我只能列出我稍微熟悉一点的方向，还有一些个人的解释
(1)Gromov-Witten 不变量
来自于辛几何，起源于Gromov那篇经典的文章。真正的进展是Witten的工作，以及后来很多人的努力，包括Y. Ruan, Kontsevich&Manin, Gang Tian, Fukaya, Jun Li, Eliashberg, Ionel&Parker，K. Liu 等等。其中值得注意的是Jun Li&Gang Tian定义了Virtual fundamental class,使得Gromov-Witten不变量可以在一般的辛流形上定义（以前只能对某一类辛流形有定义），并且定义了代数的Gromov-Witten不变量.在这基础上，后来有人推广了Atiyah&Bott的Localization到这种情形下，并结合Kontsevich的想法，使得具体的计算成为可能。
(2)Selberg-Witten 不变量
(3)Donaldson polynomial
70年代末，ADHM等人构造了S^4上的instanton的模空间, 在对这个例子的计算中可以看到一些Cobodism的痕迹。Donaldson首次利用4流形上的这个模空间构造了一个4流形到#CP^2(n copies)的Cobodism, 后来他在模空间上对一些特殊的微分形式积分，得到了多项式不变量。具体的很长，可以看他的那本4流形的几何学。
(4)Mirror Symmetry
其中有A_{infinity} algebra, Fukaya Category, Floer Homology（用来解决了Arnold Conjecture,有很多推广形式), Derived Category of coherent sheaves(据说是描述D-branes的正确数学语言，呵呵),

Special Lagrangian submanifold, Deformation Quantization(Kontsevich的研究方向，忘了最早提出来的人的名字了，不过他曾经用这个做过Index定理的推广)
有一件事情很有趣，如果你在教室门口听到里面在讲Calabi-Yau的模空间，那你千万不要认为那是数学讲座，几乎可以肯定地说，那是物理系讲座，因为还没有数学家可以这么自信的说这个模空间存在（或者到底怎么定义），更别说他是什么样子的。
(5)Hodge Conjecture
这是七个百万美金问题之一，其他的有Riemann Hypothesis,BSD Conjecture,Yang-Mills Theory,Poincaré Conjecture,NP,Navier-Stokes Equations.
(6)Motive
大概是Grothendieck最先提出来，当时为了解决Weil Conjecture,但一个成熟的数学家知道，为了解决问题而解决问题是没有前途的，很多问题背后是有理论依据的，用一套孤立的方法来解决一个问题是迟早要被淘汰的，所以Grothendieck兄就在找Weil猜想背后的整套理论体系，使得这个猜想只是他的一个小推论。这个目标至今没有实现，Deligne的证明在G兄看来可能不过是权宜之计，并没有真正解决问题，所以他在1968年说代数几何的当务之急是证明Resolution of singularities以及他提出的Standard Conjecture(关于Algebraic Cycle的）。
(7)Resolution of singularities
这是一项宏伟的工作，特征0的情形被日本数学家Hironaka在60年代初证明，就是那个号称逻辑结构最复杂的证明，一个证明就拿了Fields Medal。特征p的情形大概只证到3-fold。现在还是很多人在想办法简化Hironaka的证明，但一直办不到。
(8)Standard Conjecture
现在风风火火的，就是所谓的Motive理论，G兄说它是代数族算术性质的基本理论。

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我有几点注记

Gromov-Witten不变量是Ruan最早在辛几何情形定义的，后来Kontevich&Manin给出了更为有用的代数几何的定义。Kontsevich在MPI访问的时候，受Ellingsrud&Stromme将Bott residue formula用于曲线计数的工作的启发，发展了稳定映射模空间上的局部化方法，并利用模空间的组合结构，将曲线计数（或Gromov-Witten不变量计算）问题简化为曲线模空间上的Hodge积分，并进一步简化为图上的Feyman rule。

高亏格曲线模空间的相交理论（或Gromov-Witten不变量的计算），需要引入virtual基本类的概念以及virtual局部化的技巧。这是李骏，Pandeharipande等人的重要工作。

近年来，刘克峰及其合作者极大发展了局部化的技巧，并解决了镜像猜想，Marino-Vafa猜想，Hori-Vafa猜想，给出著名的ELSV公式与Witten猜想的局部化证明等（证明Witten猜想是当初Kontsevich得菲尔兹奖的最重要的工作，最近Mirzakhani因为用Weil-Petersson几何给出Witten猜想的新证明而得到哈佛的tenure职位）。严格建立拓扑顶点的数学理论，导致他的学生彭攀解决了著名的Kopakumar-Vafa猜想。

关于Calabi-Yau模空间，具有给定Hilbert多项式的极化Calabi-Yau全体构成一
个Coarse模空间（是一个拟投影簇），由Bogomolov-Todorov定理，这个模空间是光滑的。这些应该是代数几何学家熟知的事实，当然很多物理学家对CY模空间作出了重要贡献。CY模空间的存在性虽然是代数几何中的标准定理，但是对于其结构的研究还有许多问题有待解决，比如著名的Reid猜想：三维CY模空间是否连通的？
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"Gromov-Witten 不变量 ,来自于辛几何，起源于Gromov那篇经典的文章"这篇文章的名字是什么?好象Gromov有好几篇经典文章.
"Selberg-Witten 不变量 "应该是Seiberg-Witten Invariants吧,Selberg是搞数论的啊.
"Derived Category of coherent sheaves(据说是描述D-branes的正确数学语言，呵呵), "-----恰好对Derived Category of coherent sheaves有点了解,但是什么是D-branes呢?怎么定义?好象不是个数学概念.

(1)Gromov-Witten 不变量
来自于辛几何，起源于Gromov那篇经典的文章。真正的进展是Witten的工作，以及后来很多人的努力，包括Y. Ruan, Kontsevich&Manin, Gang Tian, Fukaya, Jun Li, Eliashberg, Ionel&Parker，K. Liu 等等。其中值得注意的是Jun Li&Gang Tian定义了Virtual fundamental class,使得Gromov-Witten不变量可以在一般的辛流形上定义（以前只能对某一类辛流形有定义），并且定义了代数的Gromov-Witten不变量.在这基础上，后来有人推广了Atiyah&Bott的Localization到这种情形下，并结合Kontsevich的想法，使得具体的计算成为可能。
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严重不同意。应该说辛拓扑起源于Gromov,最大的进展是Ruan-Tian以及Kontsevich.
被称作Gromov-WItten正如Levi-Civita联络也称作Riemann联络一样，属于其他因素。

近年来，刘克峰及其合作者极大发展了局部化的技巧，并解决了镜像猜想，Marino-Vafa猜想，Hori-Vafa猜想，
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Deligne解决了Riemann假设吗？没有。
很多猜想都有不同的版本。

"Derived Category of coherent sheaves(据说是描述D-branes的正确数学语言，呵呵), "-----恰好对Derived Category of coherent sheaves有点了解,但是什么是D-branes呢?怎么定义?好象不是个数学概念.
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能详细说一下 Derived Category of coherent sheaves 么

写这篇文章的时候，我在数学史方面没有认真地考察过，有些地方说的可能有问题。 正如gauge所说，镜像猜想以及其他猜想并没有完全解决，而且可能还很遥远。

关于D-brane，那要请教sage了. 导出范畴严格来说挺复杂，有很多这方面的书可以查。那位仁兄有时间可以介绍一下。

最近Mirzakhani因为用Weil-Petersson几何给出Witten猜想的新证明而得到哈佛的tenure职位
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Mirzakhani 水平的确非常高, 今年初 5 大顶尖牛校争相礼聘, 她由于个人原因仍然选择留在普林斯顿tenure-track. (她也是少有的纯数博士毕业直接在一流学校 tenure-track 的例子之一). 她如此炙手可热的原因, 除了她的确具有非凡的天才, 也因为她是一个伊朗女人. 据我所知她在伊朗受大学教育. 伊朗是文明古国之一, 历史上曾为世界范围内科学技术的传播起到巨大作用, 并且翻译了很多古希腊文献, 使近代西方得以传承古希腊科学传统. 从公元1000年到1900年, 穆斯林经院哲学限制了伊朗的科学发展和技术创新, 但是其文化底蕴仍在. 实用科学和技术方面也许离中国还有一段距离, 但是在基础科学领域, 可以感受到伊朗的急起直追.

"Selberg-Witten 不变量 "应该是Seiberg-Witten Invariants吧,Selberg是搞数论的啊.
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对。物理学家那位是Seiberg，数论大师那位是Selberg。