Ricci流，Einstein流形与重正化群方程

作者：shanqin（萍踪浪迹）

1982年，Hamilton为研究具有Ricci曲率为正的三维流形,引入Ricci流方程： dg_ij(t)/dt= -2R_ij.
g_ij(t)为流形M上度量族，依赖时间。
作为流形上Riemann度量族的偏微分方程, Ricci流方程与热方程可以建立类比.热方程是经典偏微分方程三大类型中的一类代表。从直觉上分析，对于孤立系统，热量总是从温度高的地方流向温度低的地方，直到建立了热平衡，达到稳定状态。

同样，从直觉上，我们可以认为Ricci流方程演化度量直到度量“稳定”，这种稳定的度量被称为典则度量（canonical metrics）。其中最著名的“稳定度量”是“Ricci平坦”度量， Ricci曲率为常数的度量都是Einstein度量，若Ricci曲率为零，那就是“Ricci平坦”度量，赋予这样的度量的流形相应称为Einstein流形和Ricci平坦流形。

我们知道Einstein流形是因为广义相对论关于Lorentz流形——即号差为（-，+，+，+）的四维伪Riemann流形——的研究而出现的，但是同时也可以毫无困难的定义到Riemann流形。

在广义相对论中，如果考虑宇宙学常数λ，那么真空Einstein方程可以写为：
R_ij=λg_ij
λ为正，就是de Sitter空间；
λ为零，就是Ricci平坦空间；
λ为负，就是反de Sitter空间；

对于d维流形，我们同时考虑Riemann流形和伪Riemann流形，对于前者，标量曲率R=dλ(此处d为流形维,不是微分符号),对于后者,R=(d-2)λ.这是两者的轻微差别,如果λ为零,那么两种情况下,都有R=0。
如果Einstein流形具有正的标量曲率,那么在Ricci流演化下,将收缩为一点,如果具有负的标量曲率, 那么在Ricci流演化下，将会无限膨胀.

Einstein度量是Ricci流的一个重要例子。我们通常说一个空间如果是Einstein空间，那就是“好”的空间，部分原因也是因为考虑到它数学上的优美与“稳定”。

从变分法角度看，Einstein方程是由Hilebert-Einstein（H-E）作用量取变分而得到，当年Hilbert也是仗着这方面的数学优势，比Einstein更早获得了场方程的正确形式。但是单纯的H-E作用量连梯度流（gradient flow）都不存在。H-E作用量可以写为：
R(g)=∫R（g）dV_g
度量泛函的临界点就是“Ricci平坦”度量，由于单纯的R(g)连梯度流都不存在，所以必须以所研究的流形到实数的光滑函数，来对流形上度量族的泛函予以参数化，才可以实现对作用量形式的扩展：
F(g,f)=∫(R+|Nabla f|^2)e^(-f) dV_g
这种被扩展后的作用量也出现在弦论中,在那里，它作为低能有效作用量出现。

Ricci流的另一个重要情形是Ricci孤立子。任意时间内，Ricci孤立子满足如下形式方程：
R_ij+cg_ij+ nabla_i b_j+ nabla_j b_i=0
C为数，b_i是1-形式，nabla代表梯度算子。
当b_i=1/2 nabla_i a(a为M上某函数)时,即得“梯度Ricci孤立子”
当流形为Kahler流形时，相应的推广是Kahler-Ricci孤立子。

Hamilton证明在重新标度（rescale）流形，以保持体积为常数的情况下，3维流形上具有正Ricci曲率的度量，将在Ricci流演化下，收敛于一个具有常正截面曲率的度量（如三维标准球面S^3或者S^3模去等距变换群Γ: S^3/Γ）, 4维正曲率算子的度量，也可以在同样的重新标度条件下,演化为具有常正截面曲率的度量的度量。

什么是重新标度？在Ricci流理论中，当曲率变得很大时，通常的做法是放大所在区域，让曲率不再变大，这个过程就被称为重新标度或者爆破（blow up）。

在发展了最大值原理后，Hamilton证明了Ricci流维持了3维Ricci曲率本征值与4维曲率算子本征值都在曲率变大时获得逐点夹挤（Pinching).

Hamilton证明对于闭流形上任意一个光滑度量，在短时间内该方程具有唯一解，
但是若没有曲率方面的假设，度量在Ricci流的演化下，其长时间行为会十分复杂。通常当t接近某个有限时间t时，曲率发散（即变为无穷大）,此时就说出现了奇点。

我们从2维情形开始分析。一个哑铃状封闭曲面（但是表面比哑铃表面更“圆滑”些），其两端的曲面形状类似于2维球面，Gauss曲率大于零，于是在Ricci流演化下将减小，中间一段类似于鞍形面，Gauss曲率小于零，将会在Ricci流演化下变大，最后中间和两端的Gauss曲率相等，整个曲面变为2维球面，自然就是常正曲率流形了。在这种情形，横截中间那段，截痕是个圆周S^1。
但是三维情形的类比要困难地多。还是假设这种情形，两端形状类似于3维球面，Ricci曲率大于零，在Ricci流演化下将减小，而中间那段就无法和2维情形相似，因为如果横截下去，截面是2维球面S^2，那么在S^2先取两个切矢量基e_1, e_2,与横截方向垂直的基取为e_3,那么这三个基张成三个平面e_1Λe_2,
e_2Λe_3, e_1Λe_3。显然e_1Λe_2因为和S^2相切，其Riemann截面曲率K_12大于零，而且在这种情形下是远大于零。而e_2Λe_3, e_1Λe_3对应的截面曲率K_23， K_13都略微小于零。于是:
Ric（e_1，e_1）= K_12+K_13>>0
Ric（e_2，e_2）= K_12+K_23>>0
Ric（e_3，e_3）= K_13+K_23<0
在这种情形下,演化将会非常复杂。

如果在演化过程中出现奇点，就必须研究奇点结构，然后进行切割手术，以让Ricci流继续演化，如果再次遇见奇点，就再次进行切割手术，但是必须证明这样的手术次数是有限次的，才可以认为解决了奇点问题，才可以了知初始流形的拓扑性质。
从80年代中期到90年代中期，Hamilton解决了几乎所有情形的奇点，但是却无法解决雪茄型奇点。数学家们把Hamilton的研究方案称为“Hamilton纲领”，
这个纲领的落实，将导致Turston三维闭流形的几何化猜想，也就导致了Poincare猜想的最终解决。公认的看法是，Perelman于2003-2003年间贴出的三篇论文基本上实现了上述目标。

Perelman还得到一个有趣的结果：将Riemann流形上所有度量模去微分同胚（彼此可建立起微分同胚的视为一个点）。于是度量的等价类形成一个空间，Perelman证明：Ricci流作为这个空间的动力系统，不会有极限环（周期性闭轨）。

Ricci流在量子场论中也被讨论。当年Hamilton研究Ricci流的一个动机（不是唯一动机）就是研究2维非线性sigma模型有关的一个问题是否可以推广。sigma模型是具有自发对称性破缺的模型，其相互作用并非对自由场Lagrangian加上相互作用，而是由流形的联络和曲率引入。其运动方程也是由作用量对度量的变分而得到。非线性sigma模型的势（potential）的极小值不唯一。因此在场论中经常被研究。
在量子场论中，因为经常涉及一些无穷大，有些结果明显与实验事实相矛盾（如量子电动力学），有些结果虽然当时没有实验事实作为对照（如弱电统一），但是无穷大的出现使当时的物理学家无法接受好的模型（如当年的Weinberg-Salam模型），这些使得重正化显得非常重要。
（关于重正化的现代观点，如为什么重正化在一些理论中有效，重正化是否需要，等等，可以参阅Weinberg等人的著作，限于篇幅和水平，本文不讨论这些新观点。）

传统的重正化包括两个程序：先正规化，再重正化。将无意义的发散积分看成是有限积分取极限，就叫正规化（这个定义可能很老了），从积分限上考虑问题，就是所谓的截断，我们经常用这个方法（紫外截断就是例子），从被积函数上考虑问题，就是 “正规子” 法（Pauli-Villars方法），从积分维数上考虑问题，就是维数正规法（t Hooft），这三种方法中，维数正规法是最晚出现的，也算比较先进（并非万能）的，与本文关系比较大的也是这个方法。正规化之后，把无穷大在取积分之前就消除掉，就是重正化。

我们略去冗长的定义和讨论，直接将重正化点的变换形成的群称为重正化群，对应方程就是重整化群方程（RGE）。RGE在量子场论（不管是标准模型还是超对称模型）中有着重要的作用，例如，应用RGE，可以自然得到量子色动力学（QCD）的渐进自由性质，应用RGE，可以得到超对称模型中各种规范耦合常数在高能标下的统一，利用RGE，可以讨论超对称粒子的质量谱，等等。

我们回到主题，由于非线性sigma模型的重正化涉及RGE，于是自然和Ricci流联系起来。1985年，Friedan研究了（2+ε）维中的非线性sigma模型的RGE。
将Ricci流方程：dg_ij(t)/dt=-2R_ij
写为以下形式：dg_ij(t)/dt=β（g（t））
于是就可以将Ricci流方场与GRE（β函数）中与度量部分联系起来，对于2维sigma模型
-β（g）=Ric_g+εRiem^2+…
Riem是Riemann曲率。因此从RGE角度看，Ricci流是RGE的单圈修正或者说是半经典情形，因为ε=0时，β（g）= -Ric_g，此时对应的就是Ricci流。

参考文献：
[1] Sigularities of the Ricci flow,M.T.Anderson
[2] Ricci flow with surgury on three-manifolds，G.Perelman. math.DG/0303109
[3]The entropy formula for Ricci flow and its geometric applications, G.Perelman.math.DG/0211159
[4]Lectures on the Ricci flow,P.Topping
[5] Towards physically motivated proofs of the Poincare and the geometization conjuctures,A.L.Kholodenko,hep-th/0701084

问些弱问题：

除了那个物理动机之外，引入那个方程的其它动机还有哪些？
有了那个方程，流形就会演化；但是为什么要让它这样演化？
Ricci 方程与 Poincare 猜想又是如何联系起来的呢？

除了那个物理动机之外，引入那个方程的其它动机还有哪些？
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主要是几何上的动机

有了那个方程，流形就会演化；但是为什么要让它这样演化？
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这样可以达到一个好的度量，更远些。可以和Poincare 猜想进行联系

Ricci 方程与 Poincare 猜想又是如何联系起来的呢？
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Ricci 方程处理的是正Ricci曲率的流形演化到常正截面曲率的流形，而三维球就是常正截面曲率的流形，Poincare 猜想要解决的就是闭三维流形是否和三维球同胚。所以联系起来。

这相当于把场的取值空间上的黎曼度量当作场的耦合。 不过这个耦合随取值空间的点变化， 并非 “耦合常数”。
这里头有什么物理内容吗？ Ricci flow （或者相应的 RGF ) 流向的那个不动点的物理意义是什么？

感觉Ricci流的研究已经告一段落了。在Ricci流方程中dg_{ij}/dt=R_{ij},为了有效地利用偏微分方程特别是热方程的技术，需要R_{ij}正定。但是，一般的微分流形上不大可能赋予这样一个度量。例外的是3维流形和Kahler流形，这两种流形的Ricci流类似于热流，对此已经有了非常多的研究。个人认为对于Ricci流的研究很难再进一步。主要是难以找到合适的可以应用Ricci流的微分流形。

Ricci流在量子场论中也被讨论。当年Hamilton研究Ricci流的一个动机（不是唯一动机）就是研究2维非线性sigma模型有关的一个问题是否可以推广。

sigma模型是具有自发对称性破缺的模型，其相互作用并非对自由场Lagrangian加上相互作用，

Whether there is spontaneous symmetry does not depend on whether it is a sigma model or not.

而是由流形的联络和曲率引入。

I believe you can do it with adding interactions to Lagrangian as well.

In the Standard Model, what sometimes has been used is a linear-sigma model for Higgs potential, which is nothing but the lambda\phi^4 Lagrangian. This probably has very little to do what you are talking about here, which is 2D non-linear sigma model (which so far has no application in particle physics).

其运动方程也是由作用量对度量的变分而得到。

非线性sigma模型的势（potential）的极小值不唯一。因此在场论中经常被研究。
This is probably not the main reason why they might be interesting.

在量子场论中，因为经常涉及一些无穷大，有些结果明显与实验事实相矛盾（如量子电动力学），有些结果虽然当时没有实验事实作为对照（如弱电统一），但是无穷大的出现使当时的物理学家无法接受好的模型（如当年的Weinberg-Salam模型），这些使得重正化显得非常重要。

Again, this statement is only true in D=4, which is different from the work of Dan Friedan.

（关于重正化的现代观点，如为什么重正化在一些理论中有效，重正化是否需要，等等，可以参阅Weinberg等人的著作，限于篇幅和水平，本文不讨论这些新观点。）

传统的重正化包括两个程序：先正规化，再重正化。将无意义的发散积分看成是有限积分取极限，就叫正规化（这个定义可能很老了），从积分限上考虑问题，就是所谓的截断，我们经常用这个方法（紫外截断就是例子），从被积函数上考虑问题，就是 “正规子” 法（Pauli-Villars方法），从积分维数上考虑问题，就是维数正规法（t Hooft），这三种方法中，维数正规法是最晚出现的，也算比较先进（并非万能）的，与本文关系比较大的也是这个方法。

正规化之后，把无穷大在取积分之前就消除掉，就是重正化。
After regularization, there is no infinity. The cancellation of cut-off or epsilon dependent term is not before integration.


我们略去冗长的定义和讨论，直接将重正化点的变换形成的群称为重正化群，对应方程就是重整化群方程（RGE）。RGE在量子场论（不管是标准模型还是超对称模型）中有着重要的作用，例如，应用RGE，可以自然得到量子色动力学（QCD）的渐进自由性质，应用RGE，可以得到超对称模型中各种规范耦合常数在高能标下的统一，利用RGE，可以讨论超对称粒子的质量谱，等等。

非线性sigma模型的势（potential）的极小值不唯一。因此在场论中经常被研究。
This is probably not the main reason why they might be interesting.
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是的,写的时候没有注意,极小值不唯一是与对称性自发破却有关,却与该模型被广泛研究没有因果关系.

Again, this statement is only true in D=4, which is different from the work of Dan Friedan.
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是的,t Hooft的无数正规化是在4-ε维,而Friedan的是2+ε.

After regularization, there is no infinity. The cancellation of cut-off or epsilon dependent term is not before integration.
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谢谢sage兄的更正和指点

个人认为对于Ricci流的研究很难再进一步。主要是难以找到合适的可以应用Ricci流的微分流形。
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Perelman确实已经把这个课题推向极致了,或许这个课题以后就要走一大段时间的下坡路.

这相当于把场的取值空间上的黎曼度量当作场的耦合。 不过这个耦合随取值空间的点变化， 并非 “耦合常数”。
这里头有什么物理内容吗？ Ricci flow （或者相应的 RGF ) 流向的那个不动点的物理意义是什么？
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Perelman在论文中说以Wilson图景讨论问题，但是全文中几乎没有出现真正的这方面的讨论，或者说就算有，也是非常模糊隐匿的……
我对RGEs的一些重要过程还不了解，也不知道Wilson图景的核心所在……