广义相对论需要什么数学

微分几何确实是广义相对论（GR）最为需要的基础，但是这种基础作用被很多人误解了。初等微分几何就是曲线论加曲面论，曲线论在GR中的直接作用非常小，虽然Frenet标架是活动标架的最直观例子。
曲面论中的大部分东西在GR中无法用上。但是有些核心的东西是非常重要的，首先度量（metric，物理上译为“度规”）是最基本的，需要掌握，自然需要知道什么是曲面的第一基本形式了。Christofeell符号需要掌握，并且要学会计算，Gauss曲率是Riemann截面曲率的特殊情形，需要掌握。测地线方程要非常熟练掌握，不然就不用学GR了。

张量分析非常重要，虽然现在很多文献都用整体的映射观点处理问题，但是局部的计算一般而言是无法避免的，这就必须用到烦琐的张量分析，张量分析素以指标繁多而著称，但是Einstein求和约定可以简化一部分写法。不会张量分析，基本上等于无法在GR上入门，造就的肯定是花拳绣腿。张量分析需要一定的线性代数基础，而且特别需要的是线性变换知识。

还必须掌握协变导数（微商），梯度，散度和旋度的一般表达式，掌握各种坐标中度量的表达式。

因为GR处理的四维时空，所以必须掌握Riemann几何学的基本概念，从Gauss定理出发，理解Riemann截面曲率，知道什么是常截面曲率空间，知道Ricci曲率，知道什么是Einstein空间，知道标量曲率。这些都不是初等微分几何的内容了。从这些看来，为学习GR而学习微分几何时，是要根据实际情况挑着学的。

平直时空对应的Minkowski空间已经和4维欧空间有很大的不同。那么弯曲时空对应的Lorentz流形（伪Riemann流形的一种）与4维Riemann流形之间也有不少差别，比如一些刚性问题和完备性问题。这都提醒我们不要照搬Riemann几何教科书里的内容到GR之中。

时空的自微分同胚变换群是Lie群，所以最好掌握Lie群的基本概念，知道什么是Lie导数，知道什么是Killing矢量。掌握一些活动标架法有关的知识，这个工具被一些学者夸大了，因为它只在形式上使GR优美许多，但是没有那些学者宣扬得那么本质。掌握外微分和广义Stokes公式对理解流形的一些性质是有帮助的，在研究时空整体性质时，同调群和同伦群当然很重要，但是这不是初学者的事情了，所以我没有必要继续讨论这些拓扑学工具在GR中的应用。不过如果要看Hawking和Ellis的书的话，至少要掌握覆盖空间和泛（万有）覆盖空间这两个个概念（其实算一个概念，因为一个流形的万有覆盖空间可以覆盖它的所有覆盖空间，这就是“万有（universal）”的含义），掌握Penrose图的画法。

曲面论中的Gauss-Codazzi方程组需要掌握，因为在广义相对论中超曲面的研究需要这个方程组。微分几何中的很多东西如Weingarten变换就不必那么深究。但是测地坐标系要掌握。

以上是因为我们版上有同学因为对GR感兴趣而想学微分几何，我就写这点小小建议，写得比较零散，也不系统有序，大家凑合着看吧。希望对他以及其他有同样想法的同学有所帮助。

领教，
谢谢～！

从Gauss定理出发，理解Riemann截面曲率
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应该是Gauss曲率，我打错了。

总之把梁灿彬《微分几何入门与广义相对论》的前五章看了就大功告成了。那本书写的近乎完美：多一点数学没有，少一点数学不行。

需要多少数学对不同层次的读者是不同的。恰好不多不少，对应的人只能是某个固定要求的人，而不是全部。
梁的那本书写得不错，沿袭了Wald的风格

不会张量分析，基本上等于无法在GR上入门
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说得好！

您在[（原创）漫谈微分几何、多复变函数与代数几何]一文中提到“一个闭形式何时才是恰当形式？在同伦于点的区域（单连通区域）有Poicare引理之逆告诉我们这个自动成立。在非单连通区域有著名的de Rham定理告诉我们如何成立，那就是微分形式在所有闭链上的积分为零。”

实际上同伦于点的区域与单连通区域是两回事，例如球面单连通但不同伦于一点。
根据您发的文章知道您知识广博，不过似乎不是专攻数学的人士，您应该是搞物理的吧！

实际上同伦于点的区域与单连通区域是两回事，例如球面单连通但不同伦于一点。
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球面上所有曲线都可以收缩为一点,一阶同伦群(基本群)平凡.怎么可能不同伦于一点??

您先去查一查同伦于一点的定义，同伦于一点可推出所有阶同伦群平凡，球面的二阶同伦群非平凡（同构于整数加群），故不同伦于一点！

同伦于一点指的是和一点有相同的同伦型，即可以在自身内收缩为一点，球面显然做不到这一点

我认为你混淆了球面和球体。

Wikipedia：“换言之，每个环路都可以连续地变形到基点。这类空间称为单连通空间。”

萍踪, 还是再仔细研究一下可缩空间的定义吧

我去再看看仔细的定义吧。

哦，我明白了。我们说的概念不是一回事。
球面是不可能收缩为一点，这是事实。我一开始说的就是：球面上的任意闭曲线可以变形到基点。而不是说球面自身要收缩为点。
我对拓扑学的概念认识很模糊，去看看书。因为我们可能在讨论完全不同的东西。所以我可能错得一塌糊涂。

实际上同伦于点的区域与单连通区域是两回事，例如球面单连通但不同伦于一点。
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是我以前表述错误。很抱歉。谢谢你的纠正。
Poincare引理的情形在单连通星形区域成立。我对很多数学的概念都没有去花时间深入理解，因此总是出现这种低级错误。

根据您发的文章知道您知识广博，不过似乎不是专攻数学的人士，您应该是搞物理的吧！
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我就是个“样样学，样样瘟”的类型，根本和广博扯不上，和古龙笔下那位“百晓生”差不多，看似懂得多，其实基本上是扯淡。我不是数学专业的，但是现在确实是在搞物理，可惜也搞得很糟糕。

问题在于：我说的单连通区域指的是其上任意闭曲线都可收缩为一点
因为表述不清，就成为：单连通区域同伦于点。
这是我概念描述方面的失败。

哇,写得太好了.感谢.

学习中...

只要明白事实上两种情况的区别就够了
至于怎么表述对于搞物理的要求不能太严格