带电细圆环(所带电荷不可移动,总电量一定)的一条直径上场强处处为零,求圆环上电荷的分布情况.

用数学方法可否导出解是存在且惟一的?

解的唯一性定理?

我对"唯一性定理"是否能在这里使用感到怀疑.

可能会涉及第一类Fredholm积分方程的求解,但我无法解出那个方程.

用暴力方法证吧。做傅利叶展开。

Answer:
(1) The total charge has to be zero.
(2) The solution of charge distribution is not unique.

Sketch of solution:

Let the center of the circle be the origin of the coordinate system and x-axis along the diameter.

The electric field at any position x on the diameter:

0= E(x) = int_0^2\pi \frac {\rho(\theta)}{r^2} R d\theta
r = \sqrt {R^2 +x^2 -2 xR cos\theta}

where R is the radius of the circle.

Total charge:

Const = int_0^2\pi \rho(\theta) R d\theta

The electric field at the center:

0=E(0) = int_0^2\pi \frac {\rho(\theta)}{R^2} R d\theta
~ int_0^2\pi \rho(\theta) {R} d\theta ~ total charge
==>total charge = 0.

However, there are multiple solutions to the equation:

0= int_0^2\pi \frac {\rho(\theta)}{R^2+x^2 -2 xR cos\theta} R d\theta

一个简单解：
当电荷均匀地分布在球壳上时，球壳内的电势为常数。在球壳建立经纬坐标，任选一个经圆，穿过南北极的地轴，便是此经圆的一条直径。把球壳上在同一纬度的电荷集中起来，平分到这经圆上相同纬度的两个点。由于电荷与地轴上各点的距离没有改变，因而电荷集中后地轴上的电势也没有改变，仍然是常数，又由经圆上电荷的对称性，立知此直径上的电场处处为零。

首先得说,总电量不一定是零."简单解法"也不能说明电荷就是对称分布以及解的唯一性问题.

另外,我认为,下面这个问题是关键:int_-R^R{(f(x)dx)/((R*R+a*a-2*a*x)^0.5)}=0对
一切a满足-R<a<R成立,求f(x).(R是正实数)