sum(2^c(g),g跑遍n次对称群Sn) / n! 趋于e,(当n趋于无究时.)

其中c(g)表示置换g的不动点数,也就是1轮换的个数.
sum((c(g)^k),g跑遍n次对称群Sn) / n!=Bk, (其中，k<=n,Bk表示第k个Bell数，就是把k元集分成一些子休的并的方法数。）
另外sum((c(g)^k),g跑遍置换群G) / |G|=Bk正好是这个置换群是k重传递的充要条件。
还有一个神奇的Gauss算术几何平均数列:
令
a_n+1=(1/2)*(a_n+b_n),n=0,1,2,3,......,a_0,b_0均非负,b_n+1= 杠sqrt{a_n*b_n} ,于是有:lim a_n=lim b_n=M(a,b)=([(2/ 杠pi ] 杠int 0 杠rightarrow 杠pi /2 d 杠theta / 杠sqrt{a^2cos 杠theta ^2+b^2sin 杠theta ^2} )^(-1)

最后那个椭圆积分打不出来.真的比较奇妙.

定义x=\sqrt{a^2-b^2}/a,M(1+x,1-x)=M(a,b)/a
几何算术平均，按极限定义，有等式M(a,b)=M(a_1,b_1)
把它的倒数展开:
1/M(1+x,1-x)=\sum A_k x^2k
代入上面等式，得到A_k=((1/2)_k/k！）^2
模为x的完全椭圆积分K(x)的系数为\pi/2A_k
所以
M(1+x,1-x)=\pi/2K(x)
这个思路归功于Gauss

参考文献：Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithemetic-Geometric Mean....
Gert Almkvist, Bruce Berndt
The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608

这些算术几何平均可以推广到N阶(N>1),譬如说N=3,递推关系是
a_{n+1}=(a_n+2b_n)/3
b_{n+1}=(b_n(a_n^2+a_nb_n+b_n^2))^{1/3}
有结果
AG_3(1,s)=1/F(1/3,2/3,1;1-s^3)
其中0<s<1,F是超几何级数。

这些结果归功于Borwein兄弟，他们还发现了AG_3与推广的Jacobi theta 函数的关系。

参考文献：

A Cubic Counterpart of Jacobi's Identity and the AGM
J. M. Borwein, P. B. Borwein
Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 323, No. 2 (Feb., 1991), pp. 691-701

定义三个广义的Theta函数为：
a(q)=\sum q^{m^2+mn+n^2}
b(q)=\sum q^(m^2+mn+n^2)\omega^{m-n}
c(q)=\sum q^((m+1/3)^2+(m+1/3)(n+1/3)+(n+1/3)^2)
其中\omega是一的三次方根。它们满足
a^3=b^3+c^3
3a(q^3)=a(q)+2b(q)
3c(q^3)=a(q)-b(q)
所以
AG_3(a(q),b(q))=AG_3(a(q^3),b(q^3))=....AG_3(a(0),b(0))=1
由算术几何平均的标度性质，得到
AG_3(1,b(q)/a(q))=1/a(q)

建议可以申请一个 google page 的帐号，
可以往里面存图片

在这边发表的文章带有公式的时候，可以先用 latex 编译成图片，然后传到 google page，就可以 链接到这里了。

如果令q=exp(-2t\pi)，那么theta函数有对偶式
a(t)=3^{-1/2}t^{-1}a(1/3t)
b(t)=3^{-1/2}t^{-1}c(1/3t)
c(t)=3^{-1/2}t^{-1}b(1/3t)

而且我们发现，m^2+mn+n^2和(m+1/3)^2+(m+1/3)(n+1/3)+(n+1/3)^2正好是正三角形上满足Dirichlet边界条件Laplace算子的本征值，取适当的边长，theta函数a(t)就是正三角形上的热核，当时间参数t趋向于无穷小时，热核按t的Laurent展开系数有明显的几何意义，第一项正比于面积，第二项正比于周长，第三项正比于三个内角函数f(\theta)=\pi/\theta-\theta/\pi. 这也可以看足最简单的整体与局域的联系，所有的本征值按某种方式加起来，就揭示出边长和角度的信息。

参考文献是用正三角形对称群的投影算符来求解的。

Solution of the Schrödinger equation for a particle in an equilateral triangle
Journal of Mathematical Physics -- November 1985 -- Volume 26, Issue 11, pp. 2784-2786

以正三角形三条边为反射线的反射为生成元，生成了正三角形对称群和平移的“半”群。

这个可以推广到球面和伪球面上的测地三角形，直线相应于测地线，也有反射，它们构成了Coxeter群的生成元。

Coxeter群上可以定义一个函数，也有楼顶帖子上所提到的有趣性质。我们将开新帖子讨论。

这样，从楼顶到楼底，一层层转换，居然能联系起来了

也见过最后那个。算术级数，几何级数，调和级数之间有些很有趣的事情。

算术级数是1，几何级数是0，调和级数是-1。

组合数学中有许多奇怪的公式。深的数论东西在后面。