亚里士多德（Aristotle, 前384—前322年）

古希腊的杰出思想家亚里士多德是一位百科全书式的人物，他几乎对当时科学文化的各个方面都有所研究，撰写过逻辑学、物理学、天文学、动物学、心理学、伦理学、政治学、诗学等许多著作，被认为是当时学识最渊博的人。他在历史上最为著名、影响最大的是他的逻辑学。直到现在，人们公认他是逻辑学这门专门研究人的思维形式和规律的学科的创始人。

亚里士多德认为，逻辑学的研究对象是语言，即逻各斯。但它所注意的只是语言的形式而不是语言的内容。词是构成语言的最基本的成分，每个词都是一个判定。他对定义作了专门研究，提出了本质定义即属加种差定义、语词定义、原因定义等，并讨论了下定义时可能出现的错误，提出了现在逻辑教本中仍在使用的一些规则。把命题划分为简单命题和复合命题。命题的对当关系、换位等问题是亚里士多德逻辑中的重要理论。他没有专门讨论差等关系，但在三段论中实际上应用了这一关系。亚里士多德研究了推理，认为推理是通过前提作出必然结论的逻辑形式。直言三段论理论是其中的重要部分。他的三段论是一个比较完整的演绎推理理论，是一个初级的公理化系统。此外，他还提出了模态三段论理论，实际上也是一个公理系统，有些内容需进一步研究。思维规律的理论是亚里士多德逻辑的基础。亚里士多德从本体论和逻辑两个方面提出和建立了他的逻辑思维规律理论。在他的哲学著作《形而上学》中首先考察矛盾律，认为矛盾律是一切证明都需要应用的最根本的原理，因而是不需要证明也是不能证明的。亚里士多德确定的另一条思维规律是排中律。亚里士多德研究了科学证明，他要求证明的前提必须是真实的，是必然的；证明的最初始的命题必须是直接的。他还讨论了直接证明和间接证明，并认为直接证明比间接证明优越。同时，他还研究了各种谬误以及驳斥谬误的方法。在亚里士多德的逻辑理论中还有归纳和科学方法论等方面的内容。归纳是通过类比，从特殊中发现普遍，从个别中发现一般，它是一切科学证明的源泉。



弗雷格 (Frege , 1848—1925)

德国数学家、逻辑学家和哲学家，是数理逻辑和分析哲学的奠基人。1848年11月8日生于德国维斯马,1925年7月26日卒于巴德克莱茵。1873年毕业于格丁根大学，获博士学位。1874年起即在耶拿大学任讲师，1879年任教授，1918年退休。在耶拿大学执教的四十余年间，致力于数学基础、数学哲学和逻辑理论的研究。

弗雷格于 1879年出版了《概念语言》一书，所谓“概念语言”是一种表意语言，用它进行推理最易于察觉隐含的前提和有漏洞的步骤。由于弗雷格认为算术定理可由纯逻辑规律出发证得，为了保证推理过程的绝对严格性，他特地建立了这一符号语言。他成功地引入了数学中的函数概念，建立了量词理论。这样就构作了一种基本自足的逻辑演算即一阶谓词演算。从而给出了历史上第一个严格的关于逻辑规律的公理系统。嗣后，他又出版了《算术基础》（1884）和《算术的基本规律》 （卷I,1893；卷Ⅱ，1903）。在这些著作中他首创从逻辑出发来定义数和自然数，并从逻辑规律出发推导出一系列算术定理。尽管弗雷格明确地提出了数学可以化归为逻辑的思想，但没有全面地进行从逻辑推导数学的研究，因而他未能象B.A.W.罗素和A.N.怀特海在《数学原理》中那样精详论证、充分展开逻辑主义的纲领，但弗雷格仍不失为逻辑主义的创始人之一。 逻辑主义的主要代表人物罗素，甚为称颂弗雷格的工作。弗雷格晚年从事数学哲学和逻辑理论的研究。



哥德尔（Godel, 1906—1978）

著名的数学家、逻辑学家，其最杰出贡献是证明了哥德尔不完全定理论。生于奥匈帝国的布尔诺（今属捷克斯洛伐克），卒于美国普林斯顿。早年在维也纳大学攻读物理、数学，并参加哲学小组活动。1930年获博士学位。其博士论文证明了「狭谓词演算的有效公式皆可证」。之后在维也纳大学工作。1938年到美国普林斯顿高等研究院任职，1948年加入美国籍。1953年成为该所教授。

哥德尔发展了冯．诺伊曼和伯奈斯等人的工作，其主要贡献在逻辑学和数学基础方面。在20世纪初，他证明了形式数论（即算术逻辑）系统的「不完全性定理」：即使把初等数论形式化之后，在这个形式的演绎系统中也总可以找出一个合理的命题来，在该系统中既无法证明它为真，也无法证明它为假。这一著名结果发表在1931年的论文中。他还致力於连续统假设的研究，在1930年采用一种不同的方法得到了选择公理的相容性证明。3年以后又证明了（广义）连续统假设的相容性定理，并於1940年发表。他的工作对公理集合论有重要影响，而且直接导致了集合和序数上的递归论的产生。此外，哥德尔还从事哲学问题的研究。他热衷於用数理逻辑的方法来分析哲学问题，认为健全的哲学思想和成功的科学研究密切相关。他在1967年致中国数学家王浩的信中，自称为「客观主义」，并说他的客观主义观点对於他的逻辑研究来说是根本的。1951年获爱因斯坦勋章。哥德尔一生发表论著不多。他发表於1931年的论文《〈数学原理〉（指怀德海和罗素所著的书）及有关系统中的形式不可判定命题》是20世纪在逻辑学和数学基础方面最重要的文献之一。

数学能不能还原为纯逻辑，和歌德尔不完备定理到底有嘛关系啊？有说法说该定理对逻辑主义作出了致命一击，是因为逻辑公理的有限性和歌德尔不完备性导致的存在某些数学真理永远无法被逻辑解释？逻辑公理和非逻辑公理的区别的基础是什么？，逻辑公理是关于推理自身的，非逻辑公理是关于推理的素材——-某一具体领域的事实的？在一阶逻辑系统是这样，逻辑公理针对谓词演算，其他的非逻辑性公理是关于它所描述的那个对象的。

非常希望浪子兄能多给我们谈谈现代逻辑的问题.

Leibniz应该也是一位