直积在物理上的定义有很多种，视具体模型而定。在CFT（共形场理论）中，如果三个场的期待值不为零，就说前面两个场的“直乘”分解为第三个场，CFT的术语称为”Fusion Rule”.
对于最小模型，Fusion系数可以通过SL(2,Z)的生成元S的表示矩阵给出，这称为Verlinde 公式。 由Ising模型自旋关联函数随距离的幂次，对比CFT中两点关联函数随距离变化的公式，可以把Ising模型看足CFT，中心荷是1/2，但满足中心荷是1/2的模型不止一个，还有一个是Feremi子模型，这就是Onsager能够严格求解的原因。具体计算细节可以参考CFT的教材。

直积空间分解和Bethe假设
自旋为1/2的空间可以看作 C^2, 一维N个格点的Hilbert空间就可以看作N个C^2空间的直积，暂时不考虑哈密顿量的具体形式，只考虑对称性（平移和周期）和守恒量（总自旋），把这个庞大的Hilbert空间分解。最简单和直观的分解是按总自旋为1，2等分解。总自旋为一有N种情况，为2 有C（N，2）种情况，以此类推。Bethe假设基本思想就是总自旋为2的自旋波函数是C（N，2）个“两体”自旋波函数的线性叠加，系数是平面（离散）波函数形式，可以看足两体粒子散射矩阵。更精彩的内容请参考《Yang-Baxter 方程》。这儿一个基本但是重要的思想就是把某个空间按另一个守恒量分解，我们将在下文中继续阐述。

基本没有看懂……我这方面的修为太差

你写的学术类文章我也多半看不懂，“学术”有专攻。

看东西不记笔记，看过就忘。如果梳理一下，不管理解多少，至少有个印象。以后需要它，马上能想到在哪儿看到，能捡起来。

椭圆亏格
假设直乘空间按某种方式分解，我们能抽取出什么东西来？ 基本思想就像中学时代解递推数列的产生函数法，只不过系数听起来吓人，结果也吓人罢了。先从数学上讲，自旋流形M上有旋量丛，结构群为Spin(n), 基本表示为T，有无限系列表示R_i, 分解为基本表示直乘（反对称积或对称积）再直和。Witten发现这样的表示有物理解释，它其实就是按激发能量分类的Feimi子态（反对称）和Bose子态（对称）的态空间，其上我们可以定义配分函数。因为动量算符和超对称荷对易，所以把这个空间分解为动量本征值\lambda子空间的直和。在每个子空间上，超对称荷有指标b_\lambda, 定义配分函数（产生函数）为某个参量q的无穷幂级数系数，系数就是超对称荷指标，Wirtten用物理的思想喝技巧具体求出了这个配分函数的表达式，后来数学家发现它是椭圆亏格的一种，并命名为 Witten Genus。
参考文献：Witten，Elliptic Genera and Quantum Field Theory.

月光猜想
我们继续延续这个思路，对于魔群的渐进表示V_i（可以分解为不可约表示的直和），每一层表示有个维数，把它看足某个参量无穷级数的系数，MacKay发现，加上一个常数744，这个产生函数其实就是数轮中的常见j函数，这就是有名的月光猜想。
补充：在数学界内，隔行也如隔山，Conway曾说过，j函数对于他们来说熟的不能再熟，对于我来说就是完全陌生的。现在趋势趋于融合了。
Thompson把它推广，对于魔群的任意元素g，在渐进表示V_i有特征，用这个特征当系数，也可以组合出一个函数来，称为MacKay-Thompson级数。g 取单位元素，这个特征就是渐进表示的维数。
广义的月光猜想，粗略的说，MacKay-Thompson级数是上半平面H模掉一个SL（2，Z）的子群G形成的Rieman面（保准亏格是零）上的模函数的基。所谓模函数，就是在群G作用下不变（或协变）的函数。
参考文献：math.QA/9906167, Monstrous Moonshine and the Classification of CFT