黎曼度量是针对流形的度量，还是针对流形的切空间的度量？
黎曼度量与一般度量空间中的度量有何关系？
可以说黎曼流形是定义了度量的拓扑空间么？

黎曼度量是针对流形的度量，还是针对流形的切空间的度量？
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当然是针对后者的度量,n维C^infinite 流形M上若赋予了一个度量场g,并且g属于C^infinite (M),那么,我们就说g为M上的一个黎曼度量.
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黎曼度量与一般度量空间中的度量有何关系？
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这是什么意思?

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可以说黎曼流形是定义了度量的拓扑空间么？
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虽然是可以这么说,但是,这样的说法空泛得没有什么意义.就像你问"他是谁"时,别人回答你:他是一个男人一样,对你没有提供什么有价值的信息.

我的意思是黎曼度量是不是可以说是一种特殊的度量，满足一般拓扑空间度量的定义。如果是这样，那黎曼流形就是一个度量空间，对否？

黎曼度量是针对流形的度量，还是针对流形的切空间的度量？
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度量都是在切空间上定义。那一剑已经回答了。

至于你在楼上的问题，回答是肯定的。

但是这个问题的回答是否定的:

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可以说黎曼流形是定义了度量的拓扑空间么？
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当我们谈论一个流形, 总是假定它已经是一个拓扑空间. 其它添加的结构必须与这个预先存在的拓扑相容.

如果要谈黎曼流形, 首先要在流形上加一个微分结构, 它与原来拓扑的相容性没有问题 --- 微分结构的定义本身依赖于预先存在的拓扑;

然后再指定一个二阶正定对称光滑张量场 g; 黎曼度量 g 的一个重要作用是可以用来定义流形上曲线的长度, 这样两点之间的距离可以定义连接两点所有曲线长度的下确界, 这样就在流形的底集合上定义了一个 "距离";

集合上的任一距离会诱导一个拓扑, 但是在黎曼流形上早就预先设定了一个拓扑, 所以如果这个有黎曼度量定义出来的距离诱导的拓扑最好与原来设定的拓扑是同一个拓扑, 所以标准的黎曼几何教材上都会就这个问题进行讨论, 而事实上新拓扑的确就是旧拓扑.

这样我们在谈论黎曼流形的时候, 连续性就没有任何歧义: 既可以用局部坐标来表达连续性, 又可以用距离来表达连续性.

在英文里, 赋予了 "距离" 的集合传统上叫做 "metric space", 这个距离传统上也叫 metric. 但是近些年由于黎曼几何在数学各个分支的渗透, 它越来越成为更基础的课程. 这样为了避免初学者混淆概念, 很多新写的教材上把原来的 "metric space" 的 "metric" 称为 "distance".

中文就更方便了, 即便把 "度量空间" 改叫做 "距离空间" 也颇为顺口.

为了强调 g 这个 "metric" 跟距离的不同, 一般都会强调说这是一个 "Riemannian metric" 而不仅仅简单叫它 "metric".

近几十年经过 Gromov 等人的工作, 很多原来在黎曼流形上研究的对象, 工具和问题, 现在已经成功地移植到了性质比较接近黎曼流形的距离空间.

更正: 上一贴第三行 "定义" 应该是 "定义为"

非常感谢各位前辈的指导！由于非钻研数学之人，所以对某些概念的理解比较肤浅！

因为有界只对度量空间有意义，在拓扑学的教材里，只是说度量可以自然地诱导出拓扑，而一般拓扑空间的拓扑结构并非都可以由度量诱导而来。

实际上我遇到的问题是紧致黎曼流形的有界性，现在按照我对各位前辈之言的理解，说紧致黎曼流形有界应该没有问题吧！

当然还有个地方觉得比较神奇，不知我的理解对否：

黎曼流形M，某点x处的切空间TxM，切空间集合TM。按照各位前辈的说法，黎曼度量是定义在TM上，却可以用来定义M上两点之间的距离！而如果把这个距离说成是M上的一个度量，那这个度量和黎曼度量不是一回事！

黎曼度量的实质是在流形每一点的切空间定义了一个内积.
它在整个切丛上没有意义.