As is well known to all, in general, the radical of a commutative ring is not the nilradical of it, then what condiction does the commutative ring satisfy so that the radical=nilradical?

it is not difficult to find a sufficient condition and some concrete example
只是想看看大家怎么思考这题

一开始我觉得对任何局部环都是成立的,一想不对,长期在artin algebra上考虑问题,导致了错误的结论. 是不一定的,对于某些环是成立的. (Atiyah的书上有习题讲了充分条件)事实上对于有限维代数结论是成立的,更一般地对于有限生成artin代数作为环也是成立的,因为any descending chains of ideals in artin ring is stable, then because of finite generated, according to Nakayama Lemma, the radical is nilpotent.

后来一个人举出了一个非平凡的例 dual number k[x]/(x^2), 其实可以换个角度来看,从quiver的角度来看,就是一个loop 模掉了x^2=0 这个relation,得到的quiver只有一条arrow了,也就是说是有限生成的. 从quiver可以很容易得到这个结论,因为for a quiver Q,the radical of path algebra KQ is the arrow ideal, 因此只要Q acyclic, 那么arrow ideal肯定是nilpotent.而如果有loop怎么乘都不会得0

另外dual number是局部环这个事实从quiver的角度来说也是直接的, 因为dual number/radical 就只有一个顶点了,显然与K同构, 所以radical is the maximal ideal.立即得到是局部环.

所以用quiver可以很直观地看到一些环的性质.其实我觉得这是几何的一种作用.上次说对Auslander Reiten quiver的构造有一点想法,这次我似乎更加坚定了这个想法. 过几天再说.