这个周末美国拓扑学界的一大盛事就是不世出的天才 William Thurston 60 大寿, 各位大佬和 Thurston 学派的主要人物齐聚于科学圣地普林斯顿, 回顾过去, 展望将来.

近两年来由于丘老先生的热心, 使 Thurston 的大名越洋远波, 不少国人因而得知 Thurston 的主要贡献在于蕴涵 "Poincare 猜想" 在内的 "几何化猜想". 大会上的讨论显示, 几何化猜想被俄罗斯野人 Perelman 攻克已成公论. 想起代数几何学家 Griffiths 在他的<代数曲线>前言中说, Riemann-Roch 定理不应该是代数曲线理论的终结, 而是真正的开始. 我们现在也可以说, "几何化" 不是三维流形理论的终结, 而是一个新的开始, 我们现在解开束缚, 可以完全自由地讨论三维流形的分类问题了. 与我以前听到的相反, Thurston 似乎并没有对 "几何化猜想" 不在他所设计的步骤下被证明这件事感到不快. 而我这次亲眼看到他之后, 觉得他比传说中要和蔼可亲多了, 几乎肯定比传说中的 Grothendieck 更贴近正常人.

Thurston 于1967年从 New College of Sarasota, Florida 获得他的生物学士学位. 据他自己所述, 这个学校非常重视独立研究, 所以在本科期间他读了不少数学书. 毕业以后去加州伯克力攻读数学博士. 这个故事可以激励客栈里很多身在其它专业而热爱数学的同修, 专业不是困难, 也不是借口, 呵呵.

Thurston 的博士和博士后期间的工作都是关于 "分叶结构" 的. 我其实不是很理解为什么叫 "分叶", 就图像来说好像 "分页" 更合适. 简单说就是什么样的流形是维数统一的子流形的并. 如果流形是闭的, 那么 "低一维的分叶" (codimension one foliation)受到一个比较显然的限制, 就是欧拉示性数必须是0. Thurston 在这个课题上的结果就是: 如果考虑光滑分叶结构, 那么这个限制就是唯一的限制. 也就是说, 只要一个闭流形的欧拉示性数是0, 那么就存在光滑分叶结构. 这个结果是很出人意料的, 本来大家都觉得这个问题的答案应该不可能这么简单. Thurston 就是这样, 他得到的结果总是让所有人大吃一惊.

说到这里有一个故事, 关于 Thurston 和另外一个 Fields 奖得主 Michael Freedman 的. Freedman 毕业以后做了一些分叶结构的东西, 大佬 Milnor 很欣赏, 1975 年把他搞到普林斯顿高等研究所来做学术委员, 结果他刚过来, Thurston 就作出了上面的结果, 把这个问题回答得既干脆又圆满. 于是 Milnor 认为 Freedman 没有前途了, 立即解聘了他, 还好加州大学圣地亚哥分校收留了他. Freedman 当时恨的那叫一个牙痒痒, 痛定思痛, 决心搞个大的. 四年以后, Freedman 成绩斐然, Milnor 脸皮也够厚, 又把他搞到高等研究所去, 可惜 Freedman 对 Milnor 可能一直怀恨在心, 当 UCSD 用正教授职位来挽留他的时候, 他毅然留在了圣地亚哥. 在他回到圣地亚哥的当年(1982), 他就宣布证明了四维 Poincare 猜想. 1986年颁发 Fields 奖的时候, Milnor 又出现了, 高度评价了 Freedman 的工作. 对 Milnor 来说, 当年是秉持任人唯贤的原则, 而对于 Freedman, 的确有些残酷. 美国的数学界就是这样, 能够用来证明自己潜力的时间和机会都很少, 无比勤奋地工作才是抓住这些机会的唯一途径.

Thurston 博士期间研究的分叶结构是三维流形上的, 这些研究使得他对三维流形的内部构造有了非常敏锐的感觉, 这种感觉把他引至关于三维流形的几何结构的研究, 从而发现了最令人吃惊的结果 --- 原来绝大多数 "不可约" 三维流形都具有 "双曲度量". 当 Riemann 在1854年提出他的 "流形" 概念的时候, 他把当时人们还不能接受的 "双曲几何" (即 "非欧几何") 作为他的一般 "度量" 概念的一个非常特殊的情形, 他绝对不会想到在三维, 我们人类存在的空间维数, 双曲几何是如此普遍的存在. 而当 Poincare 将双曲几何从故纸堆里翻出来进行系统研究的时候, 他也不会想到这个几何结构同他另一个关心的问题 (Poincare 猜想) 正好构成三维流形分类过程中两个互补的方面.

这个故事中有一个普遍规律, 就是博士期间研究课题的重要性 (这里说的博士期间准确说应该是整个研究生期间, 包括硕士和博士. 美国的博士几乎都是直博, 对严肃的研究生来说, 直博肯定更好). 这个课题最好比较容易上手, 同时又比较有深度. 这里的 "深度" 可以这么理解: 它同某个领域里最核心的问题有微妙的关系. 这个课题又不能太深, 比如说它最好不要是某个领域最核心的问题, 核心问题通常是不能被直接攻击的, 必须迂回, 在博士期间直接攻击这种问题就是自毁前程. 这个课题最好需要一些特别的技巧 (多数人不会的技巧, 多半来自于导师的直接传授), 在整个博士研究过程中, 这些技巧慢慢被自己吸收, 发展, 成为自己的一套思维方式. 在博士毕业之后的一段独立研究中, 运用这一套思维方式来试探前人提出的一些相关问题, 由于这一套观点和技巧来源于自己长期 (4-5年) 对一个问题的深入研究, 它们已经成为威力强大的工具, 解决相关问题的希望是很大的.

博士期间练就的这一套思维方式和技巧, 我喜欢叫做 "看家本领". 这就像天龙八部里鸠摩智练的小无相功, 可以凭它这一种内力就催动少林七十二绝技, 玩得比少林高僧还似模似样. 以上这两个例子, Thurston 的看家本领就是分叶结构以及相应的动力系统的观点和技巧, Freedman 的看家本领也是分叶, 手术, 这些他博士期间研究的东西. 另一个很好的例子就是 Kontsevich, 他在博士期间研究二维引力理论, 证明了 Witten 猜想, 过程中学到的量子场论, 弦论, 代数几何, 以及对 Feynmann 图的灵活运用, 都深深地渗透到他这十多年的研究当中. 他最具代表性的成果, Kontsevich integral, 一个普适量子不变量, Poisson 流形形变量子化的存在唯一, 都是以 Feynmann 图为核心概念和工具, 而 Poisson 流形量子化和 homological mirror symmetry proposal 也来源于他对二维引力的深刻理解.

我自己非常遗憾地荒废了研究生阶段最宝贵的5年, 在这几年中, 我的兴趣过于广泛, 而读书又太流于表面, 时髦的名词和理论见到无数, 却从未严肃认真地去研究过其中任何一个. 最后的结果就是无一技防身, 亏了导师的贤明才得以毕业后苟延残喘几年, 现在懊悔不已. 虽然古语有云亡羊补牢为时未晚, 但习惯成自然, 现在想补救已是非常困难, 思维流动性太大, 每个问题思考半晌之后, 要么放弃, 要么就跳向另一问题, 其结果就是思之良久却一无所获. 技巧的缺乏又导致对任何问题都没有头绪, 想算却不知道算什么, 想推导却没有明确目标. 这些都是在博士期间没有深入研究一个课题, 没有对某个种类的对象形成良好的感觉所致.

这几年中国的大学生对数学或者物理的热情高涨, 在各种论坛上就能感受到. 只是大多数爱好者都是只见理论的冠冕堂皇, 而不知其探求过程的琐碎与丑陋. 各大数学论坛都有两极分化的趋势 --- 论坛办到最后, 一半帖子在高谈阔论 Grothendieck, 另一半帖子在问微积分线性代数概率统计的家庭作业. 所以我在此以我个人的教训, 来提醒至少这个客栈里正处于研究生阶段和要步入研究生阶段的后来人, 要重视对具体问题, 具体例子的深入, 透彻的研究.

跑题太远. 下面先回到 Thurston. 这个系列完了以后在另起帖子说说我对研究生初期的一些具体建议.

(待续)

非常期待季候风兄的一系列文章!打扰季兄文章的连续性简直是一种罪过.Thurston的几何直觉很好,但是国内有些人把他吹得太高.

好文章！不仅正文好，跑题部分同样精彩。

Thurston的几何直觉很好,但是国内有些人把他吹得太高.
=====================================================
如果国内有人把他捧得过高，那么国外的呢？事实上他在欧美数学界的地位极高。

季兄此文不仅旁征博引，而且极其深刻可读。
Milnor果然不是好对付的角色，难怪他去年直接引用“猴子扳手”，直率得可怕的人是不容许丑恶和平庸的的，Freedman当年的遭遇也够惨呐。

Thurston的几何直觉很好,但是国内有些人把他吹得太高.
=====================================================
如果国内有人把他捧得过高，那么国外的呢？事实上他在欧美数学界的地位极高。
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
比如王某人曾说,Thurston经常的一句话就够写一篇论文,这不算夸张吗?

比如王某人曾说,Thurston经常的一句话就够写一篇论文,这不算夸张吗?
==============================================================
这个不算夸张，很多人一句话就可以引发很多文章。何况只是说“经常”，而不是说每一句。
相比之下，Grothendieck被很多人当神，比Thurston夸张多了

比如王某人曾说,Thurston经常的一句话就够写一篇论文,这不算夸张吗?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

应该说这个并不夸张. 很多现在一流学校的拓扑教授当年都是听了 Thurston
对某些问题的几句议论以后就作出成就. 知道现在, 很多人在提到自己或者
别人的结果时都说, Thurston 早就知道了......"he knows everything",
"everything is implicit in his notes", ...

博士期间练就的这一套思维方式和技巧, 我喜欢叫做 "看家本领". 这就像天龙八部里鸠摩智练的小无相功, 可以凭它这一种内力就催动少林七十二绝技, 玩得比少林高僧还似模似样.
===============================================================

这个比喻非常好地

作为系列的一部分, 先翻译一段 Thurston 唯一正式出版的书
--- <三维的几何与拓扑> ( Three-Dimensional Geometry and Topology )的导读:

###################################################

"当我们想介绍一个课题的时候, 最有效率的顺序莫过于逻辑
顺序, 正如很多书籍所做的那样: 在给出背景和来源之前引入
太多的定义; 在陈述问题之前给出太多的答案. 这样一个顺序
跟我们接受这个课题的心理历程截然不同. 当读者面对
这样一个形式的逻辑演绎体系时, 唯一的选择就是被牵着鼻子
走, 抱着最终能豁然贯通的希望.

然而数学是一个庞大而高度交叉的体系. 这个体系远远不是
线性展开的. 学习数学需要始终保持活跃的思维, 不断提出
问题, 不断在脑子里形成当前课题与其他内容的联系, 这样
才能建立自己对这整个体系的一个感觉, 而并不仅仅是走马
观花.

任何有趣的数学领域都不是自成体系的， 也不是完备的： 相反， 到处
都是“漏洞”， 到处都是自然而生却不容易通过本领域的方法技巧来解决
的问题和想法。 这些漏洞经常能导致看起来毫不相关的几个领域之间的
联系。 人们在诠释数学时习惯于掩盖这些漏洞， 这样看起来更加流畅，
但是一块饱和的海绵就失去了吸收的能力......”

############################################################

这本书正如作者自己所说， 运用了一种奇怪的， 非逻辑的结构。 很难
说这本书到底适合有一定数学成熟性的人还是更适合初学者。 给我的感觉，
很多证明和想法能让没有太多数学背景的人接受。 比如第一章， 只有一个
公式和极少的数学符号，满篇都是文字说明和示意图。 但它里面的exercises
和problems真是又多又难。

相信这本书的开头对一些非数学专业的同学还是有吸引力的。

比如王某人曾说,Thurston经常的一句话就够写一篇论文,这不算夸张吗?
==============================================================
这个不算夸张，很多人一句话就可以引发很多文章。何况只是说“经常”，而不是说每一句。
相比之下，Grothendieck被很多人当神，比Thurston夸张多了
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
关于Thurston,我不是很了解,以前听人说过,低维拓扑和叶状结构相当困难,所以一直就只学点简单的代数拓扑.Grothendieck是不是神,这是一个很无聊的问题.记得曾经看老译林上对90年fields奖得主一个苏联的代数几何学家的采访录。 提到Grothendieck 时这位刚拿FIELDS奖得主说： 在我成长为一个数学家的过程中，他对我就是神话里的英雄.另外82年的fileds 奖Faltings， 属于少年得志的天才型人物.可以想象的高傲.不过在他得奖以后， 当时已经从数学界退休的GROTHENDIECK给他写了一封勉励有加的信。Faltings高兴的把这封信给很多朋友看，得意之极不下于他拿FIELDS奖吧。在他拿FIELDs后有记者问他:谁是本世纪最伟大的数学家。 此公托口而出： Grothendieck 和上帝最伟大 ！其实这也难怪,我想Faltings 最佩服的数学家就是GROTHENDIECk了吧。再看看Mazur,N.Katz,J.Tate 等当年去IHES朝过圣的人对GROTHENDIECK感激就知道一些事情决非吹捧.
读GROTHENDIECK的文章,对他那种宇宙般普适的抽象能力,使得读者不得不顿生敬畏之心,大佬Quillen搞的同伦代数,被认为是一种很有希望的理论,但是极端抽象,后来看GROTHENDIECK的信件,原来最早是GROTHENDIECK提出来的.

呵呵, 我以为你对王某人不满是反对个人崇拜, 原来你只是觉得 Thurston 不够资格......

数学这个行当中可以崇拜的人太多了.孔子云: 三人行,必有我师也.
对一个博士生来说，从一个你可以学的懂的人那里学东西吧，慢慢来。
不要老盯着几个大paper, 费时费力。最后即使验证了所有的细节也什么都做不了，
因为你没有能力看到那几个伟大人物前行的方向。

作为系列的一部分, 先翻译一段 Thurston 唯一正式出版的书
--- <三维的几何与拓扑> ( Three-Dimensional Geometry and Topology )的导读:
============
要做一个完整的介绍吗？waiting... ...
BTW:这本书网上可以下载。

这个系列里面讨论到了对那些顶尖数学家的评价。个人认为，讨论这个意义不大，毕竟大部分人都不大可能成为那样的人。拟定一个比较现实的计划可能更好一点。

作为系列的一部分, 先翻译一段 Thurston 唯一正式出版的书
--- <三维的几何与拓扑> ( Three-Dimensional Geometry and Topology )的导读:
============
要做一个完整的介绍吗？waiting... ...
BTW:这本书网上可以下载。

希望能听到一个完整的介绍，最好能详细点，使我这样的没接触过的人也能了解一些

Grothendieck被与上帝同称
而Thurston曾被称为魔鬼
都是牛人

这个系列里面讨论到了对那些顶尖数学家的评价。个人认为，讨论这个意义不大，毕竟大部分人都不大可能成为那样的人。拟定一个比较现实的计划可能更好一点。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

的确如此. 但是 "看家本领" 是普适的, 只不过顶尖人物的本领强, 普通数学家的本领弱. 但是要在数学界混, 甚至想做一个业余数学家, 比如提出 "体积猜想" 的 Rinet Kashaev, 就需要练就一项本领. ( Kashaev 现在好像又回到了数学界, 他在 2000 年左右的好几年时间里都在朗讯工作. 他本质上是个物理学家, 但是凭借对统计物理模型的深刻研究, 提出了一些数学上非常有趣的问题)

一流人物给人的最好作用是激励作用.

这几天有点杂事, 无法继续这个系列. 先贴两个引子, 之前在我自己的空间上写给非数学背景的朋友看的

"非欧几何" 的发现是19世纪最大的数学进展之一. 主要的先驱人物是俄国的 Lobachevsky, 匈牙利的 Bolyai, 和德国的 Gauss. 非欧几何的故事已经流传很广了, 它与欧氏几何的不同就在于所谓欧氏平行公理: 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 如果把这个公理改成 "过直线外一点有两条以上的直线与已知直线平行", 而保持其它公理不变, 就得到一种新的几何, 称为非欧几何. 关于非欧几何的文章发表于 1830 年左右. 有迹象表明 Gauss 在早些年就得到了一些颇为深刻的结果. 然而非欧几何这个名称在 1854 年黎曼的就职演讲发表以后就显得不那么恰当了, 现在一般把这种几何叫 "双曲几何".

19世纪还出现了一种几何叫射影几何. 研究这种几何的动机是非常贴近生活的 --- 它主要研究 "中心投影" 现象, 通俗一点说, 如果有一个电灯, 这个电灯照射在一个纸面上, 那么纸面上的图形在地面上的投影是怎么样的呢? 最明显的就是, 纸面上的圆在灯光下的影子一般不再是圆, 可能是个椭圆; 然后注意到, 如果纸面不平行于地面, 纸面上两条平行的直线在灯光下的投影可能不再平行; 更奇异的现象是, 如果纸面上的一个圆足够大, 使得圆上有些点比电灯更高, 这个圆在地面上的投影就会是双曲线. (记得高中的解析几何课本上有一个圆锥, 用不同的平面去截就得到不同的圆锥曲线. 如果把锥顶看做一个电灯, 就很容易看到这些圆锥曲线可以互为中心投影.)

还有一种几何是研究平行投影下图形怎么变化的, 叫做 "仿射几何". 如果把上面的电灯换成太阳, 由于距离太远, 在小范围内是非常精确的平行投影 --- 纸面上两条平行直线总是投射为地面上的平行直线. 圆会投射为椭圆, 但决不会是双曲线 --- 即使把纸面竖起来, 圆也只会变成线段而决不会变成无界的东西.

在 1872 年, 所有这些几何把数学家搞懵了 --- 到底什么是几何? 这时候 23 岁的德国人 Klein 在 Erlangen 大学为他的教授就职演讲写了一篇讲稿 --- 这篇稿子后来被称为 Erlangen 纲领 --- 虽然他后来的演讲并没有讲这个稿子上的东西. 这篇讲稿提出, 每一种几何对应一个变换群, 这种几何研究的性质是在相应变换群下不变的性质.

"群" 是描述对称性的数学结构. "变换群" 被 Galois 发明出来研究代数方程的可解性. 而 Klein 的合作者法国人 Lie 到 1872 年已经研究了某些连续的变换群, 现在称为 Lie 群. 以上所说的这几种几何都对应到不同的 Lie 群.

现在我们从 Klein 的 Erlangen 纲领来看待以上提到的这些几何:

欧氏几何是 "最小" 的几何, 研究的就是长度啊, 全等啊这些性质. 对应的群就是所谓 "欧氏变换群", 这个群里面的元素包括平移, 旋转, 反射以及它们的累次作用. 这些变换保持长度不变; 我们说两个图形是 "全等" 的当且仅当有一个欧氏变换把一个图形变为另一个.

我们初中高中的时候还研究相似三角形. 我们可以把 "欧氏变换群" 扩大, 即, 加入 "伸缩" 这个变换, 这样就得到更大的 "相似变换群". 我们能用相似变换把不同长度的对象 "等同" 起来, 比如不同半径的圆, 在相似几何中就被视为同样的图形. 三角形的 "相似" 就是相似几何中的 "全等". 这个相似变换群比欧氏变换群大, 所以在这个群下不变的性质自然在欧氏变换群下不变, 也就是说, "相似几何" 的概念都是欧氏几何的概念. 反过来就不对, 举个例子, 长度是欧氏几何的概念, 但不是相似几何的概念.

仿射几何是更大的几何. 对应的群叫 "仿射变换群", 包括平移, 线性变换以及它们的累次作用. 由于旋转, 反射, 伸缩都是特殊的线性变换, 所以仿射变换群包含相似变换群. 在仿射几何里, 圆和椭圆是一个图形; 所有的平行四边形都 "全等"; ... 在这个几何里, 长度, 角度都失去意义, 能谈论的只能是平行性质, 共线三点的分比(单比), 等等这些很 "粗" 的性质.

射影几何是以上提到的几何中 "最大" 的几何. 从仿射几何到射影几何的扩张, 比之前的几次扩张要复杂得多. 特别地, 我们需要给平面添上 "无穷远直线" 来使得射影变换是一对一变换. 在射影几何中, 所有圆锥曲线 --- 椭圆, 双曲线, 抛物线, 都是 "全等" 的图形. 所以射影几何研究的性质是最 "粗" 的性质, 比如曲线的 "次数": 直线是由一次方程定义的曲线, 圆锥曲线是由二次方程定义的曲线; 再比如共线四点的交比. 射影几何是非常有趣的几何, 有很多 "巧合", 部分原因就是这个几何的变换群非常大, 对称性高. 同志们如果实在闲得无聊, 可以找本书看看, 书名一般叫做 "Projective geometry".

对于熟悉计算机的同志, 可以看出在每种几何里我们都 "重载" 了 "全等" 这个概念 --- 这正是关键所在 --- 凡是能用一个变换互相转换的对象, 我们都看成同样的对象. 自 Erlangen 纲领提出以来, 对称性(群论)日益收到重视, 到了今天, 已经成为根深蒂固的观念. 物理学, 自相对论量子力学以来, 对称性也被作为物理学基本原理, 到了 1970 年代, 物理学家发现自然界四种基本相互作用的根源都是对称性. 由此可见 Galois, Lie, Klein 这些前辈的深刻洞察力. ( Lie 在研究连续群的时候, 他自己认为是在研究物理, 但是大家都不相信. 他是数学物理史上又一个悲情人物.)

现在要把黎曼的观点和 Klein 的观点结合起来看了. 黎曼研究弯曲的空间, 他在就职演讲中给出的那个公式描述了 "均匀弯曲" 的空间 (截面曲率可以是 +1, 0, 或 -1). 上次又谈到了所谓非欧几何. 这里就有一个联系 --- 欧氏几何(中学的几何) 研究的其实是曲率为 0 的黎曼空间; 非欧几何(双曲几何) 研究的是曲率为 -1 的黎曼空间; 球面几何研究的是曲率为 +1 的黎曼空间. 按照 Klein 的观点, 这三种几何分别对应到欧氏变换群, 双曲变换群, 和正交群.

空间有所谓拓扑结构. 二维的情况是最容易理解的. 比如一个馒头的表面和一个多那圈的表面就有不同的拓扑结构. 反映这种差别的就是高中立体几何里提到的 "欧拉数" --- 一个多面体的表面, 它的 ( 顶点数 - 边数 + 面数 ) 就是它的欧拉数. 如果这个多面体是凸的 --- 四面体, 正方体等, 它的表面欧拉数是 2, 这说明, 它们都与球面拓扑等价. 多那圈的表面欧拉数是 0. 如果我们把 n>1 个多那圈 "熔和" 起来, 就得到一个有 n 个 "手柄" 的东西, 它的表面欧拉数是 2-2n < 0. 在拓扑意义下, 这些就是所有可能的封闭曲面. (严格来说, 还有一类 "不可定向" 的封闭曲面, 我们暂时不考虑.)

由黎曼提出, 经过多人研究, 最后被 Poincare, Koebe 完全证明的所谓 "单值化" 定理告诉我们, 欧拉数为 2 的曲面 (拓扑球面) 总可以有曲率为 +1 的度量; 欧拉数为 0 的曲面 (轮胎面) 总可以有曲率为 0 的度量; 欧拉数为负数的曲面总可以有曲率为 -1 的度量. 这就实现了二维弯曲空间的 "几何化". 也就是说, 所有的二维弯曲空间都可以作为 Klein 意义下的几何来研究.

三维就没有这么完美了. 但是也不太坏. Thurston 几何化猜想是说, 任给一个三维封闭空间, 虽然我们不一定能够把它整体 "几何化", 但是我们可以把这个空间分成若干块, 每一块都可以 "几何化", 即, 每一块上都存在一个 "好" 的黎曼度量. 这个猜想可以推出如下 Poincare 猜想: 如果三维封闭空间是 "单连通" 的, 那么它在拓扑上一定是三维球面.

首先我们要 "想象" 一下三维弯曲空间 --- 人类是三维的生物, 无法从外界来对三维空间作整体观察, 所以我们只能从内部来观察. 有这么一种空间, 如果你身处其中, 当你向前看的时候, 你看到了自己的背面, 向左看看到自己的右边...这说明你所在的空间是一个封闭的三维空间, 它可能是三维的球面, 可能是三维的多那圈, 也可能是其它一些封闭的三维空间.

我们来感受一下三维球面. 你自己固定不动在太空中的某一点, 你的同伴从跟你并排的位置往前方以速度 v "飞行", 你发现你同伴的背影慢慢变小; 但过了某一个时刻 t 以后, 他的背影又变大了 --- 就好像他倒退着飞回来一样; 在 2t 时刻, 他的背影几乎跟他本人一样大了, 你以为他已经飞回来了, 其实没有, 他正处在你的 "对极点" 附近 (如果他精确地处于你的对极点, 你往所有方向 (前后左右上下等等) 看都能看见他); 然后他的背影又慢慢变小, 在 3t 时刻以后, 他的背影又慢慢变大, 这时如果你转个身, 你就看见了他的正面; 在 4t 时刻, 他完成了一次穿越宇宙的旅行, 再次回到了你的身边. 其实在几乎整个过程中, 你都能看见两个同伴 --- 一个是真人, 一个是他在他当前位置的 "对极点" 成的像. 这样你知道这个 "球面状宇宙" 的半径是 (2vt/ pi). 类比一下二维爬虫在二维球面 (比如地球表面, 但是假设光线是沿着地球表面传播而不会射入太空) 上的经验. 更多 "诡异宇宙" 的体验可以参看

http://www.iop.org/EJ/abstract/0264-9381/15/9/004/

现在来说说 "单连通" 这个概念. 假设有一根原长度几乎为 0 的橡皮筋圈, 把它拉长, 置于二维球面上, 它马上缩为一点; 但是把它以某种方法置于多那圈上, 它可能不能缩成一点 --- 这样我们说二维球面是单连通的, 而多那圈的表面不是. 所谓 Poincare 猜想就是说, 如果一个三维封闭空间是单连通的, 那么它在拓扑意义下就一定是刚才我们描述的三维球面 --- 很显然, 同样的断言在二维是成立的.

Thurston 几何化猜想是在70年代后期提出来的, 1981 年的时候, 美国人 Hamilton 发明了一个发展方程, 这个方程的解叫做 Ricci flow, 未知函数是空间上的黎曼度量. 所以这个方程描述度量随时间的变化. 这个方程最牛的就是, 它的有限时间奇解告诉我们怎么把空间分块, 使得每一块上不会产生奇解, 而且每一块上的度量在时间趋于无穷的时候收敛到我们需要的 "好" 的度量. 这是用 Ricci flow 证明 "几何化猜想" 的基本思路, 当然, 说来容易做来难, 知道了这个思路不代表能读懂 Hamilton 和 Perelman 的论文.

我所述这些大量参考了网友 dionysus 的一系列帖子 "庞卡莱猜想". 他对于数学细节, 历史, 掌故的了解远胜于我. 这篇文章我在旧客栈转贴过, 客栈的新网友如果有兴趣可以去旧客栈逛逛

http://www.changhai.org/bbs/load_article.php?fid=5&aid=1133119934

嘿嘿，读懂以后写个解释，然后就可以宣称给poincare猜想封顶了~

萍踪, 你现在很愤青嘛~~

萍踪, 你现在很愤青嘛~~

Thurston 在他对三维流形的研究中一方面广泛地运用前人在各个不同领域的结果, 另一方面自己造了很多新工具. Orbifold (迹形) 就是新工具之一. 这个概念历史上首先由 Satake 在50年代引进, 他用的名称是 V-manifold. 在 70 年代 Thurston 重新发明了这个概念, 他起的名字 orbifold 被广泛接受.

迹形的严格定义写出来当然很复杂. 直观来说, 它跟流形差不多, 都是一片一片欧氏空间的开集拼起来的, 但是其中有些特别的点, 它周围的开集记录了一个 "商过程". 最简单的迹形的例子, 在平面上建一个直角坐标系, 绕着原点旋转 90 度的变换生成一个 4 阶的群, 平面在这个群作用下的商空间是一个圆锥面, 就是把第一象限剪下来以后把正 x 轴和正 y 轴粘在一起. 现在锥顶是一个特殊点, 因为其它点的小邻域都是原来平面上的小邻域直接投影下来的, 但是锥顶的任何邻域都是原来平面的坐标原点的邻域在一个 4 阶群作用下的商空间.

也许有人会说, 圆锥面, 普普通通嘛, 没什么特别的. 但是如果开始考虑它上面的几何, 就会有奇怪的现象出现. 比如它上面的短程线, 或者说, 光线, 都是什么样子的? 由于锥面的几何结构是从平面继承下来的, 所以它上面的光线是按原来平面上的直线走的, 也就是说, 可以把锥面展平, 画上直线, 然后再卷起来. 但是画的时候要注意, 展平以后会有边界, x 轴和 y轴, 但是在锥面上 x 轴和 y 轴是粘在一起的, 所以展平以后从 y 轴以一定角度出去的光线, 在锥面上实际上会从 x 轴以同样的角度再进来.

如果你有耐性做这个实验, 就会发现, 锥顶附近的光线发生了非常厉害的偏转, 就好像被锥顶吸引一样. 也许有人又说了, 这个也很正常嘛, 因为我们把它卷起来了, 直线当然变弯了. 但是要注意的是, 我们看见的是直线在三维的弯曲, 如果锥面上生存着不知道三维空间存在的爬虫, 它会发现, 它所生存的二维空间就已经偏离了欧氏几何, 而且对欧氏几何的偏离完全集中于一点 --- 我们所谓的锥顶, 比如说, 爬虫画了一个以这一点为圆心, 以 r 为半径的圆, 然后测量圆的周长, 发现不是通常的 2*pi*r, 而是 pi*r/2.

我们人类理论上也有机会体验这种迹形. 取一个三维直角坐标系, 有一个绕着 z 轴转动 90 度的变换, 现在我们把每一个点同它在变换下的像等同起来. 相当于把两面互相垂直的半墙给粘起来, 墙壁之间的就是整个空间 (墙壁外的空间被群的作用等同为墙里的空间). 这个空间别的地方都很正常, 但是有一根竖直的轴 (原来的 z 轴), 它附近的几何很奇怪, 光线会绕着它拐弯, 如果我们绕着它走一个半径为 r 的圆, 周长却只有 pi*r/2.

迹形的这种奇异的几何结构使得它成为 Thurston 探测各种几何性质的试验场, 因为在这种空间里概念之间的联系, 冲突会特别明显, 很多时候更加容易看见几何的本质. Thurston 写过一个科普性质的文章, "How to see 3-manifolds", 就是从迹形开始, 描述他是怎么把自己放在三维流形内部来观察周围空间的结构的. 我记得之前客栈有一个保存文件的地方, 现在一时找不到, 大家有谁记得的告诉我一声, 我可以把这篇文章上传, 有兴趣的网友可以看一看.

:: 我记得之前客栈有一个保存文件的地方, 现在一时找不到

那是公共信箱，可参阅新客栈“常见问题”第4条。

==========

季兄的上述各段如何收录？有关“非欧几何”、“射影几何”的部分按照“这几天有点杂事，无法继续这个系列，先贴两个引子”的旧指示是不属于这个系列的，但写着写着又联系到Thurston同志的光辉事迹上来了。

站长辛苦了. 如果可以的话, 教我怎么自己编辑?

修改了一下程序，季兄现在进入繁星文集后会看到“发表文章”链接。

所以我在此以我个人的教训, 来提醒至少这个客栈里正处于研究生阶段和要步入研究生阶段的后来人, 要重视对具体问题, 具体例子的深入, 透彻的研究.
--------------------------------------------
我下学期就要读研了，非常高兴能得到这样的忠告，非常感谢!

AndrewAA:

祝福!

这个帖子好沉,艰难的把它顶上来.我们在期待季兄的续.生命不息,续帖不止!

我对 Thurston 理论的了解非常有限, 不续贴就是感到黔驴技穷了, 哈哈
不过我还是会尽量组织一些东西, 避免虎头蛇尾

想写写 Thurston 理论的方方面面, 但是一来自己所知实在有限, 二来千头万绪不知从何说起. 所以干脆偷个懒, 陈述一下他的主要定理, 然后开始慢慢解释这个定理里的每一个概念. 这样可能会导致读者骤然减少, 但是就科普来说, 直接接触一套理论的中心概念和定理, 还是胜过在边缘游荡八卦.

Thurston 双曲化定理: 如果 M 是一个 三维 紧致 无环 的 Haken 流形, 而且欧拉示性数等于 0, 那么 M 的 内部 可以被赋予一个 完备的 体积有限的 双曲度量.

我感到这个定理里头涉及到的概念, 好像从尾到头比较好解释一些. 首先说说双曲度量.

前两天还有人问过关于度量与黎曼度量的问题. 所以这里先强调一下, 双曲度量是一种特殊的黎曼度量. 它是 "截面曲率" 恒为 -1 的黎曼度量. 可以这样理解某一点沿着某一切平面的截面曲率: 你站在这一点, 拿着电筒平稳地扫过, 这样就有一族光线从该点射出, 而且出射方向都位于同一平面. 截面曲率就反应了这族光线短时间内的发散和汇聚性质: 0 曲率说明这族光线短时间内会保持出射时候的发散程度; 正曲率说明这族光线有汇聚的趋势; 负曲率说明有更加发散的趋势.

在具有双曲度量的流形里, 光线总是有比在欧氏空间更加发散的趋势, 而且这种趋势对每一点, 每一切平面都是等量的. 在这种流形里, 没有办法通过局部的测量区别两个点 --- 你处于流形里的任意一点, 周围的景象都一模一样. 这种黎曼流形叫做 "局部齐性的". 具有双曲度量的流形不止是 "局部齐性的", 还是 "迷向的", 就是说在任一点, 你朝任意方向看, 看到的景象都一模一样, 没有办法区分不同的方向.

之所以说是 "局部齐性的", 是因为还可能通过大范围的探测区分不同的点 --- 流形的拓扑可以帮助你区分不同的点. 如果流形的拓扑比较平凡, 比如, 如果流形是单连通的, 那么 "局部齐性" 就是 "整体齐性". 我们有以下定理: 单连通的齐性迷向流形一定是欧氏空间 E (截面曲率0), 球面 S (截面曲率为正的常数), 或者双曲空间 H (截面曲率为负的常数).

双曲空间就是满足非欧几何公理的几何空间. 它同胚于同维数的欧氏空间, 但是度量大不相同.

现在来说一个概念, "双曲流形". 双曲流形就是装配了一个双曲度量 (截面曲率为 -1 的黎曼度量) 的流形. 我们知道每一个拓扑空间都有一个 "泛复叠空间", 就是单连通的复叠空间. 复叠空间的局部同底空间的局部是一样的, 所以一个双曲流形 M 的泛复叠空间也有一个双曲度量, 而单连通的双曲流形只有一个, 就是双曲空间, 所以 M 的泛复叠空间必然可以等同于双曲空间 H.

在复叠空间的理论里, 底空间的基本群同构于泛复叠空间的 "复叠变换群". 在双曲流形 M 的情形, 如果你从 x 出发, 沿着 M 上的一条路径回到 x, 因为你只能观察到你周围的空间, 所以你会有一种错觉, 觉得自己好像是在单连通的双曲空间里从一点 y 走到了另一点 z, 而 y 的周围和 z 的周围基本是一个情景, 除了你觉得有一点 "错位". 这种错位实际上是 M 的具有度量的局部坐标系从 x 开始沿着路径一段一段 "拓展" 回到 x, 得到的新局部坐标系跟出发的时候 x 周围的局部坐标系之间有一个 "等距同胚", 这个等距可以扩展到整个双曲空间 H 到自身的等距. ( 这是因为: (1) 空间 H 的等距群是 "可迁的", 也就是说, 任给 H 的两个点 y, z, 总有一个 H -> H 的等距 f, 使得 f(y)=z; (2) 等距是 "解析映射", 在任一开集上的作用决定在全空间的作用 )

综上, M 的基本群可以看作是 H 的等距群的一个子群 K. 同样由复叠空间理论, M 同胚于商空间 H/K. 由群在流形上作用的性质, 为了商空间还是流形, 并且商映射是复叠, 群 K 必须是离散和无挠的. 所以我们经常说, 双曲流形是双曲空间在离散无挠的等距群作用下的商空间.

Thurston 的科普文章已经发到客栈公共邮箱， 有兴趣的同修可以去看看

“我自己非常遗憾地荒废了研究生阶段最宝贵的5年, 在这几年中, 我的兴趣过于广泛, 而读书又太流于表面, 时髦的名词和理论见到无数, 却从未严肃认真地去研究过其中任何一个. 最后的结果就是无一技防身, 亏了导师的贤明才得以毕业后苟延残喘几年, 现在懊悔不已. 虽然古语有云亡羊补牢为时未晚, 但习惯成自然, 现在想补救已是非常困难, 思维流动性太大, 每个问题思考半晌之后, 要么放弃, 要么就跳向另一问题, 其结果就是思之良久却一无所获. 技巧的缺乏又导致对任何问题都没有头绪, 想算却不知道算什么, 想推导却没有明确目标. 这些都是在博士期间没有深入研究一个课题, 没有对某个种类的对象形成良好的感觉所致.

这几年中国的大学生对数学或者物理的热情高涨, 在各种论坛上就能感受到. 只是大多数爱好者都是只见理论的冠冕堂皇, 而不知其探求过程的琐碎与丑陋. 各大数学论坛都有两极分化的趋势 --- 论坛办到最后, 一半帖子在高谈阔论 Grothendieck, 另一半帖子在问微积分线性代数概率统计的家庭作业. 所以我在此以我个人的教训, 来提醒至少这个客栈里正处于研究生阶段和要步入研究生阶段的后来人, 要重视对具体问题, 具体例子的深入, 透彻的研究.”
兄弟所说极是，支持！

关于Thurston,我不是很了解,以前听人说过,低维拓扑和叶状结构相当困难,所以一直就只学点简单的代数拓扑.Grothendieck是不是神,这是一个很无聊的问题.记得曾经看老译林上对90年fields奖得主一个苏联的代数几何学家的采访录。 提到Grothendieck 时这位刚拿FIELDS奖得主说： 在我成长为一个数学家的过程中，他对我就是神话里的英雄.另外82年的fileds 奖Faltings， 属于少年得志的天才型人物.可以想象的高傲.不过在他得奖以后， 当时已经从数学界退休的GROTHENDIECK给他写了一封勉励有加的信。Faltings高兴的把这封信给很多朋友看，得意之极不下于他拿FIELDS奖吧。在他拿FIELDs后有记者问他:谁是本世纪最伟大的数学家。 此公托口而出： Grothendieck 和上帝最伟大 ！其实这也难怪,我想Faltings 最佩服的数学家就是GROTHENDIECk了吧。再看看Mazur,N.Katz,J.Tate 等当年去IHES朝过圣的人对GROTHENDIECK感激就知道一些事情决非吹捧.
读GROTHENDIECK的文章,对他那种宇宙般普适的抽象能力,使得读者不得不顿生敬畏之心,大佬Quillen搞的同伦代数,被认为是一种很有希望的理论,但是极端抽象,后来看GROTHENDIECK的信件,原来最早是GROTHENDIECK提出来的.*******************
Witten是本人最推崇的当代科学家和数学家！数学物理和理论物理是最伟大的学科，辛几何是本人专业！

上次解释了一下 "双曲流形" 这个概念. 现在来谈谈 "完备". 一个黎曼流形是 "完备的" 当且仅当每一条测地线都可以无穷延伸. 注意这里说的黎曼流形是没有边界的流形, 一般如果没有 "带边" 两个字, "流形" 都被假定没有边界.

完备的概念可以从另一个观点来看. 这就是 "几何结构" 的观点. 先选取一个所谓 "模型空间" X. 它是一个微分流形, 具有某种附加结构(比如黎曼度量), 而且保持这种附加结构的微分同胚很多, 一般会构成一个李群 G. 也就是说, 模型空间 X 有丰富的对称性. 说一个流形 M 有一个以空间 X 为模型的几何结构, 就是说 M 有一个坐标覆盖 {Ui, fi}, 使得 fi : Ui --> X 是嵌入 (也就是说, M 的每个局部可以看成 X 的局部) 而且局部坐标的变换可以扩张成 X 的对称群 G 里的元素 (这其实是说, 在 M 的每个局部都可以通过坐标系把 X 的附加结构搬过来, 而且用不同的坐标系搬过来的附加结构是相容的).

这样在 M 里面行走看到的情景就好像在 X 里头行走一样. 如果我们不做记号, 在 M 里行走的过程会让人感觉好像在 X 里行走一样. 比如, 在 M 里从 x 沿某条道路 a 走到 y, 就好像在 X 里从 x* 走到了 y*. 这个 y* 其实不太依赖于道路, 如果 a' 也是从 x 到 y 的道路, 而且跟 a 差别不大 (定端同伦), 那么还会感觉在 X 里从 x* 走到了 y*. 综上, 任给一条从 x 出发的道路, 我们得到模型空间 X 里头的一个点. 这个点只依赖于道路的同伦类. 熟悉复叠空间理论的同修可能已经看到, 这实际上是从 M 的泛复叠空间 M* 到 X 的一个映射, 叫做 M 上这个以 X 为模型的几何结构的 "拓展映射" (developing map).

我们说这个以 X 为模型的几何结构是 "完备的" 当且仅当拓展映射 D: M* --> X 是一个复叠映射. 如果 模型空间 X 是单连通的, 那么完备性相当于要求 D: M* ---> X 是同胚.

与拓展映射相关的是我们上次就提到的 "holonomy", (可以翻译成 "整体化", 或 "单值化"). 在 M 里从 x 出发转一圈回来, 看到的景象有一个扭曲, 这个扭曲实际上是 X 的对称群 G 里的一个元素. 所以有一个从 M 的基本群到 G 的群同态, 这个同态的像 H 是 G 的子群, 可以叫做 "整体化群" 或 "单值化群". 如果 X 是单连通的, 而且 M 上的 (X,G)-几何结构是完备的, 那么 M 可以由模型空间 X 和 群 H 重构, 即 M 就是商空间 X/H.

加上离散群在流形上作用的一些结论, {所有具有完备 (X,G)-结构的流形} 被 {G 的所有离散群的共轭类} 分类了. 所以寻找完备双曲流形的问题可以通过寻找双曲运动群的离散子群(所谓 Klein 群)来解决. 这就是 关于 Klein 群的理论. 二维双曲运动群是 PSL(2,R), 它最重要的离散子群是 PSL(2,Z), 所以二维双曲几何同模形式有关. 三维双曲运动群是一个代数群, PSL(2,C), 它的离散子群很多都是算数群, 所以 Klein 群理论同数论有很多联系.

请季候风老师推荐两本将3维双曲几何的好书，最好是相对好读点的。

《Lectures on Hyperbolic Geometry》 (Universitext)
by Riccardo Benedetti and Carlo Petronio

《Hyperbolic Manifolds and Kleinian Groups》 (Oxford Mathematical Monographs)
by Katsuhiko Matsuzaki and Masahiko Taniguchi

《Analytical and Geometric Aspects of Hyperbolic Space》 (London Mathematical Society Lecture Note Series) by D. B. A. Epstein
（这里面的所谓 notes on notes of Thurston）

《Hyperbolic Manifolds and Discrete Groups》
by Michael Kapovich

最重要的是 Thurston notes. 网上可以下载。