性质而已。超完备性不是相干态当作基来使用的目的，否则完备性不是更好？ One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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季候风 发表文章数: 262
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那么这个空间的维数该说成是可数还是不可数？我们知道，其正交规一基是可数的，而现在其线性基是不可数的。那么该依据那条来判定此空间的维数是否可数？
又：你说“不能构成一组基”是指线性基吧？但我们常用相干态展开任一态矢，也就是说相干态也被视为是一组基。但这里的“基”何意？你曾把基分为三类，而相干态好像哪类都不是。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 我前面已经说过了，对于 Hilbert 空间，一般只说 “可分” 和 “不可分”。 维数这种概念在不同的范畴意思本就不同，何必追求一致？ 相干态的本来就不组成基，怎么归入我说的那三类？你可以把相干态的集合叫做一个生成元组。 Fock 基是标准正交基，任何 Hilbert 空间里的矢量在标准正交基上展开，展开系数的模方构成的级数都必须收敛，所以展开系数必然趋于零。
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blackhole 发表文章数: 196
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冒着被骂的风险再问。
我前面已经说过了，对于 Hilbert 空间，一般只说 “可分” 和 “不可分”。 维数这种概念在不同的范畴意思本就不同，何必追求一致？ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 知道了。 相干态的本来就不组成基，怎么归入我说的那三类？ ～～～～～～～～～～～～～～ 那下面是怎么回事？ |Ψ>=(1/π)∫d^2 z|z><z|Ψ> 这不就是把任一态矢用相干态来展开吗？ 中国是一个从上往下煽耳光,从下往上磕头的社会。
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季候风 发表文章数: 262
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“基” 的意思是： 任一矢量可以表示成其中元素的线性组合（组合方式可以特别指定，比如有限和，收敛无限和，形式无限和，积分，等等），且表示方式唯一（基里面的元素在指定的线性组合意义下线性无关）。
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季候风 发表文章数: 262
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补充：最好先指定组合方式，再谈论所有线性概念。
比如，如果只允许有限和，那么相干态线性无关，但不足以构成基；如果允许形式无穷和，那么相干态线性相关，而且包含一组基（所谓 “超完备”）；如果只允许收敛无穷和，那我就不知道相干态放在一起是怎么回事了...涉及到的分析比较复杂。 物理上所谓 “超完备基” 当然不是严格意义上的基，最好叫做 “生成元组”，它张成整个空间，但表示系数不唯一。
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Re: 关于量子力学和泛函的问题