误差函数是积分上限有限的高斯积分
那么请问
误差函数erf(x)最简单的解析近似表示式是什么?
也就是说,比较接近误差函数的一个多项式是什么??
谢谢
| 论坛嘉宾: 萍踪浪迹 gauge 季候风 |
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轩轩  发表文章数: 59
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 i will love you till null infinity
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权权  发表文章数: 20
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误差函数可以用合流超几何函数表示
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gauge  发表文章数: 596
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不能用多项式近似表示。
任何多项式f(x)，当x趋于无穷时，函数值f(x)总是趋于无穷，除非f(x)=c为常值函数。
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轩轩 发表文章数: 59
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gauge 兄真是一个我心目中的一个言简意赅的"明白人".
遇见一个明白人很难得,虽然我大概也知道你说的是复变函数里liouville定理 或者说你说的是渐近展开 不过,其实我本来的意思是想问,"当x比较小的时候,比如x在0.1附近,如何用多项式来逼近高斯积分" 这个问题与我目前所从事的光学研究有关系_____当然怪我的数学功力太浅,不知道该如何搞这个近似 i will love you till null infinity
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权权 发表文章数: 20
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那么请参见我的回帖，误差函数可以用合流超几何函数表示，合流超几何函数有级数表达式，参见王竹溪的《特殊函数概论》，级数表达式在零点附近可以用头几项来近似。
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轩轩 发表文章数: 59
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行 谢谢 权权
我现在手头上没有王先生他们的书 只好下次再查了:) i will love you till null infinity
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gauge 发表文章数: 596
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难以想象需要一个这样的近似表达式。
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blackhole 发表文章数: 196
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可以这样：
利用erf(x)的积分表达式，由于x很小，可以把被积函数Exp[-t^2]用级数展开，再积分。想要多少阶就可以到多少阶。 中国是一个从上往下煽耳光,从下往上磕头的社会。
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轩轩 发表文章数: 59
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我用matlab计算了erf（0.3）=0.3286
而如果我用blackhole所的taylor展开，取前3项，计算的结果非常差， f（0.3）=0.2912 也就是说，取前3项的结果还没有只取一项的近似来得好（更靠近0.3286） 这背后的原因似乎在于“积分和无穷求和不可以随便任意交换” 不过，这使得我有了一个新问题，那就是，数学手册上的erf表是怎么做出来？ 或者说，matlab计算erf函数的数值是基于何种算法？ i will love you till null infinity
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blackhole 发表文章数: 196
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也就是说，取前3项的结果还没有只取一项的近似来得好（更靠近0.3286）
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 这是因为那个级数是个交错级数。如果你一定需要在x=0附近展开的多项式，就只有这个结果。 但如果不一定要求多项式展开，可以用下面的结果： Erf[x]=(2/Sqrt[π]) x Exp[-x^2] (1+2x^2/3+(2x^2)^2/(3*5)+ (2x^2)^3/(3*5*7)+……) 它的收敛速度肯定快些。 这背后的原因似乎在于“积分和无穷求和不可以随便任意交换” ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 不是。Exp[-x^2]的Taylor级数肯定是一致收敛的，故其求和和积分必可交换。 原因只在于它是交错级数。一加一减，当然慢了。 中国是一个从上往下煽耳光,从下往上磕头的社会。
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轩轩 发表文章数: 59
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blackhole
你说的是对的 我上面的回复计算对不上是因为我忘记乘上sqrt pi/2了. 我本来想早回复 但内力不够 等了半天才有这一次发言的内力 内力这个东西 时刻困绕着我 想当年 我的内力永远是充足的 哎 i will love you till null infinity
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卢昌海  发表文章数: 768
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:: 想当年 我的内力永远是充足的 哎
过不了多久，你的内力值又会变得永远充足的。 你改做普通光学了？还是引力场中的光学？ 宠辱不惊，看庭前花开花落
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轩轩 发表文章数: 59
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昌海兄
我目前在北京普析通用仪器有限责任公司总经理办公室（也就是跟一把手一起，田总是一个民营企业家，当然也算是很有魅力的民族企业家）从事研究开发光谱和光学仪器方面的研究 这几天主要看原子吸收光谱分析（AAS） 跟引力场没有任何关系的 我还是蛮喜欢光学的 因为光学对我来说就是fourier 就是radon变换 就是量子光学 光学太优美了 以前我学相对论的时候 广义相对论当做光学也是蛮好的（扭量就是关于类光测地线的理论，当然无质量场全与类光测地线有关系 我本来要去中科院数学所研究kerr里的类光测地线和kepler问题 结果最后没有去） 反正我还会保持对数学物理光学的兴趣 觉得需要学习的东西太多了 i will love you till null infinity
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blackhole 发表文章数: 196
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看来我的回帖也是有问题的，主要是关于收敛速度的判断。
中国是一个从上往下煽耳光,从下往上磕头的社会。
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