直积与张量积的数学定义与物理定义异同

作者：萍踪浪迹（shanqin）

前言：此文修正了过去主帖的武断观点，并且将若干回帖合并，然后扩充成文。说数学定义与物理定义的异同，不是指数学上和物理上的定义之间有区别，而是数学家内部都有争议，物理学家内部也有类似争议。

直积的思想背景来自Descartes，因此被称为Descartes积（Cartesian product）。直积有时候称为“完全直积”，以区别于“离散直积”（就是直和）。因此有限个因子的直积就是离散积，因此也就是直和。直和只有在非Abel范畴情形下才被称为“离散直积”。每个向量空间可以分解为一维子空间的直和。

张量积的定义有很多。
1）含单位元的结合交换环A上的两个幺模的张量积。
若V_i，V_j是自由A模，e_i，e_j分别是V_i，V_j的基，那么（e_iⅹe_j）就是V_1与V_2的直积的基。如果V_i，V_j都是有限生成自由模，那么dim（V_iⅹV_j）= dimV_iXdimV_j。数域K上有限维向量空间就是有限生成模，所以就适用于这种情形。物理中经常用到的张量积也是这样定义的。我们可以把两个张量积的概念推广到多个甚至无限个的情形。

2）与上面定义相关的还有两个矩阵A与B的张量积，也称为Kronecker积。
如果A的矩阵元为a_ij，B的矩阵元为b_mn，那么A与B的张量积的元素就是a_ij与b_mn分别相乘，形成的矩阵的行数就是im，列数就是jn。如果我们把矩阵A看为ij维空间，把矩阵B看成mn维空间，那么矩阵A与B的张量积就是ijmn维空间，与第一种定义是对应的。

3）（拓扑空间上）向量丛的张量积。各个向量丛的转移函数的矩阵张量积（Kronecker积）就是向量丛张量积的转移函数。

4）含幺结合单位环上的代数的张量积，这个与物理学的关系不算很大，因此不是我们关心的，暂时不谈论。

5）群表示的张量积。与拓扑群表示论密切相关，虽然拓扑群表示论与量子场论的关系很密切，但是这个不是这篇文章的主题，所以也不是我们现在要讨论的。

我们从上面的定义中可以看出，虽然张量积种类多种，但是前三种张量积基本上可以视为同一本质，都与直积严格区分。张量积与直积的区别是明显的。至少数学中的张量积与直积基本上（不完全）是泾渭分明的。

数学上基本上按照这些定义来区分张量积和直积。但是一些物理教科书和一些物理文献将直和与直积这两个“基本”上相同的概念作为两个完全不同的概念，前者对应了数学上的直和即离散直积，后者对应了数学上的张量积。马中骐教授的《物理学中的群论》的第一章的最后一节和喀兴林教授的《高等量子力学》的第一章最后一节，在讨论了矢量空间的直和与直积就是用了这种“约定”，将直和与直积区分，前者是数学上的直和(离散直积)，后者是数学上的张量积。与此相类似的一些物理教科书上的这种约定使很多人尤其使学习物理的人产生了种种疑惑，例如看到两个空间的直积，就想到维数一定是这两个空间的乘积，而实际上维数应该使相加。

直积和直和在特定情况下的等价性，很多物理书没有提及，但是不妨碍这个事实成立。或许物理学家认为直接把矩阵元或者线性空间基底逐个相乘得出新空间,就是“直积”，直接把各个空间的基底个数相加后形成新空间坐标基，就是“直和”，这样理解是有道理的，但是不够规范。

虽然对于一部分物理学家，直积的概念不对应Descartes积，从而直接以直积作为张量积的代名词。但是并非所有物理学家都这样，甚至可以说只有少数物理学家遵循这样的约定俗成。

例如，我们可以在理论物理文献中发现大量诸如AdS_5ⅹS^5的写法，就是表示5维反de Sitter空间与5维球面的“直积”，维数却是10维，而不是25维。这里用乘号表示就已经足以说明大量物理学家认为这是直积，我尚未看见有人把这里的乘号换成直和符号，虽然二者的定义在这种情况下是完全一样的（都是有限维）。导致这个符号偏好的原因很大一部分在于物理学家也非常明了此时这个情况是将空间作为集合来定义Descartes积，于是自然采用了乘号，也就强调了这个操作的“积性”而非“加性”，至于加性，体现在所谓的直和分解中，维数可以用子空间维数逐个相加。另外在弦论中，我们也经常看到Minkowski空间与额外维空间（如Calabi-Yau空间）的类似的乘积符号，来定义它们的直积。

上面的例子直接说明大部分物理学家与绝大部分数学家一样，认定直和与直积在离散意义下的等价性，大部分物理学家定义的直积不是数学上的张量积或Kronecker积。

虽然很多学物理的人对张量积感到陌生，但是张量积的源头就在于张量这个概念，物理味道很浓，因为这个可以从张量分析甚至最初等的曲面微分几何中的最简单张量——度量（度规）张量中得到来源，因此对于物理学家其实不算陌生概念。在我们非常熟悉的度规张量的构造中，就是直接将切矢量的基底逐个相乘后作为基底。

例如曲面情形，切空间就是切平面，两个线性无关的切矢量张成切平面，基底分别相乘，就形成2X2=4个新基底，在四维（3，1）伪Riemann空间，即Lorentz流形的情形，就是四个线性无关的切矢量基张成四维切空间，基底分别相乘，即称为广义相对论中的4X4度规张量的基。这个构造方式的张量含义实在太明显了，因此称为“张量积”是顺理成章的。或者可以说，我们对切空间坐标基逐个取“并矢”，就构成新空间的坐标基，因此张量积的物理意义非常明显，至少对于学过相对论的人而言是这样。

在更抽象的整体微分几何中，必然讨论微分流形代数结构，也就必然要讨论张量积，就是多重线性代数而已，粗略说，定义方式类似于局部微分几何时度规张量的基底构造，以映射的观点定义Riemann曲率张量以及Ricci曲率张量。

综合上面所说，直和直积与张量积在数学与物理不同文献上的异同只是名称约定问题，不存在定义方式的问题。只要是维数直接相乘的，就是数学上的张量积，也是一些物理文献和著作上的“直积”；维数直接相加的，就是一些物理书上的“直和”，也就是数学上的直和即离散直积。大家注意各自的定义方式，各取约定就可以轻松避免不必要的混淆了。至于它们的严格定义，教科书上或者百科全书上已经说得很清楚，不用我们在劳作了。