Penrose猜想与度规流（flow of metrics）

shanqin（萍踪浪迹）

在广义相对论中，质量的定义是困难的，由于引力波的贡献，时空的能量密度的积分并不总是与总体ADM质量相等，但由于物质间势能的负贡献，我们同样无法认为总体ADM质量要大于时空的能量密度的积分。因此能量分布、黑洞与时空总质量之间的关系就成为重要的难题。

正质量定理（Positive Mass Theorem）和Penrose猜测都和这个问题有关。正质量定理有点莫名其妙地被称为“Einstein猜想”，可是这个猜想实际上是在Einstein去世后才被系统研究后提出的，由于Arnowitt、Deser、Misner三人对这个猜想的形成起了极其重要的作用，所以这个定理也被另外一些人称为ADM猜想。个人认为ADM猜想比“Einstein猜想”更符合实际，虽然我们知道这个问题是广义相对论的重要问题，但也不至于把所有与广义相对论有关的问题都贴上Einstein的标签吧，嘿嘿。不过科学史上这种张冠李戴的现象从来就没少过，比如著名的Levi-Civita联络就经常被称为Riemann联络，而Riemann本人到死都没有想过这个想法。

正质量定理在1960年左右就逐步形成，Schoen和Yau在1979年应用极小曲面(minimal surfaces)技巧解决了正质量定理，1981年Witten用调和旋量（harmonic spinor）技巧重新证明正质量定理。

正质量定理中的类空超曲面M^3在外围的四维时空中的第二基本形式h_ij为零的时候，就是Riemann正质量定理定理（Riemannian Positive Mass Theorem）。四维时空中的类空超曲面受四个限制，类光超曲面只受三个限制，与此限制条件相联系的就是Gauss-Codazzi方程，我们称之为Gauss-Codazzi constraints。

关于正质量定理我曾经打算写篇科普，但是这个猜想涉及很多概念和精细的曲率估计，如果我把以前自己零碎写的东西重新整理一遍，不仅觉得相当无趣，而且无法写深入。所以我决定把以前写的扔掉重写，不过这要等我有时间后。

今天重点说说和正质量定理有很大关系的Penrose猜想。1973年时，Penrose提出了他的这个著名猜测。由于涉及引力坍缩、宇宙监督等一系列有趣的问题，及其自身在数学中的重要性，Penrose猜想很受关注。

虽然正质量定理1979年就被解决，但是Penrose猜想在提出后近二十年以来一直未被证明。直到前几年（2001年）Huisken和Ilmanen以及Bray等人解决了特殊情形下（也是重要情形下）的Penrose猜想——Riemannian Penrose conjucture：赋予度规g的完备、光滑、渐进平坦、标量曲率非负的三维流形(M^3,g)，其质量大于或者等于（A/16π）^(1/2).当且仅当M^3等距于Schwarzschild流形时，取等号。

在这里,A表示黑洞表观视界（apparent horizon）的面积。以（A/16π）^(1/2)定义质量，是Penrose在做出这个猜想的时候首创的。Huisken和Ilmanen应用了平均曲率流技巧，Bray的证明用到了正质量定理。

正如我们熟知的，Schwarschild度规可以描述球对称静止不带电黑洞外部时空，是广义相对论的第一个严格解，其唯一参数是质量。如果M^3在外围的四维时空N^4中的第二基本形式为零，那么N^4中黑洞的表观视界对应着M^3的“外部极大”的极小超曲面，无法包含于其他极小曲面的极小曲面称为“外部极大的极小曲面”。

因此Penrose猜测意味着标量曲率非负的渐进平坦3维流形其总质量大于或者等于某个限定了视界（horizon）面积A的Schwarzschild黑洞的质量（A/16π）^(1/2)。

我们反过来简要回顾以下有关历史。1973年，Geroch已经发现，标量曲率非负的流形，其球面的Hawking质量在1/H流（flow）下单调增加，H代表球面的平均曲率。更广泛地，几何学家用H代表曲面的平均曲率（主曲率的算术平均）。Jang和Wald建议用这个方法去研究Penrose猜想，但是由于直接应用这个技巧会导致奇点产生而无法达成目的。Huisken和Ilmanen定义了推广的1/H流，使得这个流可以在适当的时候跳跃以防止演化过程中出现的奇点，从而证明了(M^3,g)的视界只有一个连通分支时的Riemannian Penrose猜想。

Bray引入新的度规流（flow of metrics）解决了一般情形的Riemannian Penrose猜想。这个度规流在演化过程中，保持了对应的流形族（class of manifolds）包含极小球面（minimal sphere）且以Schwarzschild度规为初始度规进行演化并保持极小球面面积为常数（从而自然保持了对应的黑洞质量为常数）。

我们从上面的简单叙述知道，Huisken和Ilmanen定义的流是至关重要的。这里我们可以回溯到著名的
Ricci流。Hamilton在大约1981年时，提出了Ricci流的想法，将流形的度规予以变动，提出一个方程，左边是度规对时间的微商，右边是Ricci曲率，因此被称为Ricci流。本意上，他是为了将Eells和Sampton调和映射的方法推广到Riemann度规。他证明如果初始Riemann度规有正定Ricci曲率，那么他的方程有解且最终在时间趋于无穷大时收敛于常曲率空间。后来在Yau的建议下，他将这个方法用来研究Thurston的几何化猜想，这个猜想包含了Poincare猜想（可不是Penrose猜想^_^），取得很大进展。

1984年Huisken提出了平均曲率流（mean curvature flow）的想法，沿着曲面法线演化度规。如果曲面时闭凸曲面（平均曲率因此就为正，与Hamilton的Ricci流中正定Ricci曲率类似的要求），那么演化过程中就不会出现奇点。如果不是凸曲面，就会出现奇点且此时曲面会分裂。

因此，度规流的演化中最重要的问题之一时怎样避免奇点。Ricci流用“手术”（surgery）切割粘贴，消灭奇点，Hamilton为这个方向做出巨大贡献，他解决了所有情形的奇点但是却无法解决雪茄型奇点的产生，Perelman在2002到2003年间解决了这个难题顺带解决了Poincare猜想（可不是Penrose猜想^_^）。而Huisken和Ilmanen则是选择跳跃方式解决奇点的难题。

先写到这里，待续。

好文，把我零星知道的一些事件连起来了。

萍踪要是能够科普一下Ricci流就好了,就是讲一下Ricci流的思想渊源以及大致精神,据说这个东西现在在代数几何里也很有用.

回那一剑：有空就写，但是现在要完成sage兄的任务先

萍踪兄前面还有两篇文章待续，可别忘了哦。如果中间会有较长时间（比如几个月）的停顿，请告知一下，我可以先将已经发表的部分收录到文集中。

回昌海兄：其实是还有三篇待续，以前那个KAM，和近期的时空与几何，Teichmuller。加上这个是四篇待续。因为总是要被某些事情阻断研究过程，嘿嘿。我还要把sage兄布置下来的关于SUSY、大统一和RGEs，Higgs物理的topics都写完整点好有脸去见他，哈哈。所以最近到处欠文章债，嘿嘿。

BTW：文中有一句漏了半句（其实就三个字，所以当时写漏了）

：：虽然正质量定理1979年就被解决，但是…….当且仅当M^3等距于Schwarzschild流形。
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这句话当时写漏了最后面半句，请昌海兄把最后一句改为：当且仅当M^3等距于Schwarzschild流形时，取等号。
当然前面的都不变动，我是为了你好找才把该段第一句也复制下来。

Ricci流用“手术”（sugery）切割粘贴
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括号里应该是surgery，难怪我当时一直觉得不对劲，也请昌海兄改正。

Replaced.

Penrose猜想与度规流（flow of metrics）续：

Penrose猜想直接涉及宇宙监督假设（cosmic censorship conjucture）——时空中无法出现裸奇点，奇点被视界包裹。

虽然Schwarzschild时空的线性微扰研究已经在很大程度上支持了这个假设，但是这个猜想并未被严格证明——无论是数学方法还是物理方法。如果宇宙监督成立，那么自然就意味着物体的引力坍缩只会导致黑洞，而不导致裸奇点，因此除了宇宙大爆炸的奇点之外，自然界不存在任何裸奇点，于是时空必须是整体双曲的。

必须提及的是，在Riemann几何中用著名的Hopf-Rinow定理描述空间的完备性，而在四维时空（号差为（-，+，+，+）的伪Riemann几何）中则用整体双曲来定义完备时空。

正质量定理以Minkowski时空作为取等号的条件，其成立意味着Minkowski时空是稳定的。而Penrose猜想则以Schwarzschild时空作为取等号的条件。但是，遗憾的是Schwarzschild时空的非线性稳定性却是未知的。

如果我们更一般得考虑角动量非零情形——即Kerr时空，那么关于稳定性的问题自然就更复杂得多。因此事实上我们经常考虑的就是Schwarzschild时空，因为即使是旋转的Kerr黑洞和带电的NR黑洞，最终也会在失去角动量和电荷后成为Schwarzschild黑洞。于是自然要从Schwarzschild黑洞开始探究。

我们可以用另外语言来描述Penrose猜测：在一族固定了质量的初始数据集（initial data set）中，Schwarzschild解的初始数据集具有最大的表观视界面积。所谓“初始数据集”，就是给定时空中的类空超曲面(spacelike hypersurface)M以及其度规g_ij和第二基本形式h_ij,写成（M，g_ij，h_ij）。

正如前文所说，Geroch对Hawking质量（Hawking拟局部质量）随着曲面族在流的演化下的单调变化是探索Penrose猜测的重要一步，Geroch注意到对于黑洞而言，无限远处球面情况下，Hawking质量其实就是初始数据集的总质量，Hawking质量就是黑洞视界平方根，因此如果曲面的流存在，就可以证明Penrose猜测。但是，Geroch的原始想法无法避免奇点。Huisken和Ilmanen对Geroch的想法进行了推广，使得这个思想更加精确且可以以跳跃过奇点，证明了视界面连通（即只有一个连通分支）的情形，Bray则解决了非连通的情形。

黑洞的视界在流的演化下，随着时间增长而向外而不向内运动。Bray的论文中有一个有趣的结论是：非连通的极小初始视界在共形度规流（conformal flow of metrics）的演化过程中，非连通分支会在某个时候不经接触而突然跳跃到外面合并成单连通视界并将初始视界包裹在内。即使初始视界单连通，它也会在演化过程中突然跳跃出去。

（全文完）