前言：四月一号开始写这些，因为为了准备回答sage兄的几个提问而没有上这里，所以先发在另外论坛，现在先把文章贴过来，等我把sage兄的几个提问都解决了，再上这里继续贴。

时空几何的几个问题（1）

总是有人在时空几何方面产生很多问题，这都怪我们没有生活在七维空间或者九维时空。因为如果我们只考虑三维弯曲空间，那么必须有七维空间才够嵌入，如果只是“浸入”的话，那么维数可以降低，但是无法避免自交点。如果我们考虑四维弯曲时空，要有九维时空才够嵌入，“浸入”的情况如前。
因为我们生活在三维空间加一维时间，时间在我们的观念里始终是一个流逝量而很难从骨子里当它是一个和空间平等的维。
这样我们对空间的直观认识只能停留在三维空间里的曲面。即使是曲面，也要有限制，因为三维空间无法嵌入Klein圆和Poincare上半平面，它们是双曲几何模型且可以建立共性等价。
因为我们无法思考比曲面维数更高的几何体，使得我们对空间的认识只能用类比和计算来进行。类比的典型就是那曲面上的蚂蚁，可是我们凭什么认定我们在现实时空中的处境会和蚂蚁在曲面上的情形类似呢？假设一种情况，一只蚂蚁在篮球内部爬，它的头和脚的连线其实是一根直线段，和球上的弧是无法重合的，那么它应该知道自己是在弯曲的面上面爬，除非这蚂蚁已经是理想的质点。Einstein回答他儿子的名言是就涉及到蚂蚁爬苹果。由于上面的原因，虽然蚂蚁不会微分几何，不会进行张量计算，它仍然会知道自己是在曲面上爬。只有假设它确实是2维的，才可以让我们把我们生活在现在的空间中无法依赖直觉感知弯曲空间的情况与蚂蚁进行类比。
而计算的方式就是运用微分几何，写出度规，然后算曲率。
计算会告诉我们许多信息，从类空超曲面到D膜，我们都无法避免计算。有时候我们要从度规开始计算曲率，有时候更复杂，要从曲率反过来探索度规性质，比如Ricci平坦空间的度规。
这方面的问题林林种种，平坦空间问题太简单，没有必要再浪费敲键盘时间了。
谈谈联络，曾经有人误认为弯曲空间的复杂性质是因为联络系数不为零。这个错误可能在初学者身上会出现。实际上，如果我们在平直空间里不取直角坐标系，那么联络系数就可以不为零。反之，在弯曲空间里逐点取测地坐标，联络系数就可以在相应点化为零。换言之，联络依赖于坐标系的选择，因此不是张量，张量是不依赖坐标选取的。
再讲测地坐标，纯微分几何中的Riemann坐标就是其中一种，相对论中的Fermi坐标就是其中一种。
由于取定Fermi坐标后，相应点联络系数为零，因此物理学家就默认了所谓的“最小耦合原理”——一个严格说不算原理的原理。根据这个原理，弯曲时空中的一些物理定律只要把平直时空中相应的物理定理进行简单改造就可以了——把普通导数变成协变导数。
但是，我们知道，时空，或者广言之，几何体的曲率张量是不随坐标变换而变化的，你可以取测地坐标让联络系数为零，但是无法让曲率张量为零，除非它本来的曲率张量就是零。所以弯的还是弯的，所以我们无法用加速度取代引力场，所以Synge等人一直攻击等效原理。确实，我们也知道流形（manifolds，弯曲空间的严格定义）的切空间只在对应点的无穷小邻域内才可以认为和流形上该点邻域重合，这个和Poincare回归定理是一样的道理——极大时间后也只能回到原来位置的任意小邻域内，而不是和原来位置重合。
因为物理上面，物质都有个尺度，小到Planck长度就够让物理学家头疼了，无穷小又怎么可以？因此Synge等人要把“等效原理”这个接生婆埋掉。因为只要物体有尺度，那么一般而言，引力场都会令其产生潮汐力畸变，引力场就无法用加速度取代。
当然我认为Synge是有点吹毛求疵了，因为Einstein本人也早就在著作了提到不可以忽略引力场的潮汐效应，毕竟这个很容易凭直观认知到。因此，只要对相对论有基本了解的人，都不会太憎恶“等效原理”这个接生婆，她不象Synge等人宣称的那么可怕那么讨厌。
未完，待续
shanqin，07-4-1

时空几何的几个问题（2）-----------复分析与微分几何的联姻

shanqin（萍踪浪迹）

复变函数的研究从Euler开始就有了萌芽，但是真正使其成为一门成熟学科的却是Cauchy，他用的是积分方式研究复函数性质。Weierstrass也系统研究了复变函数，但是用的是级数方法，而Riemann研究复变函数的方法是几何的方法。后人发现Weierstrass的方法其实可以从Cauchy和Riemann的方式导出。Cauchy-Riemann方程是用来判断复函数全纯（解析）的核心。

尽管Riemann把Gauss的内蕴曲面的微分几何研究推广到高维流形，但是他并没有将Gauss的这个强有力方法推广到复曲线（赋予复结构的实曲面），因为他当时关心的是复平面（复直线），复平面当然用不着曲面论了。Riemann给出了著名的Riemann映射定理，这是复变函数几何方面的核心定理。

为了解决多值函数问题，1851年，Riemann在自己的博士论文中提出了著名的Riemann曲面理论，这篇论文博得了一向吝于赞人的Gauss的极大赞赏，看来这老狐狸真的极有眼光（注：Abel曾经把Gauss研究数学的风格形容为一只狡猾的狐狸总是把自己在雪地上的脚印用尾巴扫平。）Riemann面从复分析观点看，是1维复流形，而我们知道复流形在纯数学和理论物理中的作用有多么巨大，而且正是Weyl在1913年对于Riemann面的深刻论述导致了流形的第一个严格定义——局部欧式的Hausdorff空间。而复流形则加上一个复结构就可以了。

无论是实流形还是复流形，没有度规都无法进行更细致的研究。Riemann在1854年第一次提出“流形”的粗糙概念时，是直接开始赋予度规即Riemann度规，相应的流形称为Riemann流形。Einstein研究广义相对论时对时空赋予的度规是Lorentz度规，相应的时空流形称为Lorentz流形。但是对于复流形，直到Ahlfors在1938年时通过推广复分析中经典的Schwarz引理时才开始把微分几何引入复分析，他在单位圆盘上定义了Poincare度规（双曲度规）后不仅给出了Schwarz引理的几何图景，而且把Schwarz引理推广为Ahlfors-Schwarz引理。

经典的Schwarz引理引理说：若f（z）为单位圆上的全纯自同构映射，且f（0）=0，f（z）的模小于或等于z的模，且f的导数在z=0时小于或等于1。如果我们用微分几何观点分析，在单位圆上取Poincare度规，那么就是说，单位圆上的全纯自同构保持度规不增加，当且仅当这个自同构为旋转时，映射前后的度规相等。由Schwarz引理可知，单位圆的全纯自同构群由Mobius变换和旋转复合而成。

另外，我们可以计算出，单位圆取定Poincare度规时，曲率为 -1，因此它自然成为“常负曲率曲面”的代表，并且理所当然是双曲几何的最佳模型。而Ahlfors则考虑单位圆到区域U的映射，他将U的度规取到可以令U的曲率的上界为-1（即小于或者等于-1），证明单位圆到U到映射，使度规不增加，这就是著名的Ahlfors-Schwarz引理。如果此时的U就是单位圆，那么这个定理就退化为Schwarz引理。

为了将一维复流形推广到高维复流形，我们要将Cauchy-Riemann方程组写成复形式，将复函数表示复变量z及其共轭复数的函数zbar，Cauchy-Riemann方程写成复形式就是这个函数对于zbar的偏导数为0。如果我们取多个变量z_1, z_2,…… z_n, z_1bar, z_2bar,…… z_nbar，
那么我们就进入多复变函数的研究，此时的Cauchy-Riemann方程组就是对所有n，f对z_nbar的偏导数全为0，此时的函数就是全纯函数。取定2n维流形上的开覆盖{U_a}，如果U_a存在到n维复欧式空间的同胚且{U_a}中任意的两个坐标卡的公共部分都可建立全纯变换，我们就说这个实2n维流形是n维复流形。

著名的Kahler流形是特殊的复流形。对于Kahler流形，不仅有截面曲率，还有全纯截面曲率，且二者不是一个概念，全纯截面曲率为常数并不意味着截面曲率为常数。微分几何中经典的Schur定理说：如果Riemann截面曲率在流形的每点都与方面无关，那么所有点的Riemann截面曲率相等（也就是常截面曲率流形），在Kahler空间里，把上面定理中的Riemann截面曲率换成“全纯截面曲率”，结论依然成立。

如果Kahler流形的全纯截面曲率为常数（记住，此时的截面曲率未必为常数），那么其Ricci曲率就为常数，这样就有了了著名的Kahler-Einstein流形，复欧式空间、复射影空间、复环面、复双曲空间都是Kahler-Einstein流形。

如果Kahler-Einstein流形的Ricci曲率为零，就是著名的Calabi-Yau流形（Ricci平坦流形）。当然，现在的代数几何不必通过这个途径来定义Calabi-Yau流形。但是我们通过这种方式来认识Calabi-Yau流形是比较直观的。弦论中n=3的Calabi-Yau流形很重要，n=2 Calabi-Yau流形（K3曲面）的也很重要。

对于超对称而言，不可重正的（nonrenormalizable）Lagrangian也很重要，例如在高能标情况下，我们无法避免不可重正的Lagrangian，而对于这样的Lagrangian（包含规范和手征两种情况）标量场的三个独立函数分别为超势（superpotential）、Kahler势和规范动力学函数，其中第一个和第三个都必须是复标量场的全纯函数，这就使得Lagrangian的形式受到很大限制：不能出现含复共轭的复变量，理由见前面的定义。而Kahler势则与这两个不同，它不必受这个限制且取实数值。

未完待续
shanqin
07-4-4

第一篇能看懂一些，第二篇完全看不懂

善钦,能否多写一些数学细节,特别是多复变与代数几何方面的内容,当然还有你最熟悉的微分几何.微分几何与复分析之间有很好的联系,在看龚升教授的那本复分析时,就讲了曲率在复分析中的巧妙应用,最后结果证明了Picard大定理,这应该是该定理的一个很不错的初等证明了.另外,能否照顾一下像我这样的物理初学者,少用一些比较高级的物理知识,比如量子场论,超弦理论等,多讲一些数学,嘿嘿,有点自私.

同道中人,却十分仰慕您的才学

回西门兄：其实第二篇比第一篇初等一些
回那一剑：写得再初等写就要抄书了，呵呵。另外代数几何方面，我以后会写一点。龚升教授的《简明复分析》对我学生时影响很大。
回花太香：谢谢你的肯定，术业有专攻，我只是在自己感兴趣的范围内多读了点书而已：）

其实我一直有个疑问,就是学物理的为什么会懂那么多数学,感觉比很多学纯数的都要学得多很多,时间上不知道怎么安排的.期待LZ的下一个帖子

对于超对称而言，不可重正的（nonrenormalizable）Lagrangian也很重要，

It is as important for supersymmetry as for non-supersymmetrical theories.

Even with completely renormalizable Lagrangian, we still have superpotential, Kahler potential and gauge kinetic function.

例如在高能标情况下，我们无法避免不可重正的 Lagrangian，

I am not sure why you think high energy scale is special. Whether there are important non-renormalizable interactions at certain energy scale is a problem independent of supersymmetry.

而对于这样的Lagrangian（包含规范和手征两种情况）标量场的三个独立函数分别为超势（superpotential）、 Kahler势和规范动力学函数

Chiral superfield contains not only scalar field, but also chiral fermion.

Vector superfield, in certain convenient gauge, has not scalar on-shell degree of freedom.

，其中第一个和第三个都必须是复标量场的全纯函数，

Gauge kinetic function is a holomorphic function of field strength superfield and other superfields.

这就使得Lagrangian的形式受到很大限制：不能出现含复共轭的复变量，

In Lagrangian, there could of course be complex conjugate field. The superpotential, Kahler potential and gauge kinetic functions are not Lagrangian themselves. Each term in them generate several terms in the Lagrangian. Supersymmetry impose strong constraints on the couplings in the Lagrangian. Therefore, it is possible to use some shorter generating functions (with much less terms) to describe the Lagrangian. Therefore, it is useful to use superpotential, Kahler potential, and gauge kinetic function, for N=1, D=4 supersymmetry.

理由见前面的定义。

The reason for such contraints is supersymmetry, not any theorem from complex analysis.

而Kahler势则与这两个不同，它不必受这个限制且取实数值。

好文章，虽然有许多地方看不懂，还是接着期待后面的

萍踪兄的功力又在长了，现在是数学和物理在同时上涨

很好的文章！！

感觉现在对复流形的研究和应用都太窄了，书中和文献中主要讨论的是厄米流形和Kahler流形，自己又无力去研究数学。

厄米流形和Kahler流形的典型群都是U(n)群，Calabi-Yau流形的典型群是SU(n)群。实际上我特别想知道一些关于典型群是SL(n,C)群的复流形和近复流形的结果。另外就是研究的度规形式太单调了，主要都是黎曼度规，可供选择的余地太少。

再就是应用方面总是朝着时（实）空间上使劲，应用到波函数上不是挺现成的吗。底流形选为复的说不定可以解决时间箭头问题。胡猜乱想，欢迎石头。

无论从数学还是物理角度，复流行的研究和应用都大有可为。我不认为这个领域是个成熟的领域。

啊,sage兄,我最担心的情况终于发生了
其实那时侯写完的时候本来想说在可重正时那些函数也很重要,但是那时侯没有时间去修改添加,因为在可以重正时,那些形式相对简单些,所以那时侯就没有写进去,这些东西我也是写之前看了两个附录里的内容才写进去,但是没有顾及正文讨论的可重正部分的讨论.

我今天晚上,就要按照您建议,从Higgs物理开始写到SUSY,希望您有时间砸砖头:)

The reason for such contraints is supersymmetry, not any theorem from complex analysis.
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是的,我当时的表述不恰当,应该说是SUSY的限制使它刚好符合了复分析定理的情况,谢谢指导

但愿能在有生之年看懂萍踪兄的这篇文章.

第一篇让我联想起这个咚咚：

没想到有人Synge如此愚蠢。他那个不叫吹毛求疵，就是愚蠢，虽然此人还证明过Riemman几何中很漂亮的定理。

“果我们只考虑三维弯曲空间，那么必须有七维空间才够嵌入，如果只是“浸入”的话，那么维数可以降低，但是无法避免自交点。如果我们考虑四维弯曲时空，要有九维时空才够嵌入，“浸入”的情况如前。”

惭愧，我对微分几何学完全外行，不太明白这是为啥，因为按照日常的理解，只要多一个维数，应该就可以容纳低维的空间。当然，楼主的说法肯定是正确的。我觉得楼主这样说，可能是有两种原因：
第一，对于欧几里德平直空间，只要多一个维数就够了，高一维的空间足以容纳低维的空间。但是，对于弯曲空间，这就是不行的，高一维的空间（无论平直还是弯曲），都不足以容纳低维的弯曲空间。
第二，楼主指的是弯曲时空，而不是仅仅空间，是时间这一维的特殊性决定了四维弯曲时空必须要九维时空才能嵌入。

请问楼主，上面哪种想法是正确的？还是两者都不正确？

呵呵！上面我这个问题确实问得有点无知了。其实，想一个简单的例子就可以明白了：三维空间中的螺旋线就是一维的一个弯曲空间，而二维的平直欧几里德空间是绝对容纳不下它的！折和是否考虑时间没有关系的。

：：其实，想一个简单的例子就可以明白了：三维空间中的螺旋线就是一维的一个弯曲空间，而二维的平直欧几里德空间是绝对容纳不下它的！
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严格说，任何曲线都不是弯曲的，因为它可以拉直，而球面这样的曲面是不可以摊平的，柱面却可以摊平然后直接嵌入平面。所以你自己的这个回答是不符合微分几何的内蕴精神的。

：：这和是否考虑时间没有关系的。
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我们的空间是三维，加上时间这一维进行分析，在几何上就是四维。
又比如相空间，我们空间运动的粒子所在的位形空间只是三维，但是加上动量空间就是六维。

“果我们只考虑三维弯曲空间，那么必须有七维空间才够嵌入，如果只是“浸入”的话，那么维数可以降低，但是无法避免自交点。如果我们考虑四维弯曲时空，要有九维时空才够嵌入，“浸入”的情况如前。”
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这是Whitney的嵌入定理。如果考虑度量结构，还需要Nash嵌入，这是外围的欧几里德大空间维数要高得多才行。
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惭愧，我对微分几何学完全外行，不太明白这是为啥，因为按照日常的理解，只要多一个维数，应该就可以容纳低维的空间。当然，楼主的说法肯定是正确的。我觉得楼主这样说，可能是有两种原因：
第一，对于欧几里德平直空间，只要多一个维数就够了，高一维的空间足以容纳低维的空间。但是，对于弯曲空间，这就是不行的，高一维的空间（无论平直还是弯曲），都不足以容纳低维的弯曲空间。
第二，楼主指的是弯曲时空，而不是仅仅空间，是时间这一维的特殊性决定了四维弯曲时空必须要九维时空才能嵌入。

请问楼主，上面哪种想法是正确的？还是两者都不正确？
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都不正确。
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谢谢gauge兄指出我的疏忽，我以前写过：
“Nash证明，每个紧致Cr类（r不小于3）m维Riemann流形存在由在E^n中的Cr等距嵌入（isometric imbedding），其中n=（3m^2+11m）/2，如果流形是非紧的，则外围空间维数为（3m^2+11m）（m+1）/2。这个定理的证明用到Nash著名的关于微分算子逆算子的隐函数定理。对于局部解析情形，Cauchy-Kovalevskaya定理可以代替隐函数定理。”

3维紧致流形的外围空间维数是：n=（3.3^2+11.3）/2=30,非紧的就更大了,参看上面公式

发觉版上待续的帖子好多.高举生命不息,续帖不止的伟大旗帜.我也将加入光荣的续帖党.