关于这个问题我有点认识，但可能不够严密，请指正。

集合的迪卡儿积（或集合的直积），简单的说，就是从两个集合中各拿出一个元素，构成有序组。所有这样的有序组就组成两个集合的迪卡儿积。好像没找到迪卡儿积的符号，此处用@表示。集合A和B的迪卡儿积表示为A@B，它也是一个集合。其中的元素表示为(a,b)，其中a∈A, b∈B。之所以使用“积”这个字，一个简单的理由是，如果两个集合都是有限集，那么其迪卡儿积的元素数目是两集合元素数目之积。

现在有两个线性空间V,W，其数域同为F。（若不相同，则需一个是另一个的子集，此时取此子集为F。）考虑二者的迪卡儿积V@W。它现在还只能是个集合,其中尚未引入代数结构。下面将发现，线性空间的直和和直积都来自于这个迪卡儿积。而它们之间的区别，首先在于对此迪卡儿积赋予不同的代数结构。

定义V@W中任意两元素的和为：
(v1,w1)+(v2,w2)=(v1+v2,w1+w2)。
定义F中的元素λ与V@W中元素的数乘为
λ(v,w)=( λv, λw)。
这样，集合V@W就构成了域F上的线性空间。此即线性空间V和W的直和。设V中的基矢为ev_i(i=1,...,n)，W中的基矢为ew_i(i=1,...,m)，则线性空间V@W中元素的一般表达式为（Σx_i ev_i, Σy_i ew_i）。其独立变量x_i, y_i的个数为n+m，故此直和空间的维数维n+m。由于维数相加，故名曰直“和”。

下面换一种结构。首先将集合V@W中的部分元素等同起来：
(λv, w)= (v, λw)。
然后对部分元素定义二元运算——和：
(v1,w)+(v2,w)=(v1+v2,w),
(v,w1)+(v,w2)=(v,w1+w2)。
又定义数乘：
λ(v,w)=( λv, w) =( v, λw)。
显然，对于V@W中任意两元素，(v1,w1)+(v2,w2)当且仅当v1, v2线性相关或w1,w2线性相关时才∈V@W。如果不是这样，则它们的和是没有定义的，或者说(v1,w1)+(v2,w2)\∈V@W（\∈表示“不属于”）。此时将集合V@W的范围扩大：让集合V@W中的所有元素进行任意的相加和数乘。这样得到的所有结果的全体必然构成线性空间，其中V@W是这个线性空间的真子集。（也许可以称为生成元集合？当然不是最小生成元集合。）这种由迪卡儿积V@W生成的更大的线性空间就叫做线性空间V,W的直积。此直积空间中的任意矢量皆可表示为Σa_(ij) (ev_i,ew_j)，故有nm个独立变量。由于维数相乘，故名曰直“积”。

可见，直积和直和都跟迪卡儿积相关，不同的是代数结构。而且对直积空间而言，一方面它比迪卡儿积大，另一方面迪卡儿积中的元素有冗余。

作为对有序对的强调，对于直和而言的一个例子是，平面上（1，2）和（2，1）不是同一个点。对于直积的一个例子是，e_x e_y≠e_y e_x.

实际上，直积空间中的子集V@W（去掉冗余矢量）就对应于量子力学中的非纠缠态（或矢量分析中的并矢），而此集合之外的矢量就对应于纠缠态。

另外，为什么“迪卡儿”作人名是Descartes，而当它作形容词时是Cartesian啊？

另外，为什么“迪卡儿”作人名是Descartes，而当它作形容词时是Cartesian啊？
===
我觉得最怪的还是这个翻译，不知道谁混蛋将之翻译为“笛卡儿”。
Des Cartes->Cartes->Cartesian
其他人，例如
Riemann->Riemannian

让楼主奇怪的那个译名是D氏的拉丁文名字

人名作为某个数学或者物理概念的形容词时，通常加上后缀ian，如Gauss有关的很多名词都带有Gaussian，Gaussian Distribution ，就是。
还有如gauge兄说的Riemannian，Riemannian geometry就是。

如果按照楼主的观点，R与R^2的直积将是2维。但是实际上那是R^3，三维

blackhole兄你这里所说的直积就是代数学里线性空间的张量积V×W，我补充一些，

1. 做出V@W，命L(V@W)为所有V@W中元素的有限线性组合构成的集合，它有自然的加法和数乘运算，并且构成线性空间。注意，V@W含于L(V@W)中；

2. 在L(V@W)中，把(λv,w)和(v,λw)等同，(v1+v2,w)与(v1,w)+(v2,w)等同，(v,w1+w2)与(v,w1)+(v,w2)等同，利用这三种关系对L(V@W)的元素进行化简；

3. L(V@W)化简后的空间就是V×W，也就是blackhole兄所谓的“这种由迪卡儿积V@W生成的更大的线性空间就叫做线性空间V,W的直积”，也就是所有“纠缠态”和“非纠缠态”的集合；

4. 用这种关系对V@W化简得到的东西，是L(V@W)的子集，它对应于“非纠缠态”。

tensor product比product要"小"一些.所以定义algebra时, "乘法"用tensor product 把一些平凡的关系模掉了,在这一点上,有点类似于代数K理论中定义K2的做法,模掉一些obviously elemtary matrix relation.
而这是没有关系的,因为由双线性映射以及tensor product的泛性,互相unique determined

楼主的这个帖子不错，澄清了另一栋楼里的一些混淆。

D维空间与F维空间的直和，对应一个(D+F)维空间；二者的直积空间，就对应一个DF维或者（DF+1)维的空间了。这样就可以化解前面萍踪兄的质疑了。

二者的直积空间，就对应一个DF维或者（DF+1)维的空间了。这样就可以化解前面萍踪兄的质疑了。
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直积和直和在有限维是一回事，这个昌海兄以前回帖时说过。
而且直积在线性代数（高等代数）里就有很明确的定义，与高等量子力学中的张量积完全不是一回事。前者的维数相加，后者才是相乘。

如果按照楼主的观点，R与R^2的直积将是2维。但是实际上那是R^3，三维
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你说R与R^2的直“积”是R^3，应该是说R与R^2取“集合”意义（注意我强调的是集合意义）下的笛卡儿“积”（也称为直积，见Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM，Eric W. Weisstein, CD-ROM edition 1.0, May 20, 1999）时得到R^3。如果是后面这个意思，那这跟我的观点不矛盾。只是此时R^3上只是一些点的集合而已，尚无任何代数结构。用第一种方案（即直和方案）加上代数结构，就构成通常的线性空间R^3。忽略这一点的话，可以说笛卡儿积就是直和空间，因为它们的元素完全一样。

所以你的话如果变通为“R与R^2取集合意义上的直积为R^3”，这是没什么问题的，除了需加上某种代数结构这一点。

但如果你是说R与R^2取“线性空间”意义上的直积，那么其结果应该就和R^2同构。

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你的例子提醒了我，我的另一些话是错的。下面是对我原文的一些补正：

我说“对直积空间而言，一方面它比迪卡儿积大，另一方面迪卡儿积中的元素有冗余。”这并非总是成立，因为nm>n+m不是总成立。虽然2*3>2+3，但1*2<1+2，而且2*2=2+2。因此原话改为：对n维线性空间（n≥2）和m维线性空间（m≥2）的直积空间而言，如果n,m中有一个大于2，那么其直积空间比其笛卡儿积要“大”。但对于任意维数，当两空间要直积时，其笛卡儿积中总是有冗余。

对于维数1*2<1+2的特例，可以这样解释。此两空间的笛卡儿积一定有冗余，例如(2,(1,3))=(1,(2,6))。此外，此集合中的所有元素进行任意的加法和数乘时，所得到的元素都处于此集合之中（这个结果不奇怪，因为有一个空间是一维的。相当于此时不可能构成纠缠态），不象维数大时会得到非此集合之中的元素。也就是说，此时，当笛卡儿积中去掉冗余元素之后，恰构成线性空间。由于谈冗余的前提是要采用第二套代数结构方案（直积方案），故此时最后得到的线性空间是直积空间，且其维数小于直和空间的维数。

对于维数2*2=2+2的特例，可以这样解释（这种解释粗略、形象，但不符合严格术语，就好像前面说直积空间比笛卡儿积要“大”一样）。首先笛卡儿积中的冗余会减少一些元素。而此集合中的所有元素进行加法和数乘时，又会得到非此集合之中的元素（相当于此时可以得到纠缠态）。一减一增，可能刚好达到平衡。

下面举几个例子。
因冗余而减少的元素有：((4,8),(1,5))= ((2,4),(2,10))= ((1,2),(4,20))= ((4/3,8/3),(3,15))= …
因得到“纠缠态”而增加的元素有：((1,2),(3,4))+ ((1.2,2),(3.1,4))。
此外还值得提一下四个“Bell基”：((1,0),(1,0))± ((0,1), (0,1))，((1,0),(0, 1))± ((0,1), (1,0))。

另外，对于此特定的维数，2*2=2+2似乎预示着两个二维空间的直积空间和直和空间可以建立同构关系。这种同构关系是显然的，但是似乎没什么意义。比如它跟“纠缠态”无关。

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青松说的完全合我意。

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楼主的这个帖子不错，澄清了另一栋楼里的一些混淆。
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谢谢星空浩淼的夸奖。
又：果真整个这一页就称为“一栋楼”？我还是只在繁星客栈里看到这种用法。那所有这样的楼可都是从楼顶开始砌起的。

D维空间与F维空间的直和，对应一个(D+F)维空间；二者的直积空间，就对应一个DF维或者（DF+1)维的空间了。
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我不解（DF+1)维是何意。这个多出的一维是哪里来的？

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直积和直和在有限维是一回事，这个昌海兄以前回帖时说过。
而且直积在线性代数（高等代数）里就有很明确的定义，与高等量子力学中的张量积完全不是一回事。前者的维数相加，后者才是相乘。
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如果真是这样，那难道连我们学到的知识都不一样？说句老实话，我看到卢昌海说直积和直和在有限维是一回事时，我非常吃惊。要么就是我以前完完全全错了，要么就是卢昌海错得离谱，要么就是我们看的是不同世界的书。
还有一种变通的可能，那就是大家说的不是一个东西，但共着同一个名称。这样的话，两边都不会有大错。但此时一定要具体分析双方说的到底是什么东西。如前面那样，我把直积区分为“集合”意义下的直积（笛卡儿积）和“线性空间”意义下的直积。卢昌海的那个说法，如果理解为“两个线性空间，其集合意义下的直积和通常的直和在有限维时是一回事”，我是赞同的。但在线性空间意义下，直积和直和不可能相同。而且此时的直积就是张量积。

查Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM中，其Tensor Product词条就直接指向Direct Product (Tensor)词条（此条的内容主要涉及广义相对论中的张量）。

查Lectures on Matrices, J. H. M. Wedderburn, 1934, p. 151, 里面谈到了两个可交换代数的直和和直积，其各自的定义直接对应于我的两种方案。象我的λ(v,w)=( λv, λw)或λ(v,w)=( λv, w) =( v, λw)这样的式子都有出现。

查《抽象代数学》卷2（中译本）p. 186, 这里谈的是向量空间，但什么单侧、双侧，左，右的，没仔细看。里面就有两个向量空间的直积，而kronecker积是直积的某种特殊情况。具体情况不清楚。

另外，对于矩阵，总有张量积＝kronecker积＝直积吧？

以上几例至少说明，在许多情况下，直积＝张量积。

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to mathchain：
我想我们剩下的事情可能只有翻书了，因为现在基本上是双方都不认可对方的定义。可能最后要靠投票解决？hehe。
内力不够，在此回复，好在我的这一回复与专业无关。

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这次回帖说了几个意思，因为这段时间总是吃饱一点就说一次话，总饿着肚子。而且总是先把话准备好，一到时间就吐出来。什么时候吃的饱饱的，就不再受饥饿的困扰了。可这得拿不说话来换。不过，虽然每说一次话会有消耗，但好像恢复的速度会增加一点。是这样吧？所以似乎总体来说比等很长时间再说个够要好一些。心里还是准备了不少话要说呢。当然了，现在比以前十天说一次话要好得多了去了。感谢站长。

:: 要么就是我以前完完全全错了，要么就是卢昌海错得离谱

线性空间的直积有不止一种定义。我旧贴中的说法是在下面这个意义上讲的：

http://en.wikipedia.org/wiki/Direct_product#Direct_product_of_modules

直和、直积、张量积这几个概念中，直和与张量积没什么含糊之处。直积在文献中的定义则不唯一。由于许多数学结构（比如拓扑空间、群等）的直积概念都来自于笛卡尔积，线性空间的直积也有沿用这种定义类型的。这样定义的n维线性空间与m维线性空间的直积维数为m+n，直积与直和一样。但将线性空间的直积等同于张量积的做法也是有的，后者的维数为mn，与直和不同。

我不解（DF+1)维是何意。这个多出的一维是哪里来的？
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我的原意是：比如说，D或F中至少有一个等于1，那么D维空间与F维空间的直积空间，就是（DF+1)维的。不过现在觉得我这种说法好像不对。

在我所学的知识中，直积和张量积是一回事。可能有些人跟我学的一样，而另一些人跟昌海兄学的一样，所以在这个问题上的争论，纯粹源自各人的定义不同。

例如，把某个矢量的各个分量作为矩阵元，构成一个列矩阵，这个列矩阵就是原矢量的矩阵表示，而两个矢量之间的直积，就是两个列矩阵之间的直积，因此，在这里，直积就是张量积。

进一步地，假定有一组正交归一完备的矢量组构成空间V的基，另一组正交归一完备的矢量组构成空间W的基，假设V是算符F的表示空间，而W是算符G的表示空间，则空间V与W的直积空间，对应算符F与G的张量积的表示空间。

在这里，所谓算符在某个空间中的表示，有几种方法来表达。例如，算符F在空间V={|i>,i=1,2,...}中有矩阵表示
F=(F_mn)，其中F_mn＝<n|F|m>，
还有算符的谱表示：
F=F_mn|m><n|，(重复指标求和）
算符的谱表示相当于把算符看作张量，用张量基展开。事实上，当矢量可以看作是一阶张量时，矢量用一组完备基矢量展开，也可以看作是一阶张量的谱表示：r=C_n|n>，(重复指标求和）。

顺便跟楼主说明一下：一个主题帖子，加上后面所有跟帖，构成“一栋楼”，开贴人称为“楼主”，跟帖跟主贴之间相隔有其他多少个跟帖，决定了该跟帖的属于第几层楼。

直积在文献中的定义则不唯一。由于许多数学结构（比如拓扑空间、群等）的直积概念都来自于笛卡尔积，线性空间的直积也有沿用这种定义类型的。这样定义的n维线性空间与m维线性空间的直积维数为m+n，直积与直和一样。但将线性空间的直积等同于张量积的做法也是有的，后者的维数为mn，与直和不同。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
所以我的原帖的目的之一是如何调和这两种不同的定义。定义是人为的，但一定要有某种意义上的连续性。比如把通常的直和称为“直幂”大概没人会答应。现在对于R和R^2按照我们知道的那种方式（此处回避专业用语）得到的R^3，称其为直和或直积都有意义上的连续性。我们可以很不严格的写出：R^1*R^2=R^3。由于用到了乘，故可名曰“积”；又1+2=3，故又可名曰“和”。

那么我具体调和的方式是：
两线性空间取集合意义上的笛卡儿积所得的集合同其直和所得的集合。
所以又是“积”又是“和”。能够在这一点上达成一致，就已经差不多了。至于进一步的事情，如你所说，直积的定义不唯一，但这可能不是本质问题了。因为我们都已知道对方在说什么。

所以进一步的事情可能真的要靠投票和声音大小来解决了。

又查：喀兴林的高量，那里直积也是张量积。该章后面还有一个习题，大概是指出Roman那本著名量子力学书中的一个相关错误。现在手头暂时无此书，不细说。

又查：Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM中，Direct Product (Tensor)词条的文献中给出
Arfken, G. ``Contraction, Direct Product.'' §3.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-126, 1985.
所以至少G. Arfken是把张量积也称为直积。

个人感觉，可能做数学的偏好于直积＝笛卡儿积＝直和，而做物理的偏好于直积＝张量积。

另外，此帖可以收入文集吧？收入之前通知一声，我要整理一下。

个人感觉，可能做数学的偏好于直积＝笛卡儿积＝直和，而做物理的偏好于直积＝张量积。
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的确如此。量子力学中的所谓“直积”，其实都是张量积。

建议：楼主如果要整理，除了自己的文章，还可以总结有参考价值的回帖（包括我提到的另一栋楼，即请教关于相空间概念的那栋楼，那里有众多网友的讨论，这些讨论对网友有参考价值）。以前收集网友文章时，有过几次这种先例：楼主把整栋楼的讨论都给整理成一篇文章（例如，可参考萍踪浪迹的有些文章，他除了自己发了许多精彩好文，还做过几次这种总结讨论的好事）。

回楼主：这个是约定问题……只要相关概念各安其处就可以了，未必有必要调和，但是有必要约定。一般来说，直积的概念比张量积的概念用得更多。而且，大多数文献不把张量积说成直积。即使是物理文献也是这样。

回星空兄：我整理的文章，因为不是我自己所写，所以都不署我名，所以何来“萍踪浪迹的文章”，哈哈。

:: 此帖可以收入文集吧？收入之前通知一声，我要整理一下。

你可以整理一下重发一个贴子，我会将之收入文集。

我本来以为我发的那几个帖子已经把这个问题说得很清楚了.............

:: 我本来以为我发的那几个帖子已经把这个问题说得很清楚了

季兄的贴子比较“down to maths”，楼主的贴子试图“down to earth”。:)

还有算符的谱表示：
F=F_mn|m><n|，(重复指标求和）
算符的谱表示相当于把算符看作张量，用张量基展开。事实上，当矢量可以看作是一阶张量时，矢量用一组完备基矢量展开，也可以看作是一阶张量的谱表示：r=C_n|n>，(重复指标求和）。
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这个不能叫谱表示吧？谱表示一般是要跟本征值和本征向量这类问题联系在一起的。你这个应该只是把一阶、二阶、高阶张量用各自的张量基展开而已。
例如，对于正规（normal）算符A，它存在完备、正交的本征子空间，各自的投影算符为P_i(i=1,2,…)，各自的（非简并）本征值为λ_i，那么
A=Σ λ_i P_i
这就是算符A的谱表示或谱分解。凡“谱”应该总指本征值谱。

建议：楼主如果要整理，除了自己的文章，还可以总结有参考价值的回帖（包括我提到的另一栋楼，即请教关于相空间概念的那栋楼，那里有众多网友的讨论，这些讨论对网友有参考价值）。以前收集网友文章时，有过几次这种先例：楼主把整栋楼的讨论都给整理成一篇文章（例如，可参考萍踪浪迹的有些文章，他除了自己发了许多精彩好文，还做过几次这种总结讨论的好事）。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`
这个就免了吧。非不为也，乃不能也。我对代数部分并不熟。什么环，域，模，代数，理想，只稍微看过一点。比较熟的是线性代数，而且是有限维的（无限维的东西可能把大家都问烦了吧）。然后是群论，系统的看过，但没怎么用，很多都忘了。要把你说的这些东西作个总结，没有一定高度不行。而且季候风好像已经总结过了，写得高屋建瓴，纵横捭阖：
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1166719955
http://www.changhai.org/forum/collection_article_load.php?aid=1166728646

另外，萍踪浪迹总结讨论的好事该到哪找啊？他的文集里好像没有。在老繁星客栈上倒是好像看到过关于某次讨论的总结稿。

我可能主要按自己的思路进行整理。大概构思是这样：力求客观，先写大家都能接受的部分，然后说明争论之所在。

这个不能叫谱表示吧？谱表示一般是要跟本征值和本征向量这类问题联系在一起的。你这个应该只是把一阶、二阶、高阶张量用各自的张量基展开而已。
例如，对于正规（normal）算符A，它存在完备、正交的本征子空间，各自的投影算符为P_i(i=1,2,…)，各自的（非简并）本征值为λ_i，那么
A=Σ λ_i P_i
这就是算符A的谱表示或谱分解。凡“谱”应该总指本征值谱。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
我上面是更为一般意义上的说法，如果|n>是算符F的本征值为F_nn的本征态，则有
F_mn＝δ_mnF_mm (δ为Dirac Delta函数）
因此就有量子力学中通常看到的谱表示
F=F_nn|n><n|
其中P_n=|n><n|是投影算符（它还可以被理解为“概率算符”，它在某个态|ψ>下平均值
<ψ|P_n|ψ>对应取本征值F_nn的概率，且满足求和∑_n<ψ|P_n|ψ>＝<ψ|ψ>＝1）
一般地，如果|n>不是算符F的本征态，则F的非对角元F_mn不为零，于是便有一般的张量基展开F=F_mn|m><n|。

另外，萍踪浪迹总结讨论的好事该到哪找啊？他的文集里好像没有。在老繁星客栈上倒是好像看到过关于某次讨论的总结稿。
－－－－－－－－－－－－－－－－
呵呵，见萍踪兄自己的解释。


我可能主要按自己的思路进行整理。大概构思是这样：力求客观，先写大家都能接受的部分，然后说明争论之所在。
－－－－－－－－－－
期待中