微分几何科普(1):浅谈度规和曲率

Shanqin（萍踪浪迹）

前言：从现在开始，写一些大学理科生可以轻松看得懂的科普帖子,作出的牺牲就是让其他更高学历的人看起来很平庸.从现在开始,要把看起来要写比较长的文章分开写，不在一个帖子里搞连载。这样主要是为了避免没有时间续写自己的主题而让自己的帖子变成TJ帖（啥叫TJ呢？就是和DJ有一定联系的……）。

正文：初步的微分几何,必须掌握基本的曲线论,必须适应以弧长为参数的方程.Frenet公式是曲线论基本公式, Frenet标架是活动标架在曲线时的特殊情形.两条曲率和挠率都一样的曲线可以通过刚体运动重合在一起,这是曲线论基本定理.曲线的内蕴曲率为零。所以所有曲线都可以拉直而不改变其上任意两点间弧长.我们知道,曲面论中这一点通常不能成立,除非此曲面可以等距映射为平面,我们称这种可以和平面进行等距映射的曲面为平坦曲面,如柱面.

因此,我们必须深入研究曲面的曲率问题,首先要熟悉曲线坐标,在切平面上讨论问题,这个是整个微分几何的基础.因为即使到高维情形,我们仍要讨论切空间及其上的Levi-Civita联络.
在切平面上任意点引入切矢量基(du,dv),切向量在这个基下的分量则为r_u,r_v,定义切向量内积系数:
E=< r_u. r_u>=g_11,
F=< r_u. r_v>=< r_v. r_u>=g_12,
G=< r_v. r_v>=g_22,
这三个量就是极其重要的度量(度规)系数.
曲面的第一基本形式于是可以写成:
Ⅰ=<dr.dr>=Edudu+2Fdudv+Gdvdv=g_ijdu_idu_j
最后一式我们将du,dv写成du_1,du_2,i,j取值为1,2,这里采用了Einstein求和约定:重复指标自动求和.这样的符号约定和求和约定可以让我们轻松将2维情形推广到n维流形的n维切空间,其上切向量内积系数(度量系数)就是g_ij(i,j=1,2,…,n),若n等于4,就是广义相对论中的度规张量情形.

我们开始讨论曲面的第二基本形式.引入曲面上任意点的法向量n,定义两点间法向量的变化: dn=n_udu+n_vdv.
其中n_u,n_v为dn在基(du,dv)下的展开系数.则我们可以定义内积:
L=-< r_u. n_u>=h_11
M=-< r_u. n_v>=< r_v. n_u>h_12
N=-< r_v. n_v>=h_22
L,M,N(h_11, h_12, h_22)称为第二形式基本量,于是第二基本形式可以写成:
Ⅱ= -<dr.dn>= Ldudu+2Mdudv+Ndvdv= h_ijdu_idu_j.
最后一个等式采用的符号和求和约定同上.

第一基本形式决定了曲面的内蕴结构,以后我们会发现,联络系数(Christoffel符号)由度规张量和度规张量的一次导数决定,而曲面的Gauss曲率(广而言之,流形的Riemann截面曲率)由联络系数及其一阶导数决定.

什么是Gauss曲率和Riemann截面曲率?
我们可以从曲面的法曲率出发,定义主曲率.我们想象拿着一把刀,贴着曲面上某点(u,v)的法线往下切,在曲面上切出一条曲线,这条曲线的曲率就是曲面在该点(u,v)沿(du,dv)方向的法曲率.如果想象我们切一个椭球面,在同一点贴着法线,沿不同方向切下去,切出的所有曲线(称为法截线,相应的这一刀所在的平面称为法截面)的曲率不一定一样.我们把这些曲线的曲率进行比较,最大和最小的法曲率称为主曲率,记为k_1, k_2.这两个法曲率对应的法截线必定垂直.
定义Gauss曲率为k_1, k_2的乘积:K= k_1.k_2. 若K=0,则曲面必然平坦.
定义平均曲率为k_1, k_2的算术平均: H=( k_1+_2)/2.若H=0,则该曲面就是极小曲面.
Gauss绝妙定理指出, Gauss曲率K在曲面的等距变换下保持不变.即曲面的内蕴性质由第一基本形式决定决定,与它在外围空间中的形状无关.而曲面的第二基本形式则决定了曲面在外围空间中的形状.这些结论可以可以推广到高维空间中的超曲面(维数比外围空间低一的曲面称为超曲面).

1854年Riemann推广了Gauss的想法,将抽象曲面研究推广到高维抽象弯曲空间(流形)进行研究.在高维情形,我们将面对切空间.与前面类似,我们定义度规系数g_ij(i,j=1,2,…,n),此时我们可以让其他方向都退化,留下两个方向,用曲面论观点看问题.这样就可以将Gauss曲率搬到这里,由于方向很多,我们将面对不止一个的Gauss曲率,我们将这些曲率称为Riemann截面曲率.显然,当弯曲空间为2维曲面时, Riemann截面曲率就是Gauss曲率.

Riemann截面曲率为常数的空间称为常曲率空间,如果这个常曲率空间是单连通的,我们就称为“空间形式”,最重要的三种空间形式分别是正曲率的球空间,零曲率的欧空间,负曲率的双曲空间.

Riemann在世时,并未将这个想法进行详细发展,后世的Christoffel进行了很大的扩充,这个曲率由Christoffel符号的导数和乘积表示, 所以Riemann截面曲率也称为Riemann-Christoffel曲率.

将Riemann截面曲率缩并(取迹,即让R_ijkl中的两个字母相同而求和),就得到了Ricci曲率R_ij,将Ricci曲率缩并,就得到标量曲率(数量曲率,纯量曲率)R.

这些概念在后来Einstein创立的引力论(GR)之中都成为核心概念.GR确定了时空曲率和物质分布的关系.其基本方程就是Einstein方程:
R_ij-1/2 R g_ij+Λg_ij=8πT_ij
其中R_ij为时空的Ricci曲率,R为时空的标量曲率, g_ij为时空的度规张量. Λ为宇宙学常数, T_ij为物质的物质的能-动张量.我们可以记G_ij=R_ij-1/2 R g_ij, G_ij就是通常所说的Einstein张量.

因此我们研究四维时空时,只要知道它的度规张量(第一基本形式系数),就可以直接以这个四维时空为研究对象,而不用考虑将这个时空嵌入更高维数的空间进行研究.所以不管是Minkowski空间,de Sitter空间还是反de Sitter空间,都是写成度规后进行研究.

但是在很多时候,我们要研究时空中的超曲面. 即使是de Sitter空间和反de Sitter空间,我们也可以将它们分别嵌入五维欧氏空间R^5里面的双曲面.

而在广义相对论中我们以Lorentz流形作为基本研究框架(尽管我们可以赋予时空其他形式的度规结构,但是我们最经常使用的还是Lorentz度规.)我们通常要研究Lorentz流形中的类空超曲面M^3,为了研究其上的内蕴特征和外在特征在时间演化下的变化,就必须引入初始数据集(M^3,g_ij, h_ij),此处g_ij, h_ij分别为M^3上的度规张量和第二基本形式量. g_ij和h_ij必须满足的相容性条件是著名的Gauss-Codazzi方程.因为 Gauss-Codazzi方程是(超)曲面存在的充分必要条件.因此可见看似初等的微分几何曲面论中的一些概念在广义相对论的现代研究中实际上是非常重要的.

但是在很多时候,我们要研究时空中的超曲面. 即使是de Sitter空间和反de Sitter空间,我们也可以将它们分别嵌入五维欧氏空间R^5里面的双曲面.
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昌海兄，请将上面这一段替换成下面这一段，然后删除此回帖：

但是在很多时候,我们要研究时空中的超曲面. 即使是de Sitter空间和反de Sitter空间,我们也可以将它们分别嵌入五维伪欧氏空间（pseudo-Euclidean spaces）R^5里面的双曲面。dS空间嵌入的是号差为（-，+，+，+，+）的伪欧氏空间，AdS空间嵌入的是号差为（-，-，+，+，+）的伪欧氏空间.另外，1933年时，Robertson证明了Einstein静态时空也可以嵌入号差为（-，+，+，+，+）的伪欧氏空间。

这篇文章中由于有一些“<”符号， 在修改过程中会被系统错当成 HTML Tag， 因此只好不改了。 不过在文集版本中我会进行上述替换的。

dS空间嵌入的是号差为（-，+，+，+，+）的伪欧氏空间，AdS空间嵌入的是号差为（-，-，+，+，+）的伪欧氏空间.另外，1933年时，Robertson证明了Einstein静态时空也可以嵌入号差为（-，+，+，+，+）的伪欧氏空间。
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（-，+，+，+，+）这个东西跟Crystal base and Quantum group有什么关系?

萍踪兄,写的好,期待续集,先好好看看.微分几何一直是我的心病.

正在学习黎曼几何，感觉很是困难，
有高手能解释一下下面的问题吗，
张量的具体定义，
还有在流形上如何定义算子div f,还有梯度 f,其中f 是定义在流形上的光滑函数.

萍踪兄倒是写了不少科普痕迹的文章，而且貌似牵涉到很多的方面。

随便问下，不知萍踪兄自己做国什么工作没有啊？

张量的定义要从切空间和余切空间开始，这在Riemann几何的很多书里都有，而流形上的算子其实也只是通常的欧空间里的算子的推广定义。只是比较抽象而已。

萍踪兄是学数学的吗?
能具体的讲讲这些算子吗?

好久没来,又看见萍踪兄的好文章了.
萍踪兄写的好啊,我期待更好的.

踏雪无痕：关于张量的一些知识，请进入这个地址：http://www.changhai.org/bbs/collection/s14.php

追忆兄：谢谢