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请教：这个积分到底等于多少
| 论坛嘉宾: 萍踪浪迹 gauge 季候风 |
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dfj  发表文章数: 186
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我初学量子场论，看的是 A. Zee 的书；还没看多少，遗憾的是似乎书写错误（或者印刷错误）比较多。下面这个问题来自这书的 23 页，我不清楚是由于我没明白还是他本身有错（在网上的 errata 里虽然针对这个改正了一点，但我觉得还是有问题）。
最容易看出来的一点就是，由于这里被积函数的奇函数部分的积分结果为零，而偶函数部分的结果肯定是实数，那么积分结果里面没理由出现虚数啊。还可以这样测试：直接取 t=0，则容易算出那个积分在 Cauchy 收敛的意义下等于 0；因此下面列出的前两种方法的结果多半有问题。 A. Zee 的书上的方法是这里列出的第二种，也就是在分母加上一个小的纯虚数，再取极限；我的一个问题是，为啥不能减去一个纯虚数？而两者的结果是不同的。 这里列出的第三种方法相当于直接计算（这个奇异积分只在柯西的意义下收敛），积分环路从上半平面绕过两个洞，再从上半平面从正无穷回到负无穷；其结果相当于前两种方法的平均值。我自己觉得这种方法才是正确的，因为前面加上小的虚数再取极限的过程的合法性值得怀疑。 还有一种可能是，我根本就把被积函数搞错了。 由于在下初学场论，而复变函数也是多年前学的，有些东西已经忘了，因此向各位请教。多谢！ 
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Night  发表文章数: 15
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这几天刚好在看teichmuller空间 翻了一下复分析，所以这个我刚好会算 说一点
可以取四种围道 都会算出第三种结果 取一种围住两个极点下部的围道 由于围道在无穷远点围道上的积分为0，所以你问的那个积分+两极点处留数和的一半=两点处的留数和 所以那个积分=留数和的一半 就是第三种的结果 前面两种方法有点麻烦 我没仔细算 你在图中给出的结果应该是错误的 如果正确的结果 再取极限 应该都能得到第三种实数的结果 ..
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Night 发表文章数: 15
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o，我说错了， 算了一下 前两种方法取极限也得不到。maybe..因为积分号和极限在某些情况下是不能互换的 我不是学数学的 分析功底差 请哪位数学系的高手指教了..
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dfj 发表文章数: 186
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多谢楼上的指教！
书中把 m^2 变成 m^2-i\epsilon 而不是 m^2+i\epsilon 的原因是，前者可以让指数上出现 -\epsilon\phi^2 的项，从而保证积分收敛。 不过这里让我不懂的是，既然最终还是要让 \epsilon 趋近于零，如果这种积分与取极限的可交换性是合理的话，那加了那么一项岂不是等于没加？如果让 \epsilon 趋近于零之后积分结果仍然是个有限数，那么即使在积分之前不加这么一项，积分很可能本来就收敛(在某些意义下)。如果这种可交换性本来就不合理，那就更难以理解。
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Night 发表文章数: 15
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这么说吧 在这个例子中 积分和极限是不能互换的 。 至于在哪些情况下可换 可以看看科大的高等数学导论3 一是对的 二也是对的 但是他们算的东西都只是两个不同函数（别看只差一个无穷小）积分后后后的极限 这两个自己不等而且他们都分别的不等于他们所积的那个函数的取极限---也就是那个要求的函数在积分后的值（因为不能交换） 只有第三种才是对的。这是我的理解 不当之处请 各位兄台指出 ~
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dfj 发表文章数: 186
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嗯。我也是这么认为的。只不过书上是用的第二种方法，所以我觉得奇怪。我希望知道，是那个书错了，还是我误会了那个书，或者是还有其它原因。
因为在下是初学量子场论，不大清楚这里面有哪些让初学者容易误会的东西。
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Night 发表文章数: 15
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恩 如果单是求这个积分他用第二种方法的话 我感觉也是你说的书错了
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laworder  发表文章数: 89
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三个不同的取围道方法都是合法的，都应该得到同样的结果（即你的第三种方法得到的结果）。你的问题是你在方法1,2中复化积分变数时应该取k-->k±iε，而不应该取ω-->ω±iε，因为k才是积分变数。取k+iε与取k-iε对应的围道分别为上半圆和下半圆，均包围两个极点,分别为±ω+iε和±ω-iε.你在1,2中都丢了一个极点，这是你1,2,3出现差异的原因。
 人能理解世界是最大的科学之谜。
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dfj 发表文章数: 186
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嘿嘿，我列的第二种方法是书上的（并且结果也是），第一种方法是我自己稍稍引申了一下，第三种是我自己认为正确的。
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dfj 发表文章数: 186
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不过，laworder，我没明白你讲的方法的意思。
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laworder 发表文章数: 89
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显然，你的（第三个方法提供的）答案和我上面提供的解释都是对的。这是复变函数论中被积函数存在（两个）一阶奇点的典型情况，有“标准的＂处理方法。
从另一个角度看，实际上，那个积分就是1/（k^2-ω^2）的傅里叶变换，由于1/（k^2-ω^2）=(1/(k+ω)- 1/(k-ω))/2ω，答案必定是θ(t)ω^(-1)sin ωt无疑，因为它的逆傅里叶变换刚好是1/（k^2-ω^2）。 我刚才查了一下Zee的原书，认为原书的求该积分的过程确实值得推敲：他将两个极点 ω-iε和-ω+iε分别处理成t>0和t<0两部分对应的极点，虽然最后给出的答案的确是正确的（也不至于影响随后的议论的正确性）， 因为t>0和t<0的两个积分刚好抵销了cosωt部分。但单独地看t>0的结果是不对的。而且数学上讲，有你一开始提到的那些不合理之处。 BTW，将结果写成Zee书（23）式是场论书中的标准写法，称为（座标表像下）自由粒子的格林函数。 你应该给Zee写个e-mail。 人能理解世界是最大的科学之谜。
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ffrogg 发表文章数: 8
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McShane, E. J.
There are in this world optimists who feel that any symbol that starts off with an integral sign must necessarily denote something that will have every property that they should like an integral to possess. This of course is quite annoying to us rigorous mathematicians; what is even more annoying is that by doing so they often come up with the right answer. Bulletin of the American Mathematical Society, v. 69, p. 611, 1963. These sorrows are more than flesh and blood can bear.
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qiuryaq 发表文章数: 7
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我想了一下，将两个极点写为 ω-iε 和 -ω+iε 再令 ε 趋向 0 实际上 和 ε 不趋向 0 （比如 ε 恒为 1000）对积分结果没有区别。因为这两个极点反正一个在上半平面， 一个在下半平面。 这样从直觉上 方法1 和 2 的处理方法是有问题的。
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laworder 发表文章数: 89
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To ffrog:
Physicists' motto: Keep kicking mathemticians' asses. Mathematicians' slogan: Never stop slapping physicists' faces. 人能理解世界是最大的科学之谜。
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qiuryaq 发表文章数: 7
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Acturally, my thinking was wrong and can it be deleted?
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西门吹牛  发表文章数: 312
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具体地应该取那种积分围道，还有赖于物理上的要求，而不是纯粹的数学问题
一舞剑气动四方,天下英雄莫能挡
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ffrogg 发表文章数: 8
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西门兄，我不赞同你。这个问题既然已经明确地约化出来了，那就只有第三个答案是对的。
These sorrows are more than flesh and blood can bear.
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gauge 发表文章数: 596
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第1和第2个解答中使用了隐含的结论：极限和积分可以交换顺序，但是这并不成立。
对于这个奇异积分，只有先定义如何取围道和极限，不同的人所做的计算才会有一个统一的基础。任何一本复变函数的书上都有这种例子。
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dfj 发表文章数: 186
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由于原积分是一个实变函数在实轴的积分，那么不同的围道定义导致的结果应该跟通常的实函数微积分里面算出的结果一致，或者，更“可操作”一点，跟数值计算的结果一致；当然，由于这个瑕积分只在柯西意义下收敛, 数值计算也不得不按照相应的规则进行。
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blackhole 发表文章数: 196
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这件事情直接跟Feynman传播子的定义中的阶跃函数
θ(t)=0 (t<0) or 1 (t>0) 有关，它的Fourier展开式为 θ(t)＝(-1/2πi) Integrate[Exp[-ikt]/(k+iε),k] 这可以利用复变函数的知识来证明。注意：iε就是从此时进入的。然后把此表达式以及Δ(±)的Fourier展开代入传播子，七化八化，就会出现你列出的1、2、3、4中的第二式（e指数上差一负号）。 以上过程是把传播子写成四维动量积分时出现的。注意Δ(±)的展开式是三维动量积分形式。 也就是说，在量子场论的这个问题中所出现的积分不是你给出的原积分，而是积分2式。就算给出的是原积分的形式，但其实质还是2式。所以原文在做具体计算时回到原始形式计算。
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dfj 发表文章数: 186
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多谢指教！
你的回复是最贴近我的问题的本意的，特别是这几句话： “也就是说，在量子场论的这个问题中所出现的积分不是你给出的原积分，而是积分2式。就算给出的是原积分的形式，但其实质还是2式。所以原文在做具体计算时回到原始形式计算。”
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laworder 发表文章数: 89
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>也就是说，在量子场论的这个问题中所出现的积分不是你给出的原积分，而是积分2式。就算给出的是
>原积分的形式，但其实质还是2式。所以原文在做具体计算时回到原始形式计算。 如楼主一开始就指出的，如果1,2,3式在ε趋向零的极限下会得到不同结果，在数学上是令人生疑的。将t>0和t<0分开处理，3种情况必然得到同一结果。 至于为何用Feynman形式的传播子（推迟和超前格林函数），是与自由粒子波函数（平面波）挂勾。 不过考虑粒子有限寿命时，ε不再是无限小，其符号也就必须明确，极点在上半平面或下半平面。 人能理解世界是最大的科学之谜。
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dfj 发表文章数: 186
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基本上已经明白了
不过，不知 google page 是不是被国内封掉了，主贴的附图不显示了， 而这图链接自我的 google page， 但用代理上繁星就可以显示。
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