大家好：
这里有个例题
设z=f(x,y) 由方程F(x+y,y+z)=0 所确定
令z+y=u y+z=v 原方程变成F(u,v)=0
那么F对x 的偏导因该是
әF/әx=(әF/әu)*(әu/әx)+(әF/әv)*(әv/әx)
= (әF/әu)
答案是到这里就结束了
但是偶认为既然z=f(x,y) 那么上面的әv/әx就因该等于әz/әx
所以偶认为
әF/әx=(әF/әu)*(әu/әx)+(әF/әv)*(әv/әx)
= (әF/әu)+(әF/әv)*(әz/әx)
是不是偶想歪了？？

你对链式法则没有弄懂，建议细看微积分第二册第一章。

很多书上的记号混乱, 导致多元函数偏导数的迷惑性, 特别是还有复合函数出现的时候.

比较好的办法是引进字母表示所有的变量, 而函数不要出现在偏导数符号中, 比如这个题,
应该引进 w = F(U,V),

那么所有变量分为三层, 由下面的图表示:
w

U V

x y z

这样很容易看到变量之间的函数关系而容易应用链式法则.

你没有理清隐函数的定义. 如果我们固定 w=0, 那么 x, y, z 就不再是独立变量,
它们收到这个条件的约束.
w=0 是因, z=f(x,y) 是果. 现在如果你把 z=f(x,y) 带入 w 的函数表达式,
将会得到 w 恒等于0, 对任何 x, y.

克服这些迷惑还有一点应该注意的就是, 偏导数是函数, 但是其变量经常被省略, 这会造成理解上的困难, 最好的办法是把变量全部写出来, 比如这里隐函数的条件是

F(x,y,f(x,y)) = 0 对所有 x, y. 在这个式子中 x,y 是独立变量

两边对 x 求偏导数, (dF/dx)(x,y,f(x,y)) + (dF/dz)(x,y,f(x,y))* (df/dx)(x,y) =0.
这样得到 (df/dx)(x,y) 的公式, 用它可以计算超曲面 F(x,y,z)=0 上每一点隐函数的导数, 但是注意这个公式并不能表示为 x,y 的显式, 因为我们并不知道 f(x,y) 的显示表达.

我说得也许有点乱, 总的意思是说, 随时追踪所有的变量, 每写下一个式子, 要搞清楚哪些是独立变量, 每写下一个导数, 要搞清楚这个导数到底是哪些变量的函数, 又在哪一点取值 ......

还有一点应该注意就是, 函数有 "形参" 和 "实参", 比如谈论函数 w = F(U,V), 那么 U, V 是形参. 严格来说, 只能谈论函数对形参的偏导数 dF/dU, dF/dV. 如果 U 和 V 还是更底层变量 x,y,z 的函数, 那么我们应该引进新的字母 G 来记录新的函数关系 w = F(U(x,y,z), V(x,y,z)) = G(x,y,z). 这个时候 dF/dx 是没有意义的, 有意义的只是 dF/dU ( =dw/dU ), 或者 dG/dx ( =dw/dx).

形参和实参的差别在以下这个式子能看得清楚, dF/dU 是 U, V 的函数, 而 U,V 是 x,y,z 的函数, 所以 dF/dU 是 x,y,z 的函数. 通常大家都不会把这种依赖关系写出来, 但是写出来绝对有助于理解,

(dF/dU)(U(x,y,z), V(x,y,z)).

其实更好的办法是忘掉代表参数的字母, 而只记录参数的位置, 比如记 F 对第一个变量的偏导数记做 F_1, 它还是一个二元函数, 对第二个变量的偏导数记做 F_2, ...... 这更符合现代数学的精神, 即函数只是关系, 而不是含有字母的公式.

斯皮瓦克的书里就建议用D1F（1是角标）表示对函数F第一个变量求偏导，不知能不能清楚一些

我想是不是
既然确定了 F(x+y,y+z)=0 那么是不是不管z是否是一个单独变量还是代表的复合函数 那么他们的地位是平等的
我找了一些资料 还可以这样做的
等式两边同时对x求偏导
那么 z对x的偏导可以直接表示为 (әF/әu)+(әF/әv)*(әz/әx)=0
可以不用隐函数求导公式了
我这样理解对的吧 ？

太谢谢各位的解答
偶看到形参和实参的比喻就感觉很像c++的函数的概念
偶好像因该没有糊涂啊
做学问久的脸皮厚 季兄写的真好但是偶能不能再问一下 为什么严格来说, 只能谈论函数对形参的偏导数？ w = F(U(x,y,z), V(x,y,z)) = G(x,y,z). 这个时候 dF/dx 是没有意义的, 有意义的只是 dF/dU ( =dw/dU ), 或者 dG/dx ( =dw/dx).
看到类似的题目还可以直接求偏导不用隐函数求导公式的做法 我可能和那个方法弄糊涂了

等式两边同时对x求偏导
那么 z对x的偏导可以直接表示为 (әF/әu)+(әF/әv)*(әz/әx)=0
可以不用隐函数求导公式了
我这样理解对的吧 ？
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隐函数求导公式不就是这么推导出来的吗?

至于为什么只能对 "形参" 求导, 解释很简单, 就是 "函数" 与 "函数值" 的区别.

楼主是对的，而原答案显然是错的。

遇到这类疑问，不妨给出一个特殊的例子试一试。

事实上，把z=f(x,y)代入F(x+y,y+z)=0得到
F(x+y,y+f(x,y))=0
再考虑F(x+y,y+f(x,y))对x求偏导，显然不是书上的答案。

不过最后结果需要利用已知条件化简，例如
әF/әx=(әF/әu)*(әu/әx)+(әF/әv)*(әv/әx)
= (әF/әu)+(әF/әv)*(әz/әx)＝0
除非楼主没有全部告诉我们已知条件，否则原答案的确错了

同意西门兄的意见,原答案显然是错误的,而楼主的想法是正确的.而且这个问题也不需要想得太复杂.

大家好：
这里有个例题
设z=f(x,y) 由方程F(x+y,y+z)=0 所确定
令z+y=u y+z=v 原方程变成F(u,v)=0
那么F对x 的偏导因该是
әF/әx=(әF/әu)*(әu/әx)+(әF/әv)*(әv/әx)
= (әF/әu)

问题就出在这里,上式假定(әu/әx)=1,这是是正确的,但是同时认为(әv/әx)=0,这就是错误的.因为(әv/әx)=(әy/әx)+(әz/әx),其中(әy/әx)=0,因为x与y是互相独立的变量,而z=f(x,y),所以(әz/әx)=(әf/әx)是不会恒等于零的.所以,正确的答案应该是
әF/әx=(әF/әu)*(әu/әx)+(әF/әv)*(әv/әx)
= әF/әu)*(әu/әx)+(әF/әv)*(әf/әx)

这个问题出现误解的关键是,在做偏导数的时候,你必须考虑有几个独立变量,而z=f(x,y),显然z不是与x,y等同的独立变量,(әz/әx)不等于零的.

太混乱了. 大家对 jiangxiaoyu 的原问题理解不一致. 我认为他所问的只是解题过程中的一步

如果把 z=f(x,y) 带进 F(x+y, y+z), 那么结果恒为零 --- 因为前者是由后者定义的.
这时候谈论偏导数有什么意义?

建议 jiangxiaoyu 把原题完整叙述一下