拓扑学里有类似于闭区间套定理的命题么？

呃，很多时候这个是定义，不是定理。

有，具体陈述为
设B_i（i=1,2,...）是完备度量空间中的子集序列，满足
1. B_i是闭集，i=1,2,...;
2. B_i包含B_i+1，i=1,2,...;
3. i->infinite时，diameter(B_i)->0;
那么诸B_i的交集为单点集。

反之，若任意子集序列满足这个命题，那么原空间是完备的，因而有些书用此作定义，如kanex前辈所言。