由于内力不够（数理论坛的内力消耗未免太厉害了），而又急于知道答案，所以发在这里。
也许这些问题很弱，但一时难以明白，又不愿意花过多时间纠缠，所以请教：

1. 是否任何域(field)都有非平凡的扩张？
2. 是否任何域上都有不可约的高于一次的多项式？
3. 是否任何域都有非平凡的自同构群？
4. 是否一个域的非平凡的自同构群都有非平凡的不动点域？
5. 是否任何域都有非平凡的正规(normal)扩域？
6. 设B是k的扩域，是否一定存在k的正规扩域E，使得E也是B的扩域？

特别想知道第6个问题的答案，我在看 E. Artin 的 Galois theory 里面的一个证明时候在这个地方被卡住了。

抱歉，我不是在灌水，第一个确实太弱，因为任何域总有其有理函数域。

另外，建议站长设一个消耗内力较少的允许问比较初级或弱智的问题的子论坛。

第 6 个问题： 如果 B 是 k 的有限次的可分扩域，也就是 B 中任何元素都是 k 上某个无重根的多项式的根。将 B 的作为 k 上线性空间的基所属的 k 上的不可约多项式全部乘起来得到一个新 k 上的多项式，这多项式是可分的，其分裂域就是对 k 正规的并且包含 B。

2. 是否任何域上都有不可约的高于一次的多项式？
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看看代数封闭域的定义。复数域上就没有高次的不可约多项式



3. 是否任何域都有非平凡的自同构群？
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有理数域的任何自同构 f 必然满足 p f(q)= f(q) + f(q) + ... = f(pq) = f(p) f(q),
所以 f(p)=p.

更简单的例子， Z/2Z. 当然这是个比较平凡的反例



4. 是否一个域的非平凡的自同构群都有非平凡的不动点域？
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这个答不上来


5. 是否任何域都有非平凡的正规(normal)扩域？
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代数封闭域没有非平凡的代数扩张。

多谢指教！
看来这几个问题基本上都是由于我对基本的概念还不够熟悉导致的(毕竟我不是这个专业)。

楼主认真看看丁石孙和聂灵沼两位老师的《抽象代数引论》，或许可以获得一些信息