偶和一师兄扯起代数,师兄是做几何的,当然觉得代数无聊 认为代数只是trick,也没办法,似乎美国大学和研究所纯做代数的很少,更不用说代数表示论,做的人都在欧洲和亚洲,南美等第三世界国家.....
我想学代数表示论,现在对Tilting 理论和Auslander Reiten理论 有浓厚兴趣,正在读Happel的三角范畴,想找几个志同道合的人讨论一些问题. 当然我对Lie代数 Kac-Moody代数也很喜欢,只是目前功力尚浅.
另外请大家推荐一本讲导出范畴的书,Gelfand的书上有这一章,但是Happel说 对任何Abel范畴构造Derived Category 源自Grothendieck,对代数几何我是敬畏有加,不知道是哪本文献讲了这个,还望各位指点.

想讨论的问题包括一些有限性条件,比如acyclic, Direct, Bound, Local finite.我对wild和无限型代数有很大兴趣,想了解一些这方面的东西,有没有针对Wild representation的入门的资料.

"Tilting 理论和Auslander Reiten理论"， "想讨论的问题包括一些有限性条件,比如acyclic, Direct, Bound, Local finite" 听起来过于专门。不如你来这里科普一下。

纯代数学一直就没有兴旺过，也许是因为纯代数学家不重视应用。很多人就是随手定义一种代数结构，然后来表示和分类，这种研究任意性太大，容易迷失方向，不容易引起其它方向同行的注意。

Wiki 上推荐的关于导出范畴的书：

* Categories And Sheaves (Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften) by Masaki Kashiwara , Pierre Schapira ISBN 3-540-27949-0
* Methods of Homological Algebra by Sergei I. Gelfand, Yuri I. Manin ISBN 3-540-43583-2
* An introduction to homological algebra by Charles A. Weibel, ISBN 0-521-55987-1

像导出范畴和无限型代数这些东西都有深刻的拓扑学背景，它们的作用更多的是语言和工具。对它们做纯代数的研究也可以，但是最好能用这些研究解决一些比较重要的拓扑或者数论代数几何里的问题。比如这篇文章就用很多表示论构造了代数几何里的奇点消解。

http://arxiv.org/abs/math.RA/0312221

再比如现在引起很多人注意的 geometric Langlands program 和 deformed geometric Langlands program, 也是表示论可以得以施展的地方。

http://arxiv.org/abs/hep-th/0512172

还有关于 Gromov-Witten 和 Chern-Simons 的代数结构的

http://arxiv.org/abs/math.AG/0402015
http://arxiv.org/abs/math.QA/0412149

从我个人的观点来看，C* 代数的表示论更有意思，也可能更有用，因为它几乎是李群，李代数，量子群等对象的表示理论的总纲。也许它也是量子理论的数学基础的关键。

不过这个坛子里讨论数学物理的人很多，我们需要别的方向的爱好者来科普。有空写几篇关于代数表示论的介绍吧。

在繁星发个学习一些东西的体会,可能有错误,不吝指正.
事实上是继续上个学期的Triangulated Category的讨论班,我对这个东西有点兴趣,不知道为什么.可是仅仅是有兴趣是不够的,我还得理解它在说什么,很不幸,一段时间我都不知道它在说什么,只是可以经过一些不算大的努力check过去,也能完成一些讲义上缺的证明,但是谈不上理解,至多也就是感觉有些东西和同调代数似乎有点象,比如有个等式套一下一个模的内射分解诱导的n次同调群就出来了,有一点点小快乐.我起初并不理解为什么它要造出一个所谓Triangulated Category 因为这个概念的定义很复杂,不仅如此,书上第2章讲Frobenius范畴,我觉得这是个比较好的范畴,投射性和内射性是coincide的,然后作者又开始了,把某个Frobenius范畴模掉一个通过内射(投射)模分解的态射子范畴,得出一个所谓stable范畴.然后说这个stable范畴是三角范畴,我想,那这三角范畴应该是很重要的.这些都是上个学期的事情了,这个学期首先我讲第2章Repetitive代数,重复性中文我想应该这么译,这个代数和以前遇到的一个代数A的"平凡扩张"类似,只不过,这里是infinite直和. 那实际上就可以等同于一个无限矩阵代数,到这里我开始意识到这个Repetitive代数是"无限型"的,兴趣骤然上升,我想看Happel要做什么,之后经过一些check,说明了重复性代数的模范畴是个Frobenius范畴,呵,那stable范畴必定是个三角范畴.到这里我仍然是对三角范畴的重要性意识的不够.后来我找到Happel的一篇on the derived category of finite-dimensional algebra,看了看前言:"Our main results describe D(A) if A has a finite global dimension, We show that D(A) is suitable for study tilting process.............. The Derived category D(A) is equivalent to D(B) as triangulated categories.....

看了这段话以后,豁然开朗,以前的疑问扫清了一半,觉得很美妙的感觉.当时就想"哈哈" 顾及图书馆的那么多人,就没,呵呵.其实讲这本书我是想讲Tilting理论的,但是如果我开始就要求讲generalised Tilting那我肯定错过导出范畴了.我稍微解释上面这段话的意思.

在这个之前我先介绍下我对倾斜理论的一些粗浅理解

首先这个要求A has finite global dimension,总体维数的定义实际上是projective dimension的上确界,作用大抵是对代数的"有限性"的限制,应该说是比较好的,从一个定理可以看出, A has finite glb means Cartan matrix is invertable.而Cartan matrix在quiver 表示理论中包含了一个代数的不可分解表示的信息,当然了这个命题的逆不对.Tilting的过程首先是定义一个Tilting A-module 暂且记为T,然后得到一个自同态代数B=EndT, 然后研究modA and modB的关系,通过modB来研究代数A的性质.一些定理表明这两个代数是很有关系的,比如I.Assem的书中指出A and B 的中心代数是同构的.那可能有人要问了,这两个模范畴等价么? 这是个很好的问题,我们希望他们等价,可是他们却是不等价的.....

到这里,怎么办呢? 所以我说Brenner和Bulter真是太聪明了,modA and modB不是不等价么.那我这样,把这两个范畴都做适当的划分,看范畴的一个部分有没有可能和另一个范畴的部分等价.如果都等价,那是不是可以诱导出整个范畴间的等价?(其实这是不可能的拉,刚才已经说了). 那怎么划分呢,这里借用了一些自由Abel群中的思想,学过Torsion理论的人都很清楚,在abel群中 torsion subgroup 到torsion-free subgroup的态射是0,那这个性质也可以搬到范畴中来,我们在范畴上也可以定义类似torsion class and torsion free ones那这样,范畴中就出现了至少两个部分,为什么说至少,因为有些模子范畴既不是torsion的也不是torsion free的.现在准备工作做好了,要开始建立对应了,之前定义的倾斜模T 起作用了,Hom(T,-) and Ext^1(T,-)分别把torsion and torsion free映射到另一个范畴的torsion free and torsion并且都是等价.那这样很好啊,似乎等价可以建立了,不幸的是additional part没有了,也就是刚才提到的既不是torsion又不是torsion free的那些模,losing掉了.不过这样已经很好了,两个模范畴已经有类似于Morita等价性的weak 等价性了,那这样我们就可以通过tensor and Tor函子从modB 恢复modA,至于中间的那部分模也是可以恢复的,不过这个问题我今天不说,因为要用到所谓cluster-tilted代数.可能有些人会觉得这有点不完美,因为没有找出一个"等式"来联系两个范畴,恩.我开始接触到Tilting理论的时候也是觉得好象没有一个"关系" between modA and modB ,为了解决这个问题,我们回到刚才讨论的triangulated category.

mod A and modB的导出范畴作为三角范畴却是三角等价的,这个结论非常漂亮,导出范畴是什么呢,我现在正在学Gelfand 的同调代数这一节,还没看到,但是大抵上就是modA对应的complex category的某种局部化.这个局部化后的范畴和原来的范畴在一些性质上来说是一样的. 以后再说这个问题. 有了上面这个漂亮的结论,刚才的不美的烦躁应该可以平息了,因此这也就是Happel为什么说:Derived category is a suitable way in studying tilting process.

最后补充一点,研究两个范畴的关系还有一种方式是用所谓BGP reflection functor,这个跟tilting 过程有很密切的关系,以后再详细的说.

有一个东西忘记说导致上面的东西有点不自然,就是具体如何用导出范畴来研究倾斜的过程,由于我刚接触这个领域不是很熟悉. 事实上对于一个代数 构造它的倾斜复形范畴,再得到homotopy范畴 最后localization这个范畴,得到一个导出范畴.对倾斜模诱导的代数也做这样一个事情.然后就马上得到导出范畴的三角等价了,这样就更加舒服了.

我想下次我说个coherent sheaf的事情,以及表示论里怎么使用这样一个东西.

楼主在读大三？不错啊。

不过读起来感觉兄弟似乎没学过代数拓扑，这样上来就看这些或许很不好。

谢谢楼上提醒,代数拓扑我读的是Rotman Introduction to algebraic Topology
正如楼上所说 这本书我还没读完,或者说还没读到可能是关键的部分把,代数拓扑是相当有意思的.学习之余看到Xicc的几个问题 觉得有些意思,各位可以看下这个地址:http://math.bnu.edu.cn/~ccxi/Problems.php
第一个问题关于Cartan det的 比较吸引我.在Lie代数中Cartan det和基本群的一些东西有关,尽管在quiver表示理论中定义有点不同.

I think maybe the spectra point of view is a better way to understand triangulated category?

http://math.bnu.edu.cn/~ccxi/Problems.php
these problems are so "algebraic"...

看到了这本GTM的编排，很奇怪...Hatcher的比较好。

If one don't know some topology and geometry, he may easily get lost in the sea of algebra... He will have trouble seeing the grand picture and understanding the motive behind definitions. Personally, I think studying algebra for its own sake is a bit uninspired. Anyway, people are different.

关于derived Categories(DC),可以看看M.Kashiwara和P.Schapira的Sheaves on manifolds的第一章,当然,这本书里也讲到了triangulated categories(TC),另外,在以下几本书里,既有DC的材料,也有TC的内容.
M.Kashiwara和P.Schapira的categories and Sheaves;
J-L Verdier, cate'gories de'rive'es, e'tat 0 in SGA4.5
J-L Verdier, Des cate'gories de'rive'es des cate'gories abe'liennes.这是J-L Verdier的博士论文,而J-L Verdier是Grothendieck的学生,在老格的思想的基础上,J-L Verdier发展出了derived Categories,后来Grothendieck在etale cohomology里大肆的用derived Categories,以后,Belinson,Deligne等人又有所发展.上面的文献中,SGA4.5很值得看一下.
triangulated categories现在是越来越重要了,内容也相当丰富,下面一个小题,有兴趣的可以看看:
Let f
X--->Y--->Z--->T(X) be a distinguished triangles in a triangulated category, prove that f is an isomorphism if and only if Z is isomorphic to 0 .
triangulated categories和derived Categories有相当紧密的联系,例如,两个"陌生"的Abelian Categories的derived Categories可能是相互等价的triangulated categories.
另外,扶磊的Algebraic Geometry 里讲cohomology的那章的第一节讲了些erived functors的内容,写的蛮好的,不过我更关心它的局部化.

楼上的果然是博学,其实我只知道三角范畴在代数几何里比较有用(Liu Ke Feng的一个学生做代数几何的告诉我导出范畴很有用.呵呵).对于楼上提到的书,我在学习代数几何的过程中参考参考 谢谢.
你提出的那个小问题,在下试着一做,感觉可以成立,向各位同行请教.呵呵
X--->Y--->Z---->TX 是一个distinguished triangle (实际上就是triangle,区别于普通的sextulpe,三角满足4个Axiom,我想请问一下TR4 那个八角形公理有什么背景没,感觉很复杂).
f:X---->Y 要证明f is isomorphic iff Z is isomorphic to 0
proof: first assume f is an isomorphic. As is known to all , X-->X--->0--->TX is also a triangle(TR1) then we have the following diagram
X--->Y--->Z--->TX
|1 |^ h |induced by 1
|| f | |
X--->X--->0--->TX
according to TR3, h:0--->Z is induced, but 1 , f and T(1)(T is a transition functor) are isomorphic ( identity is of course isomorphic), we have the h is an isomorphic,so the Z is isomorphic to 0. 注意最后这里并不是使用的同调代数中的3-lemma,这里三角并不是短正合序列,但是事实上我们可以把这个三角分别向右向左turning一次,得到5项,然后用上同调函子作用这个图表,最后我们可以很容易地用5-lemma证明同构(是对向右和向左的两个图表作用!)
then it suffices to prove the only if
Let Z is isomorphic to 0, do the same thing as above ,we can easily obtain the f is an isomorphic.
then the claim holds.
不知道对不对
刚才一剑兄说的对,两个陌生的Abel范畴他们可能是三角等价的. 比如我前面提到的D^b(A) and D^b(B)就是三角等价的.
说到这,我想到了Claus Michael Ringel今年3月在南京大学数学系做的关于Tilting module and Tilted algebra的Lecture 第一次就讲的是The art of losing module 在他做介绍的时候说D^b(A) and D^b(B)是最高的level.
PS: 貌似他3月16日在Pudua 做同样的报告 我猜测在南大的是不是演习(恩,不能危害客栈..)

另外不知道一剑兄对Gabriel-Roiter measure有没有了解,我读过这方面的一点东西,觉得似乎可以与数论 尤其是Q 建立一些关系,我比较有兴趣.因为似乎Q 上Galois群相关的问题是很困难的(我不懂,道听途说)

没想到图出来的效果是那样 真是抱歉 我贴个图上来



另外补充下 虽然三角不是正合列 但是它是short exact的一种generalize 可以参考Gelfand Homological methods

try this for quick algebraic topology...
www.math.ntnu.no/~dundas/talk/Nordfjordeid.ps

have you read this?
www.dmi.units.it/~rimut/volumi/25/may23.ps.gz

先说明，我只是略知点皮毛，没怎么看过这个方面。

关于TR4，在abstract nonsense中这样的东西很常见，习惯就好，说的都是"everything commutes"。很多时候这样的东西是有几何背景的，例如Triangulated Category是模仿mapping cone cofibration定义的，而且拓扑的spectra还更麻烦。

譬如这样的题目
X--->Y--->Z--->T(X) be a distinguished triangles in a triangulated category, prove that f is an isomorphism if and only if Z is isomorphic to 0
几何上看是说mapping cone is contractible <=> f is a homotopy equivalence，当然这个是有问题的，几何上还要求X & Y都是simply-connected。

感谢Kanex兄提供的连接,下载了,都是好东西,我扫了眼第1个 虽然没开始看,但是感到很有意思.
ntnu 这个学校似乎在德国还是挪威啊.现在Idun-Reiten似乎在这个学校,就是Auslander-Reiten理论的创始人之一.

噢 原来是这样,对几何背景发生浓厚的兴趣,abstract nonsense 呵呵,在不知道量子群的物理背景下,那一堆复杂的定义也是abstract nonsense吧

对Kanex兄的说"可能会迷失在代数海洋的问题"
我的一些初步考虑是这样的,不知道是否答非所问.
代数的研究一个目的当然还是为了分类，具体到代数表示论，这个意图就更加明显了，代数表示论里有一个很著名的猜想是Brauer-Thrall conjecture，是关于表示型的，因此代数表示论里有很大一部分工作都在研究一个给定的代数是不是finite type的，我觉得这就是代数的一个导航灯，纵然有很多代数结构，但是我认为并不是随手定义的，大体上一部分是来源于几何或者物理，比如Hopf代数和量子群，量子群是从物理里来的，代数中的一部分工作是为了计算物理中需要的东西而做的，但是人们自然也会去研究一个量子群作为Hopf代数的表示型问题，比如类似半单Hopf代数的自同构群的一些理论。因此我觉得主导代数表示论的还是那个猜想，人们定义出的各种代数都只是为了进一步揭示一些“困难”的有限in some sense.
有限性的条件有很多，比如quiver的finite and acyclic ,directed quiver. (这是一种弱的有限我以为)。
Quiver 的local finite（或许是无限的，但是在局部是有限的，也是一种用finiteness condition刻画无穷对象的方法）and hereditary，这个代数性质很好。 体现在有限性上则是global dimesion less than 1. 人们总是想尽可能用一些有限的条件来bound某些“无限”的代数，又比如tame and wildness controlled 代数。 上个星期扫了一眼Tilted代数，里面有个定理，是说quiver of tilted algebra is acyclic，那其实这又是一种有限性。 过去我一直对prufer 模 不太了解，后来我在网上搜了一下，发现这种模也跟这类有限型问题相关。 因此很多看上去随便定义的代数都是有一定目的的，在我看来很多都是为了解决这种有限型无限型分类问题的。

是的，代数结构大多数是从数学的其他分支中提炼出来的。不过Zhang兄考虑的问题，我实在没有任何了解，说不出什么所以然，只是个人感觉"闻起来不对口味"，呵呵。

有空不妨写篇Quiver的科普。另外可以看看algebraic k-theory？

个人觉得吧，为什么很多定义都有限制条件，主要是作者为了当时证得方便，好发文章。后来大家都去研究，大部分就都慢慢越来越放宽了。

国外不少文章都是带有一定开创性的，所以不怕没条件，要什么条件就写进定义里是了。于是就造出很复杂的定义。后来大家研究多了，定义才变得越来越简洁，越来越fancy。【以上是我的体会，实际是不是，还要请有经验的朋友说了。】

关于那道题目,其实只要用三个交换图,再配合图上追踪就可以了.
另外,关于Gabriel-Roiter measure,我看了Ringle的一篇文章,感觉这个东西还比较简单,但没有看完那篇文章,你能否讲一下这个Gabriel-Roiter measure的大概呢?主要是它的起源和用途.

最近比较忙,考GRE,单词啊......想听听Kanex和一剑兄对于 范畴在数学中的作用的见解,我见过一些学物理的,对于这个东西比较反感.

On the door of a washroom in the old building of Perimeter Institue, there are some words, saying: “If you found that the category theory entered your research area, you should have left the area five years ago"