集合的笛卡儿积，线性空间的直和和张量积，以及对直积的争议

blackhole

〇、缘起

2007年的某天，我在繁星客栈上看到直积和直和在有限维是一回事的评论，我立刻陷入巨大的疑惑和震惊之中。这种疑惑象一块巨石，压得我透不过气来。为了解惑，我必须使出浑身解数来换得内心的安宁。

一、追本溯源

集合的笛卡儿积（也称为集合的直积），简单的说，就是从两个集合中各拿出一个元素，构成有序组。所有这样的有序组就组成两个集合的笛卡儿积。集合A和B的笛卡儿积表示为A×B，它也是一个集合。其中的元素表示为(a,b)，其中a∈A, b∈B。之所以使用“积”这个字，一个简单的理由是，如果两个集合都是有限集，那么其笛卡儿积的元素数目是两集合元素数目之积。

现在有两个有限维线性空间V,W，其数域同为F。（若不相同，则需一个是另一个的子集，此时取此子集为F。）考虑二者的笛卡儿积V×W。它现在还只能是个集合，其中尚未引入代数结构。这可以有两种方案。

方案一：
定义V×W中任意两元素的和为
(v1,w1)+(v2,w2)=(v1+v2,w1+w2)。 （1）
定义F中的元素λ与V×W中元素的数乘为
λ(v,w)=( λv, λw)。 （2）
这样，集合V×W就构成了域F上的线性空间。此即线性空间V和W的直和，记为V○+W。忽略V○+W中的代数结构，可以认为V×W=V○+W，即二者的元素完全一样。

设V中的基矢为ev_i(i=1,...,n)，W中的基矢为ew_i(i=1,...,m)，则线性空间V○+W中元素的一般表达式为（Σx_i ev_i, Σy_i ew_i）。其独立变量x_i, y_i的个数为n+m（每个都从域F中取值），故此直和空间的维数维n+m。

方案二：
首先将集合V×W中的部分元素等同起来：
(λv, w)= (v, λw)。 （3）
然后对部分元素定义二元运算——和：
(v1,w)+(v2,w)=(v1+v2,w), （4）
(v,w1)+(v,w2)=(v,w1+w2)。 （5）
又定义数乘：
λ(v,w)=( λv, w) =( v, λw)。 （6）
显然，对于V×W中两元素，(v1,w1)+(v2,w2)当且仅当v1, v2线性相关或w1,w2线性相关时才∈V×W。如果不是这样，则它们的和是没有定义的；或者可以认定它们的和有意义，只是(v1,w1)+(v2,w2)\∈V×W（\∈表示“不属于”）。由于我们需要的是线性空间，故此时显然需将集合V×W的范围扩大以包含这种新的元素。

具体的操作如下：（感谢青松的精炼总结）
1. 让V×W中的元素进行各种有限线性组合（加法和数乘），命L(V×W)为所有这种组合构成的集合。它显然构成线性空间。可以认为V×W是L(V×W)的生成元。
2. 在L(V×W)中利用关系（4）－（6）对各元素进行归并（等同），去掉冗余矢量。
3. L(V×W)在进行这种化简后仍然构成线性空间，此即空间V，W的张量积，记为V○×W。
此张量积空间中的任意矢量皆可表示为Σa_(ij) (ev_i,ew_j)，有nm个独立变量，故此空间的维数为mn。

从较高级的语言来说，这里所谓的归并就是在L(V×W)中建立等价关系，其得到的陪集的集合构成线性空间，称为商空间。它就是V○×W。

几点说明。先令V×W/U表示V×W在元素归并后的集合（本质上这是商的表示，此处不谈，仅用其符号）。
1、V○×W中的元素分为两类：处于集合V×W/U中的和处于V×W/U外的。前者对应于非纠缠态（或矢量分析中的并矢），后者对应于纠缠态。
2、在任何维数情况下，V×W/U< V×W，即笛卡儿积中总会有冗余。
3、在大多数情况（m,n>1）下，V○×W> V×W/U，即在张量积中有“纠缠态”。
4、在大多数情况（mn>m+n）下，dim(V○×W)>dim( V○+W)。此结论几乎就是同义反复。此外的情况是1*n<1+n和2*2=2+2。

对于维数中有一个为1(1*n<1+n)的情形，此两空间的笛卡儿积一定有冗余，例如 (2,(1,3))=(1,(2,6)) （设n=2）。此外，此集合中的所有元素进行任意有限线性组合时，所得到的元素在归并后都处于此集合之中。用物理的语言说，由于有一个空间是一维的，故不可能构成“纠缠态”。此时dim(V○×W)<dim( V○+W)。

对于维数2*2=2+2的特例，可以这样形象解释。首先笛卡儿积中的冗余会减少一些元素。而此集合中的所有元素进行加法和数乘时，又会得到非此集合之中的元素（纠缠态）。一减一增，刚好达到平衡：dim(V○×W)=dim( V○+W)。
下面就两个两维空间取张量积的过程举几个例子。
因冗余而减少的元素有：((4,8),(1,5))= ((2,4),(2,10))= ((1,2),(4,20))= ((4/3,8/3),(3,15))= …
因得到“纠缠态”而增加的元素有：((1,2),(3,4))+ ((1.2,2),(3.1,4))。
此外值得一提的是四个“Bell基”：((1,0),(1,0))± ((0,1), (0,1))，((1,0),(0, 1))± ((0,1), (1,0))。

作为对有序对的强调，对于直和而言的一个例子是，平面上（1，2）和（2，1）不是同一个点。对于张量积的一个例子是，e_x e_y≠e_y e_x.

又：如果是两个线性空间还是内积空间，那么要想是其直和和张量积也成为内积空间，需在第一种和第二种方案中分别添加对内积的定义：
(v1,w1)•(v2,w2)= v1•v2+ w1•w2 (7)
(v1,w1)•(v2,w2)= (v1•v2)(w1•w2)。 （8）
当然此时的内积都从域F中取值。

总之，线性空间的直和和张量积都来自于集合的笛卡儿积这个原始概念。而它们之间的区别，首先在于对此笛卡儿积赋予不同的代数结构。对直和而言，在忽略代数结构的前提下可认为直和＝笛卡儿积；而且对张量积而言，一方面它比笛卡儿积大（多数情况），另一方面笛卡儿积中的元素有冗余。

1.Direct sum and Direct product coincide with algebraic structure when the term is finite not finite dimension
2. Obviously, Tensor product is smaller than direct product.

二、争论的根源和现状

以上意见应该是大家都能接受的，其中刻意回避了“直积”一词。就直积而引起的争论，在本质上不是来自于客观的学理，而是来自于主观的习惯或定义。这一方面简化了问题：不用争论太多了；另一方面又使问题复杂化：既然不是客观学理，就不会有唯一结论。

争论的现状是存在两种相反的观点：
A．直积＝直和，为数学家所偏好；
B．直积＝张量积，为物理学家所偏好。

观点A的理由是：
根据前面的分析，在忽略代数结构的前提下可认为直和＝笛卡儿积，而集合的笛卡儿积又称为直积，故线性空间的直和＝直积。这符合通常的学术称谓原则，比较“庙堂”。（真的非常符合吗？见下。）

还有一点需说明。虽然数学家和物理学家都同意把第一种方案的结果称为直“和”，但他们其实是出于不同的原因。弄清楚各自的原因，也许有助于双方理解对方。

对数学家而言，本没有“和”，只有所谓的二元运算（或操作）：一集合中两元素经过二元运算后还是此集合中的元素。那么总要给它一个名称。用什么名字呢？现成的有“和”跟“积”。这里数学家偷了个懒，直接采用“积”或“乘法”来命名一般的二元运算。（其实个人感觉，如果发明一个新的词来指称一般二元运算，可能以后的名称系统要清晰些。）有一种特殊的“积”，它跟两元素的顺序无关，即Abel情况，而两个数的通常的和也跟顺序无关，于是就这么牵强地把这种特殊的“积”叫做“和”。（其实通常的积也跟顺序无关啊。Hehe。）而线性空间正是这种情况，所以其中的二元运算又称为“和”（原本作为一般二元运算而言应该叫“积”的）。于是，本来两线性空间的笛卡儿积加上第一种代数结构方案后该称为“直积”（这个“积”字的使用不是来自于指称二元运算，而是来自于指称集合关系的笛卡儿积的“积”）的，但由于是Abel情况，故又称为“直和”。（线性空间是一种特殊的模，而模必须是Abel的，所以直和可以一般地对模有定义。）

物理学家的想法就简单多了：基矢不就是两空间的基矢放在一块吗？维数不就两维数之和吗？ 这不就是“直接加”起来吗？所以就叫“直和”了。

观点B的理由是：
1、让直和、直积（＝张量积）并举在形式上很完美，很对称，如各自的维数分别为m+n和mn，体现了“和”跟“积”。
2、就张量积在物理（如量子力学）中的应用来说，称为直积在语义上非常自然：两无关粒子体系的波函数或有几个无关自由度的粒子的波函数不就是把各自的波函数“直接乘”起来吗？
3、对于矩阵，大家都同意直积＝张量积＝kronecker积吧？这自然而然会诱导出，对于矢量和容纳矢量的线性空间都有直积＝张量积＝kronecker积。
这种理由也很强，但比较“江湖”。本人天生就是B派中人，所以可以理解我刚看到另一个派观点时的震惊。

而且从前面的学理分析中还可以得到弱化A派观点的天然性的理由：直和和张量积不都是笛卡儿积（直积）的儿子吗？都是试图加上某种代数结构而已。一个是一加就加上了，得到直和；一个是一加才发现比较麻烦，七弄八弄弄出了张量积。直和长得漂亮，而张量积长得丑陋，皇上的别名就只能继承给直和啊。（这里当“泛性”之类的东东不存在。）

总之，双方理由都很充分。为尽量维持和平，我建议B派对于A派言论“R与R^2的直积是R^3”可以采用进一步解释的方式来减少对抗情绪：先把“直积”区分为集合意义下的直积（≡笛卡儿积≈直和）和线性空间意义下的直积（＝张量积），然后视此言论为“R与R^2取集合意义下的直积时得到R^3”而同意之。

前面说了，现在的争论不是学理上的，所以只有靠实力来解决了。下面例举分别支持两位太子的势力。

1、数学著作持观点A：
太多了，只简单列出两个网页：
http://en.wikipedia.org/wiki/Direct_product#Direct_product_of_modules
http://mathworld.wolfram.com/DirectProduct.html
（注：该页中有一句：the direct product of two vector spaces of dimensions m and n is a vector space of dimension mn. 此处mn应为m+n之误。刚看到时可把我乐坏了。）

2、物理著作持观点B：
太多了，只列几个：
Principles of Quantum Mechanics, R. Shankar
Quantum Theory: Concepts and Methods, Asher Peres
高等量子力学，喀兴林

引人注目的是双方的叛徒，因为这属于少数。

3、数学著作持（或相当于持）观点B：
a、Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM中，其Tensor Product词条就直接指向Direct Product (Tensor)词条（此条的内容主要涉及广义相对论中的张量）。
b、Lectures on Matrices, J. H. M. Wedderburn, 1934, p. 151, 里面谈到了两个结合代数的直和和直积，其各自的定义直接对应于前面的方案一和二。
c、《抽象代数学》卷2（线性代数部分）（中译本），第七章，向量空间的积。其线条是：直积→Kronecker积→张量空间。
d、《环与代数》（著者不祥）p. 22，在谈论两个代数的内张量积时，括号内注明：或直积，或Kronecker积。
（后三者已打包发至stars_forum1@yahoo.com，信名为direct product.rar by blackhole。）

4、物理著作持（或相当于持）观点A：
（暂缺。）

这就是两个太子争夺皇上别名继承权的故事。作为B派中人，我很高兴地发现A派有叛徒，而本派没有发现。

三、本文的写作目的兼摘要

1、追究两个太子跟皇上到底有多密切的关系。
2、告诉B派A派意见的合理性：直和是长得最帅的，而且A派是直通皇上的。
3、告诉A派B派意见的合理性：张量积也有继承权，且继承之后事情在表面上会变得很简单。
4、鉴于A派以前一直是本站的主流派别，而且由于几位耆宿的权威性使得B派根本抬不起头，在此我代为出头，为B派主张据说是最大的人权的生存权。和谐社会吗，中央不也讲究平衡吗？

（本文的基金支持为母亲做的饭。）

参考文献：

A派大佬的通天雄文（A派的总纲领）见本站
http://www.changhai.org/forum/collection_article_load.php?aid=1166728646
下面是A派的一言堂，尤其是第二帖：
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1166719955
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1165561971
本派的发言此前很少，就在第三帖中找吧。
本次双方的大讨论见
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1185529999
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1185551167
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1185619476

补充一个理由：在物理中没有出现数学家的直积，所以这个多出来的名词就可以在另外的地方派上用场。

数学里 “直积” 是对所有范畴都有意义的操作，“直和” 是抽象的 “直积” 概念在某些具体范畴 －－－ 交换群，环上的模，线性空间等等 －－－ 的具体体现。

没有人说要强迫物理学家把 “直积” 改成 “张量积”，大家都只是在解释， 数学里 “直积” 和 “张量积” 是不同的概念，虽然物理学家把张量积叫做直积。解释的原因不过是有网友把这两个名词 “在数学上” 混淆。

说什么 “权威” 简直是笑话，这又不是哲学，普遍使用的概念体系只有一个，不承认现有的概念体系而用自己认为舒服的概念体系就会导致交流不畅。这种已经非常成熟的东西没必要争论，直接找一本比较通用的 （比如 Graduate Textbooks in Mathematics 系列里的） 范畴论，代数学，或者同调代数，交换代数，把关于范畴的介绍看一遍，或者直接 Wiki.

这里显然有信息的不平衡，我和萍踪对理论物理的通用教材进行了悉心的研读，你却不愿意了解哪怕是关于范畴论的一点点概念。

To 季候风：

很不好意思引起了你的反感，请相信这不是我的本意。看这个帖子
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1185529999
的最下面你就知道我的心态是平和的，并非真正有受到压制之意。是我表述不当，致歉。其实这几天我是在看一些抽象代数的东西。你的那篇总结文章我绝没有轻侮之意。做理科的怎么会不讲究学理逻辑线条呢？而且从大家那里讨教了那么多东西，心里感谢还来不及呢。

我的帖子分两部分，前一部分事关学理，故是严肃的，后一部分已经言明跟学理没什么关系，故采用了戏谑的语气。有一段我都注明了是抛开泛性质的概念来信口说的。

请季候风消气。请卢昌海把相应的段落改成下面的样子。谢谢！


三、本文的写作目的兼摘要

1、追究两个太子跟皇上到底有多密切的关系。
2、告诉B派A派意见的合理性：直和是长得最帅的，而且A派是直通皇上的。
3、告诉A派B派意见的合理性：张量积也有继承权，且继承之后事情在表面上会变得很简单。

（本文的基金支持为母亲做的饭。）

参考文献：

A派的总纲领见本站
http://www.changhai.org/forum/collection_article_load.php?aid=1166728646
下面是A派的聚会：
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1166719955
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1165561971
本派的发言此前很少，就在第三帖中找吧。
本次双方的大讨论见
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1185529999
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1185551167
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1185619476

其实这不是一个数学问题，也不是物理问题，纯粹就是大家如何使用某些名词术语的习惯。所有讨论这个问题的帖子我都没有细看，我也一直没有明白为什么大家对如此简单的问题讨论了这么久。直道Blackhole的解释才知道是怎么回事。

从这个问题我们得到一个教训，数学和物理之间有一道沟，因为即使如此简单的一个问题也要兴师动众的讨论，更不用说那些真正的问题了。例如，微分几何学家通常都不研究相对论，而是研究Riemann几何；反之，物理学家一般也不研究Riemann几何。

大家心平气和最好。其实，我以前看物理文献时因为没有注意到部分物理学者在描述张量积时用的是直积的名称，因为对于习惯物理术语的人，用直积来理解张量积不是什么问题。

但是我现在要补充一个看法：从笛卡儿积出发，两个空间的直积空间的维数明显应该是原来空间维数相加，那么部分物理学家把张量积（维数相乘）的操作当成直积本身就是自己的臆造，因为这些源自数学的概念为什么非要用例外的数学名称来代替呢？在数学中，在时空研究中，取第一个空间的坐标，与第二个空间的坐标，分别作为集合，那么它们的笛卡儿积不就是直积吗？

而在张量分析中，如我在另外帖子里说过的，坐标基逐个取“并矢”，就构成新空间的坐标基，这样张量积的物理意义也是非常明显的，至少对于学过相对论的人而言。

因此，我认为，部分物理文献把“张量积”说成直积，把直和与离散直积这个相同的概念理解成不同的概念，本身是不符合数学命名的。至于它们的严格定义，教科书上或者百科全书上已经说得很清楚，不用我们在劳作了。

我坦诚自己以前看物理教科书时没有注意到这些概念的混乱，包括咯兴林教授的《高量》里的混乱命名，但是我不会认为这种命名就符合规范。

对于这些概念的实质，大家没有任何歧义，不再细说。

这些源自数学的概念为什么非要用例外的数学名称来代替呢？
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
想来想去，可能是这样的原因：1、如果这样的话，那在表面上就太自然了（我强调的是表面上，见我原文）；2、做物理的一般是需要数学的时候再去翻数学，所以这样称呼的时候根本没想到居然还有这么一回事。但木已成舟，也就扛着吧。也不知是谁最先把张量积叫成直积的。

至于规范问题，有句话叫做约定俗成。而且，如果俗成的面积大了，在某种意义上俨然就是一种规范了。就像我说orthonormal不能说成是“正交归一”而应该是“正交规一”，但google一下前者比后者多了去了。要改变这种情况，除了发发牢骚，主要还是从自己做起：1、自己自觉使用“正交规一”；2、宣传“正交规一”（正如我现在所做的），指出“正交归一”的问题。

就直积的问题，我以后会这样：1、自己避免它，只用张量积（我看到有物理著作就只用张量积，不使用直积的名称）；2、告诉学生：某某东西叫张量积，有人叫成直积，但直积在数学里面有另外的意义，你们最好避免，只说张量积，这是规范叫法。

问个问题难为一下你：为什么数学家同意把矩阵的张量积称为直积？我很纳闷。见
http://mathworld.wolfram.com/MatrixDirectProduct.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product

又：上面两个网页（或各自的链接）对矩阵的Kronecker积（此称呼两者相同）好像有那么一点点意见不一呢。一个承认它是张量积的一种，但没让它跟“直积”沾边；一个又称之为直积，但没让它跟“张量积”沾边（当然会跟其他的东西，如线性空间的张量积沾边）。

部分数学家的不规范和部分物理学家的不规范，一样是可以理解的，这个并没有什么难为的地方。
只要知道了各个操作的具体定义和含义，那么名称似乎也不用苛求，马中骐教授的《物理学中的群论》也是用直积来命名张量积。

数学家物理家就直积直和出现分歧的原因分析及教训

1.（多数）物理学家的当代数学修养不够，凑合凑合的占绝大多数。像站长，sage，萍踪等人那种水平的属于属于绝对少数，如果不是凤毛麟角麟角的话。
2.数学家对物理学家的当代数学修养有多不够没有定量的认识。比如说，能看懂（不说使用）季侯风文章中的"上乘"的物理学家占几成？根本没听说过的比例有多大？

结果是，物理学家对数学家的黄钟之音乐充耳不闻或视为无是生非或视为无用的阳春白雪，对自己人的瓦釜之噪音倒是如痴如醉。

不过，物理学家是非数学家里数学最好的，也是对数学最尊重的。其他理工领域的，数学家们只怕根本就无法容忍，你讲向量内积人家多半只能张开大嘴巴笑。

Moral:吾等非数学家,要混饭吃,当继续加强当代数学修养,而数学家经常要回头看一下,非数学家们掉队有多远了,要派一些人来引路领步,否则会更经常地出现＂物理学家的XXX与数学家的XXX不是同一个东西＂的混乱事情,更严重的是,前面已经差一点出现＂海森伯格独立发现矩阵＂和＂杨振宁独立发现纤维丛＂的事情了。

（多数）物理学家的当代数学修养不够，凑合凑合的占绝大多数。像站长，sage，萍踪等人那种水平的属于属于绝对少数，如果不是凤毛麟角麟角的话。
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首先，我不是物理学家，我的物理很差劲，只能说是物理爱好者。

其次，多数理论物理学家的数学很好，不然没法从事物理的深层研究。反过来说，数学不行的，都无法成为理论物理学家。

我觉得这个帖子以及相关的争议只是“约定”问题，不是其他问题。

补充一下正题：弦论中的空间，通常是描述为闵氏空间与额外空间的直积，连符号都是采用乘号，那么按照所谓的约定俗成，维数应该是相乘了吗？显然国际上大部分物理学家在处理这个问题时，对于直积的理解就是按照数学定义的。

这里有一个网页说明了这个问题，当然有点小小的输入错误，我会在出错的地方注明：
http://mathworld.wolfram.com/DirectProduct.html

原文：The direct product is defined for a number of classes of algebraic objects, including sets, groups, rings, and modules. In each case, the direct product of an algebraic object is given by the Cartesian product of its elements, considered as sets, and its algebraic operations are defined componentwise. For instance, the direct product of two vector spaces of dimensions m and n is a vector space of dimension mn.
（按照上下文，这里应该是m+n，而不是mn）

Direct products satisfy the property that, given maps and , there exists a unique map given by . The notion of map is determined by the category, and this definition extends to other categories such as topological spaces. Note that no notion of commutativity is necessary, in contrast to the case for the coproduct. In fact, when and are Abelian, as in the cases of modules (e.g., vector spaces) or Abelian groups (which are modules over the integers), then the direct sum is well-defined and is the same as the direct product. Although the terminology is slightly confusing because of the distinction between the elementary operations of addition and multiplication, the term "direct sum" is used in these cases instead of "direct product" because of the implicit connotation that addition is always commutative.

Note that direct products and direct sums differ for infinite indices. An element of the direct sum is zero for all but a finite number of entries, while an element of the direct product can have all nonzero entries.
（这里以及上面的段落说明了直积与直和在特殊情况下（物理中的情况就是这个情况）的关系）

Some other unrelated objects are sometimes also called a direct product. For example, the tensor direct product is the same as the tensor product, in which case the dimensions multiply instead of add. Here, "direct" may be used to distinguish it from the external tensor product.

（记住sometimes，这里提到了张量积）

SEE ALSO: Cartesian Product, Category Product, Category Theory, Coproduct, Direct Factor, Direct Sum, Group Direct Product, Matrix Direct Product, Ring Direct Product, Tensor Direct Product, Vector Space Tensor Product.

“张量积” 还应该是一个线性空间的操作，两个线性映射的 “张量积” 只是一个副产品。

以前也说过，两个矩阵群 G, H 的直积 G x H 的不可约表示总是分别的不可约表示的 “外张量积”，
如果用标准表示，那么两个矩阵 A in G, B in H 的直积 （A，B） 在这个外张量积上的
表示矩阵就是 A 和 B 的 Kroneker 积。所以把它叫做直积也是有一定道理的。

赞同季兄的说法:
以下提到的模都是k-mod
M--->N f
M'--->N' g
则 M tensor M'---->N tensor N' f tensor g

这样解释Kronecker product 被叫成direct product很自然.其实不是相等.只是"identify"

只是(A,B) (A 直积 B)在ext tensor product下的表示矩阵(should be in bold)是Kronecker product of A and B ,或者说是一种"存在形式". 感觉这样说很自然.

感觉有点类似把module category和representation category看成一样. 实际上是范畴等价,并不是相同.
感觉有点类似把natrual isomorphism的对象看成是equal.