无所适从
现在有信封A和B，它们里面都装着钱，其中一个的数量是另一个的两倍。现在让你任挑一个信封，把里面的钱拿走。但在选择之前，我们不知道信封里的钱是多少。那么应该选择A还是B呢？
假如选择了信封A，打开一看，里面有100块。那么B可能有200块，也可能有50块，它们的可能性都是50%。那么B的期望值是200 x 50% + 50 x 50% = 125，比A的100元多。所以应该选择B。
假如选择了B，根据同样的理由我们应该选择A。
根据上面的推理，选A也不是，选B也不是。问题究竟出在哪里？
| 论坛嘉宾: 快刀浪子 XXFF |
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快刀浪子  发表文章数: 484
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 冷风如刀，以大地为砧板，视众生为鱼肉。
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乐在其中 发表文章数: 106
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在打开信封之前，信封里可能的钱是多少呢？应该是无穷大。但只要你打开了，你就损失了无穷多的钱。所以带来上面的问题。
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XXFF  发表文章数: 226
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钱放入信封后总金额是固定的，如要么300，要么150：
A=100，B=300-100或150-100，B只有二个值，A确定后只与总金额相关，总金额不是随机的，是预先固定的，所以B的期望值的推理有问题。如无其他更多信息，则结论是：随便选。 XXFF
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星空浩淼 发表文章数: 799
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类似于这个问题的，以前在客栈好像谈论过。在数学上，这涉及到“对策论”。
One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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XXFF 发表文章数: 226
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：：在数学上，这涉及到“对策论”
================================= 本题不涉及到“对策论”。 总金额=F确定后： （F/3，2F/3），（2F/3，F/3）各1/2概率， 换与不换的期望值均为：（F/3）*（1/2）+（2F/3）*（1/2）=（2F/3）*（1/2）+（F/3）*（1/2）=F/2，所以换与不换一样。 XXFF
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大漠孤狼  发表文章数: 623
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同意XXFF兄的结论。
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快刀浪子 发表文章数: 484
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::A=100，B=300-100或150-100，B只有二个值，A确定后只与总金额相关，总金额不是随机的，是预先固定的，所以B的期望值的推理有问题。
我还是没有弄有清楚上面计算B的期望值的公式错在哪里。总金额虽然预先是确定的，但选择者不知道它是多少，只能按照可能性计算来指导自己的选择 ::如无其他更多信息，则结论是：随便选 正确答案肯定是随便选的。假设总金额是F，不管改选不改选他获得的期望值都为F/2 问题是主帖中的推理错在哪里？ 冷风如刀，以大地为砧板，视众生为鱼肉。
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大漠孤狼 发表文章数: 623
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：：1，假如选择了信封A，打开一看，里面有100块。
：：2，那么B可能有200块，也可能有50块，它们的可能性都是50%。 ：：那么B的期望值是200 x 50% + 50 x 50% = 125， ：：3，比A的100元多。所以应该选择B。 ＝＝＝ 1中100元是实际收益。假如不打开信封A，则1的期望收益也是125％ 2中125％是期望收益 3的推断是实际收益和期望收益之间的比较，这是错的关键。应该是期望收益之间的比较。
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快刀浪子 发表文章数: 484
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::3的推断是实际收益和期望收益之间的比较，这是错的关键。应该是期望收益之间的比较
为什么不能比较？ 打开信封后发现A是100元，而B有50%可能是50，50%可能是200。现在有机会让你改选，你改不改？ 冷风如刀，以大地为砧板，视众生为鱼肉。
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大漠孤狼 发表文章数: 623
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上个帖子中的125％是选a时b的期望值，或者选b时a的期望值，这里隐含了钱的总数不固定的假设。假如钱的总数固定，那么计算方式按照xxff兄的方法。
总之，在不打开的前提下，a,b的期望值是一样的。 ＝＝＝＝＝ ：：打开信封后发现A是100元，而B有50%可能是50，50%可能是200。 ：：现在有机会让你改选，你改不改 在现有条件下不改，因为期望值不是实际收益。 假如加上心里风险收益，认为50％可能性多得100的心里收益大于50％可能性丢失50心里损失。那么可能改变选择。这里隐含了一个心里因素，很多涉及这类问题的争论我认为就是隐含了这个假设而又没有明确表示出来导致的。
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快刀浪子 发表文章数: 484
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::总之，在不打开的前提下，a,b的期望值是一样的
为了避免出现这种争论，现在把原来的题目改一下： 有信封A和B，它们里面都装着钱，其中一个的数量是另一个的两倍。现在让你任挑一个信封，把里面的钱拿走。 你选择了信封A，打开一看，发现里面有100块。现在有机会让你改选，你改不改？ 因为B可能有200块，也可能有50块，它们的可能性都是50%。那么B的期望值是200 x 50% + 50 x 50% = 125，比A的100元多。所以应该改选。 上面这个推理错在哪里？ ::那么可能改变选择。这里隐含了一个心里因素 为了简单，这里不考虑心理因素。 谁的期望值高就选谁 冷风如刀，以大地为砧板，视众生为鱼肉。
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linhaier 发表文章数: 155
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无穷大的问题总是很难。
做题之前，我们考察定义，a的期待值一般意味着如果测量a足够多的次数，则a的期待值等于a的测量值的平均值。 来看快刀的问题，信封打开之前，钱的可能的数额等几率的分布在自然数上，钱的期待值是无穷大，但你打开，我们却总是假定是一个确定数，并且是有限数。这样我们的测量值总是小于我们的期待值。这是一个永远期待而不到的期待值。 问题可以简化等价于，两个毫不相干的信封，里面装着钱，你打开了一个，问你换不换另一个。无论你打开看到了多少钱，理论上都要换另一个，另一个期待值无穷大。但这个期待值却永远也期待不到。 问题是，我们有没有可能打开一个无穷大数目钱的信封。 问题出来类似于，所有自然数组成的集合里包不包含这么一个自然数，比任意自然数都大。假设有，并记为a，显然它比a＋1小。假设没有，则这个自然数不在此集合里，与给定假设矛盾。 那么这个命题的二律背反在于它本身。 好，如果排除掉上面命题自身的矛盾，那么只有快刀兄将信封里的钱给定一个上限，或者至少给定一个期待值不发散的分布几率。则这个问题就很方便分析了。 逝者如斯夫
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XXFF 发表文章数: 226
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::因为B可能有200块，也可能有50块，它们的可能性都是50%。那么B的期望值是200 x 50% + 50 x 50% = 125，比A的100元多。
====================================================================== 错，200，50块的可能性不是无条件概率，而是条件概率。 XXFF
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大漠孤狼 发表文章数: 623
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::错，200，50块的可能性不是无条件概率，而是条件概率。
XXFF兄说的对，我昨天这里没有考虑清。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1，在信封没有打开前，我们总可以假设一个信封里是f，一个信封里是2f.排列是（f,2f),(2f,f).那样a信封的期望值是1.5f,同样b信封里的期望值是1.5f，这时自然选择哪个信封都一样。 2，当打开a信封时，我们看到里面有100元，我们无法知道这100是对应f还是2f，那样自然另一个信封可能是200，也可能是50。这时不能肯定50％的可能性是200，50％的可能性是200，除非我们假定（100，200），（100，50），（50，100），（200，50）这几个组合等几率出现，此时a信封的期望值是450/4,同样b信封期望值也是450/4.注意，这时间钱的总数已经是有2个了，150，300。这已经扩充了1的条件，和1不是一个问题了。假如我们不作这个扩充，那么就无法肯定200，50这2个数据是50％几率出现，也就不能用首楼那个计算公式了。 ：：假如选择了B，根据同样的理由我们应该选择A 3，这句话的错误之处就是考虑到2是在a信封出现了100元的条件下，按照那样的概率分布，b信封不再可能出现100，而只是50或者200。假如我们一开始就选择了b信封并打开他，假设出现200。那么我们也不能就等几率的假定a信封里是100，400，而只有假定（200，400），（200，100），（100，200），（200，400）等几率出现，此时和2已经不是同样的假设了。同样假如，b出现的是50也不是和2同样条件。假如b出现的也是100，那么他和2虽然假设相同，但互相有矛盾，不可能在一个具体的排列中出现。 xxff兄用了一个“条件概率”就说明白的问题，我罗嗦了这么半天，真是失败。好在我添加了一个概率空间（有这个概念吗？更准确的是什么？）扩充说明，可以聊以自慰，呵呵。
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like 发表文章数: 170
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“根据上面的推理，选A也不是，选B也不是。问题究竟出在哪里？“
：本来就是选谁都不是啊，所以没问题吧？
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本科奸商  发表文章数: 128
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期望值不适合用来解决这类问题
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快刀浪子 发表文章数: 484
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::200，50块的可能性不是无条件概率，而是条件概率
我开始也考虑过条件概率问题。还想用贝叶斯公式来计算信封A是100时，总金额是150和300的概率各是多少。但发现无法计算，因为必须先知道150和300的无条件概率，才能使用贝叶斯公式 后来用了另一种方法： 信封A是100元，因为正确的答案肯定是换不换都无所谓，所以信封B的期望值是100元。而B只可能是50元和200元，设B为50的概率为P，则为200的概率为1-P。得出方程： 50*P + 200*（1-P）=100 计算得P=2/3。也就是说B为50的概率是2/3，200的概率1/3，这样B的期望值才与A相等 而这样就会得出下面的结果： 有两个信封，总金额是确定的，而一个的钱是另一个的两倍。你随机选了一个，比如是A，那么B比A多的概率是1/3，比A少的概率是2/3。 这样的结论不是很奇怪么？既然是随机选的，那么B比A多的机会是1/2才对 冷风如刀，以大地为砧板，视众生为鱼肉。
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XXFF 发表文章数: 226
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::信封A是100元，因为正确的答案肯定是换不换都无所谓，所以信封B的期望值是100元。
============================================================================ A的某实际取值与A的期望值是二个概念，换不换都无所谓是说A的期望值=B的期望值（=总金额/2），快兄混淆了。 本题关键在于：1。总金额F不是随机数 2。实际取值与期望值不能混淆 3。运用条件概率 然后推导就没有任何问题，最后得出：A期望值=B期望值=总金额/2。（推导过程略） XXFF
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快刀浪子 发表文章数: 484
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::A的某实际取值与A的期望值是二个概念，换不换都无所谓是说A的期望值=B的期望值（=总金额/2），快兄混淆了
把A的实际值与B的期望值比较也是可以的。比如有下面这样一个简单的题目： A里面有N元，B里面有50%可能有2N元，50%可能有N/2元。现在选A还是选B？ 在这道题目里一定要将A的实际值与B的期望值比较。B的期望值是N5/4，所以应选B 再看这道题目： 有信封A和B，其中一个的钱是另一个的两倍。你随机打开了一个信封，比如是A，发现里面有M元。现在问你选A还是选B。 这个题目的答案却与上面的题目不同，这不是很奇怪么？ 冷风如刀，以大地为砧板，视众生为鱼肉。
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like 发表文章数: 170
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“本题关键在于：1。总金额F不是随机数“：不用这样限制吧？
“B的期望值是N5/4，所以应选B“：B的期望值是N（A）5/4，A的期望值是B5/4，所以同下题即最初题——选谁都行。B的期望值〉A，A的期望值〉B，关键在于这种对称吧？
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快刀浪子 发表文章数: 484
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::B的期望值是N（A）5/4，A的期望值是B5/4
A的值已经知道了，就是N，不用再计算期望值 ::B的期望值〉A，A的期望值〉B，关键在于这种对称吧？ 为了避免出现这种情况，我已经把原来的题目修改了。再贴一次： “有信封A和B，其中一个的钱是另一个的两倍。你随机打开了一个信封，比如是A，发现里面有M元。现在问你选A还是选B。” 正确的答案应该是选谁都行。 与“A里面有N元，B里面有50%可能有2N元，50%可能有N/2元。选A还是选B？”的答案不一样。很奇怪 冷风如刀，以大地为砧板，视众生为鱼肉。
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like 发表文章数: 170
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这俩题可换成这样：
有信封A和B，其中一个的钱是另一个的两倍。你随机打开了一个信封，比如是A，发现里面有M元。现在问你：选A，则B与A的关系？选B，则A与B的关系？选哪个，能得到实际值或期望值更大的那个？ A里面有N元，B里面有50%可能有2N元，50%可能有N/2元。问题同上。 然后我把“B的期望值是N（A）5/4，A的期望值是B5/4“换成这样： 已知A且选A，则B的期望值是N（A）5/4；已知A且选B,则A与B的关系是：A的期望值是B5/4——这个关系不因A未知已知而变吧？ A的值已经知道了，但B值不知道。
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Re: 无所适从