按星空兄的意见，把标题改了一下。

其实直积在自旋链模型中用到的最多，Hamilitonian 就是Pauli矩阵的直积。这么大的空间（约为2^N\times2^N）, 计算它的本征值和基态，是个难题。我简要说说我看到过的三种方法。
一种是Onserger， Kauffman的方法，首先把格点分解为L条平行链，两维Ising 模型的配分函数分解为矩阵形式， 即三个矩阵L次方的迹，这三个矩阵M_{i}分别对应行最邻近行之间的能量M_1，行内最相邻作用的能量M_2，行在外磁场中的能量M_3。定义2n个广义的\Gamma矩阵（三个Pauli矩阵的直积形式），满足厄米和反对易关系式。如外磁场为零，M_1M_2就能表示为类似于\exp[i\beta\sum\Gamma_i\Gamma_{i+1}]的形式。任意两个Gamma矩阵乘积与另外两个Gamma矩阵乘积是对易的，能同时对角化。而且，配分函数还能看作2n\times\2n维正交矩阵R（作用在\Gamma_i基上）在2^n\times2^n空间诱导出来的表示S（R），知道了R的本征值就知道了S（R）的本征值。实际采用的步骤是从配分函数的表达式中读出R，再求本征值。
参考文献：李政道，统计力学, P152-174。

一种是求转移矩阵的本征值，不算直乘，但方法类似于第一种。全平面空间上的正方形格点上有自旋，分别取为正负一。相邻作用只是两条斜对角线，耦合常数分别为K_1和K_2，求这个模型的配分函数。把平面分为四个区域，第一个区域边界为正x轴和正y轴，包括原点。边界上的自旋定好，分别为 s和s’, 注意它有2^n个。转移矩阵定义A{s,s’}为第一区域上的配分函数，对区域上所有格点自旋分布求和. 与第一种方法类似，配分函数也可以写成指数形式，而且指数项中的函数本征值有双周期性. 当K_2趋向无穷大，相应对角线上的自旋一样，配分函数是四个区域转移矩阵乘积的迹，可以表示为无穷乘积。

参考文献：John Cardy，Conformal Invariance and Statistical Mechanics.

写得比较数学。

以前无意中下载了几篇文献，专门论述“几何积”的理论与应用，几何积还有几种很有趣的物理解释。

第三种和第一种差不多，对于一维自旋链的Heiseinberg XY模型，形式几乎和第一种经典两维Ising模型完全一样。不过这儿物理动机是算基态下两部分（分链）之间的纠缠度（Von Neumann 熵），理论上只需要知道两个Feimi算符的真空（基态）期待值就能算出来。
把Hamilition对角化的基本思想是找到一连串的算符变换，第一串是把定域的Pauli矩阵转化为整体的Fermi算符a, 第二串是利用离散的Fourier变换，把算符a,转化为算符d, 第三串是利用Bogoliubov 变换，转化到算符b。具体计算方法可参照：
Quan-ph/0304098, Ground state entanglement in quantum spin chains