在数学论坛直和，直积和张量积讨论的很热闹，以前我也看过一些东西，现在就这个Topic梳理一下，介绍一下它们在数学物理上的应用。个人理解能力有限，笔记肯定有错误之处，敬请谅解。

群表示直乘的分解和MacKay 对应性
十维时空的一种理论模型是n个D3膜平行放置，形成规范群为U（n）的规范理论，规范场为A^\mu_I。有4种超对称荷，对称性为SU（4）。物质场是属于SU（4）4维表示和U（n）伴随表示的费米子场\Psi_{IJ}^4；属于SU（4）6维表示和U（n）伴随表示的波色子场\Phi_{IJ}^6, I,J=1,2,…n. 十维时空的六维空间是CY空间，最平凡的就是C^3. 如果要返回到现实世界的大统一理论的规范群和N=1的超对称，CY空间必须带有奇点，由C^3.模掉一个离散群\Gamma来实现（严格来说，奇点摸平之后才是CY）。这个离散群取为SU(3)或SU（2）的离散子群。SU(2)的离散子群已经分类，是循环群，正多边形群，正四面体群，正八面体群和正十二面体群。在这个离散群作用下不变的规范场，物质场和超对称荷，就是现实世界中的场。
设离散群的不可约表示为r_i, 那么规范群U（n）分解为不同种类规范群的直乘\prod U(N_i), 满足\sum N_i dim(r_i)=n. 如果SU（4）4维或6维表示R与不可约表示为r_i的直积有分解：R\bigotimes r_i=\bigoplus_j a^R_{ij}r_j，那么物质场分解为SU(N_i)\times SU(N_j)的双伴随表示(N_i,\bar{N}_j)，即\Psi^{ij}_{f_{ij}}或\Phi^{ij}_{f_{ij}}，其中f_{ij}=1,2,…a^R_{ij}.
MacKay 对应性是说如果R取为 SU（2）的基本表示2，那么分解系数a^2_{ij}恰好就是affine (A_n,D_n, E_6,E_7,E_8)的Cartan 矩阵。
这个模型还远远没有达到现实世界所要求的，我们在以后继续评说。

参考文献：hep-th/0408142, Lectures on D-branes, Gauge Theories and Calabi-Yau Singularities.

MacKay 对应性是说如果R取为 SU（2）的基本表示2，那么分解系数a^2_{ij}恰好就是affine (A_n,D_n, E_6,E_7,E_8)的Cartan 矩阵。

我对这个非常有兴趣,期待LZ的下一篇

我的本意是想用一条麻绳（而不是金丝项链）把珍珠串起来，所以广而不深。但我也正好有兴趣在ADE上面，过一段时间我消化后，再回到这个主题。也请张兄指正。

这个题目很大啊！毕竟直积只是一种运算，不算一种专门的数学工具，因此这个题目差不多如同“叉积在数学物理中的应用”一样。

另一方面，物理中常会涉及直积的直和分解，这个话题（包括分解技巧）楼主可以好好给大伙儿讲讲哈

欢迎北兄光临客栈！期待下文。

Welcome to physics board!


十维时空的一种理论模型是n个D3膜平行放置，形成规范群为U（n）的规范理论，规范场为A^\mu_I。有4种超对称荷，对称性为SU（4）

Why doesn't the existence of D-brane break N=4 supersymmetry in Type IIB already?

。物质场是属于SU（4）4维表示和U（n）伴随表示的费米子场\Psi_{IJ}^4；属于SU（4）6维表示和U（n）伴随表示的波色子场\Phi_{IJ} ^6, I,J=1,2,…n. 十维时空的六维空间是CY空间，最平凡的就是C^3.

如果要返回到现实世界的大统一理论的规范群和N=1的超对称

None of these can be called real world yet.

，CY空间必须带有奇点，由C^3.模掉一个离散群\Gamma来实现（严格来说，奇点摸平之后才是CY）。这个离散群取为SU(3)或SU（2）的离散子群。
SU(2)的离散子群已经分类，是循环群，正多边形群，正四面体群，正八面体群和正十二面体群。在这个离散群作用下不变的规范场，物质场和超对称荷，就是现实世界中的场。

Super charge is not field by themselves.

设离散群的不可约表示为r_i, 那么规范群U（n）分解为不同种类规范群的直乘\prod U(N_i), 满足\sum N_i dim(r_i)=n. 如果SU（4）4维或6维表示R与不可约表示为r_i的直积有分解：R\bigotimes r_i=\bigoplus_j a^R_{ij}r_j，那么物质场分解为SU(N_i)\times SU(N_j)的双伴随表示(N_i,\bar{N}_j)，即\Psi^{ij}_{f_{ij}}或\Phi^{ij}_{f_{ij}}，其中f_ {ij}=1,2,…a^R_{ij}.
MacKay 对应性是说如果R取为 SU（2）的基本表示2，那么分解系数a^2_{ij}恰好就是affine (A_n,D_n, E_6,E_7,E_8)的Cartan 矩阵。
这个模型还远远没有达到现实世界所要求的，我们在以后继续评说。

Why doesn't the existence of D-brane break N=4 supersymmetry in Type IIB already?
--------------------------------------------------------------------------
这个物理图景我还不明朗，或不清楚。按我的个人理解，IIB型是闭弦，由开弦-闭弦对应性，有开弦
模式存在，而开弦的两个端点就“定”在D模上。粗略来讲，闭弦，开弦，D膜等都是IIB型理论的一部分，所以并不“破环”它的超对称性。另外，D膜能“探测”到CY流形的奇点。

**********************************************************************

在这个离散群作用下不变的规范场，物质场和超对称荷，就是现实世界中的场。

Super charge is not field by themselves.
---------------------------------------------------------
这个是我理解错误，谢谢指正

这个物理图景我还不明朗，或不清楚。按我的个人理解，IIB型是闭弦，由开弦-闭弦对应性，有开弦
模式存在，而开弦的两个端点就“定”在D模上。粗略来讲，闭弦，开弦，D膜等都是IIB型理论的一部分，所以并不“破环”它的超对称性。另外，D膜能“探测”到CY流形的奇点。
==================================================

The symmetry of a theory is not necessarily preserved by all of its possible vacua. Higgs is part of a
SU(2) invariant theory, and its vacuum expectation value breaks SU(2).

The fact that D-branes are part of the degrees of Type IIB does not imply it will preserve all of its supersymmetries. In particular, we know that part of the supersymmetry algebra is just a translation. However, the presence of a D-brane generically breaks some of the translational invariance. Therefore, it generically breaks some of the supersymmetries.

Usually, if we just put a general defect into space, it breaks many symmetries. The fact that D-branes are the so called BPS objects means that it breaks supersymmetry in a very controlled way. It preserves half of the supersymmetry.

谢谢SAGE兄的精彩解释，使我对（超）对称破缺有进一步理解。