给定一个离散的对象，常见的思路是定义一个函数，由这个函数的解析性质，如函数方程，极点，留数，展开系数等，来揭示这个对象的代数性质。最典型的例子是自然数上的Rieman Zeta 函数。我们将简要介绍两个例子，一个是Coxeter群，一个是图上的Zeta函数。
Coxeter群由（伪）球面上测地线反射生成，代数上讲，就是生成元满足g_i^2=1,(g_ig_j)^{m_{ij}}=1. 如果Coxeter群中的任意一个元素能表示为最少n个生成元的“词”，而且这样的元素有N（n）个，那么生长级数定义为f(x)=\sum N(n)x^n. Steinberg 发现，这个生长级数是x的有理函数（整数多项式之比），而且分母函数\Delta(x)是对称多项式。Hironaka发现Salem数就是分母函数的根。这些函数会和哪个神秘的数学对象联系起来呢？我们将在下节内容再讲。

北落师门兄，看你的文章我就像在看蒙太奇一样，全是片段和飞跃。你能不能用较详细地讨论一下某个课题？我想泛泛而谈也许不太能学到东西或者引起兴趣，更不用说讨论了。

北落师门兄，看你的文章我就像在看蒙太奇一样，全是片段和飞跃。
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你的评价一针见血


你能不能用较详细地讨论一下某个课题？
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我是以外行的角度介绍内行的东西，详细讨论在我的能力之外

北同学

你写的东西确实太深奥了 但是我很有兴趣

这个看上去和selberg trace很像。

离散与连续通过对偶联系。

1， 伪球面上三角形的三个内角为（\pi/2,\pi/3,\pi/7）,三条边反射生成的Coxeter群是G（2，3，7），这个群的生长级数的分母是F（2，3，7；x）
2， 取三个绳子，相互绕（-2，3，7）圈（次），再头尾相接，形成一个扭结。这个扭结的Alexander多项式是G（2，3，7；x）
3， Hironaka证明了F（2，3，7；-x）=G（2，3，7；x）