小谈一些初级问题的直观理解

纯属胡说八道

1) Yoneda's Lemma是一个看上去很玄的东西：

若有presheaf F: C^op -> Set，则Hom(Hom(-, X), F) = F(X)。

这是什么意思呢？其实意思很简单，如果取C=OpenSet(X)，那么Yoneda's Lemma有很直观的理解：只要知道了全部部分的情况，就知道了整体的情况。只要知道了整体的情况，就知道了全部部分的情况。这里的关键是，Commutative Diagram的四条边，知道了三条，就定死了第四条。于是Hom(Hom(-, X), F)不能乱走。

又可以这样想：给定了F: C^op -> Set后，Hom(h_, F)也是一个C^op -> Set的方法，那么这两个会不会不一样呢？不一样的话，就有一个离散动力系统了。可惜结果是一样的，category theory里面基本上能写出来的东西都是唯一成立up to isomorphism，所以才叫nonsense嘛。偶尔遇到个出问题的地方，例如不exact的functor，就很有趣了。

这种思想有很多应用。在category复杂时更是如此。

a) 知道某个命题，和知道所有能满足这个命题的条件，是一回事。

b) 既然知道某个space，和知道所有到这个space的map是一样的，那么我们可不可以用这个来代替space的定义呢？也就是，一个space，就等价于一个从Top到Groupoid的map，而"从Top到Groupoid的map"很明显不是全部representable的，于是我们就得到了一个更通用的space定义。考虑moduli stack [M/G]，对于空间X，[M/G](X)的object是G-bundle over X, equipped with G-equivalent map from the total space to M, 而morphism就是bundle morphism。极端的例子是M={pt}的时候，那么[{pt}/G]就近于BG。若G=0，那么这个就是原来的Hom(-,M)。

2) 为什么Hom不exact

最简单的办法是考虑Z/2Z-bundle on S^1。那么有两种情况：
0 ----> Z/2Z ----> Z/2Z x S^1 ----> S^1 ----> 0
0 ----> Z/2Z ----> S^1 --doublecover--> S^1 -> 0
这两个都exact，但是用Hom functor作用一下，就不一样了。第一个【flat】后来还是exact，第二个就只是left-exact了。直观的理解是：一定有zero section map，但是不见得split。

3) Cech Cohomology想做什么

其实Cech想做的事情，就是用多个open set围住一个"洞"，然后就有一个首尾相接时必须相等的限制，限制sheaf的情况。所以open cover要取得很密，如果取得不够密，只用一个open set就把整个"洞"围住了，那就探测不出来了。

[待续]

只要知道了全部部分的情况，就知道了整体的情况。只要知道了整体的情况，就知道了全部部分的情况。
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我现在很苦恼。我想把全部部分的情况弄明白，却发现这需要的时间是指数级的。哎。。。

只要知道了全部部分的情况，就知道了整体的情况。只要知道了整体的情况，就知道了全部部分的情况。
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这个觉得有点象刚学的一个小性质 sheaf isomophic if and only if stalk of sheaf isomorphic.

sheaf isomophic if and only if stalk of sheaf isomorphic
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sheaf isomophic if and only if stalk of sheaf isomorphic
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actually this is indeed yoneda's lemma if you know the fancy definition of sheaf

a sheaf on A is a presheaf F such that the functor S -> Hom(-, A) induce bijection on Hom(Hom(-, A), F) -> Hom(S, F), where S is a covering map of A.