humphreys的LA书上8.3节讲根空间分解的性质中有一条(ta,ta)!=0
我始终觉得书上的证明有错，希望大家给我讲解一下
书上证明中有一条说：S is solvable ,ta在[SS]中，所以ad\{L}ta 也是nilpotent的，用的是第4节的

一条推论：[LL] is nilpotent=>ad\{L}L is nilpotent
但是如果直接套用这个推论，得到的应该是ad\{S}ta is nilpotent，这一步是怎么过渡到ad\{L}ta的

另外，好像实际上ad\{L}ta不是nilpotent的，因为ta属于H,对于根空间Lb的元素xb,[ta,xb]=b(ta)xb显然不幂零

此外，humphreys的书上好像没有给出根空间分解存在性的证明，能不能推荐一下有哪些和此书体系相近的书讲了分解存在性的？

见万哲先 李代数 体系基本相同 我印象中有那个证明

证明没有问题。该证明并不需要你说的“过渡到ad\{L}ta”.

该书也有存在性的证明，但需要自己整理一下。

谢了
另外
“另外，好像实际上ad\{L}ta不是nilpotent的，因为ta属于H,对于根空间Lb的元素xb,[ta,xb]=b(ta)xb显然不幂零”
我错在哪里？