各位仁兄：
1.黎曼几何有哪些好的参考书？（初学者）
2.黎曼几何的本质是什么？
3.代数拓扑和黎曼几何有何联系？

另叹：从预层到层这中间的路好长啊！

还是请萍踪浪迹老师帮忙回答吧,我也很想知道这些.

我只回答前两个问题:
1:我用的黎曼几何书是陈维桓和李兴校合写的<黎曼几何>,北京大学出版社出版.我看了一部分了,感觉还不错.

2:"黎曼几何"的本质是什么?
我没明白你问的是什么,我想就是微分几何吧,"黎曼几何"就是"微分几何"的一部分

请各位老师指正!

各位仁兄：
1.黎曼几何有哪些好的参考书？（初学者）
2.黎曼几何的本质是什么？
3.代数拓扑和黎曼几何有何联系？

另叹：从预层到层这中间的路好长啊！
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你的三个问题,都是相当大的.关于1,中文书,我推荐白正国的引论,梅向明先生的微分了微分流形与Riemann几何,特别是后者,很适合初学,写的比较好.外文的书,可以看看berger的,或者Kirby的,或者Do .Carmo的,或者Boothby的,都可以参考,而且写的不错,关键是自己要把概念理清楚.关于2,你可以去问问Gromov.关于3,当你知道一些初浅的代数拓扑和黎曼几何的知识后,自己就会有所了解,至于将来会怎么样,谁也搞不清楚,数学各科之间的联系,有些很深刻,而且有不断深化的趋势.
关于你的叹息,我觉得没有必要.presheaf和sheaf之间有什么距离?我不理解.你可以说得具体一些.其实sheaf的概念是很简单的,一句话就可以说完,它就是一个反变函子.所以,我觉得精通范畴论,对学这样的"抽象"(其实sheaf已经很具体了)玩意,是很有好处的,特别是函子的语言,实在是太重要了.sheaf是一个很重要的工具,它上面的各种态射以及分析,是非常重要的技术,这种技术纵横于代数几何,多复变,PDE,代数数论,代数群,代数拓扑等,比如,如果没有Sheaf,Scheme的定义是不可想象的.我将会写一个系列,大概讲讲数学中的一些重要概念,叫做:通过概念的长征.
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还是请萍踪浪迹老师帮忙回答吧,我也很想知道这些.

我只回答前两个问题:
1:我用的黎曼几何书是陈维桓和李兴校合写的<黎曼几何>,北京大学出版社出版.我看了一部分了,感觉还不错.

2:"黎曼几何"的本质是什么?
我没明白你问的是什么,我想就是微分几何吧,"黎曼几何"就是"微分几何"的一部分

请各位老师指正!
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我不是老师,只是同修.
陈维桓和李兴校合写的<黎曼几何>写的太罗嗦,于是就太厚,我很不喜欢这种书.其实陈维桓的讲课远比他的书好.推荐看比较薄一点的书,这样更能抓住要旨.黎曼几何是数学中比较复杂的部分,如果不专修它,可以不必看得很深,知道一些大的思想精神和技巧就可以了,一些局部技术可以先放一放.

另叹：从预层到层这中间的路好长啊！
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?? 开头两个上同调是零的预层就是层. 有什么深刻的地方?

就我的理解, 层是一种 "整体-局部" 联系比较符合常理的预层.

3.代数拓扑和黎曼几何有何联系？
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代数拓扑研究的同调群和同伦群等工具在研究拓扑空间的整体性质时有巨大的作用，Riemann几何研究的就是特殊的赋予度量的拓扑空间，所以产生了巨大深刻的联系