基本群与可缩空间

前言：我纠正了一个非常低级的拓扑学错误。感谢道法自然兄指出错误，也感谢季候风兄的提醒。如果这篇文章还有更大的错误或者更小的错误，欢迎大家指出。

一条曲线固定端点后形变为另外的线段，我们称这两条曲线同伦。数学上用映射的方式定义同伦，此时的映射称为同伦或者伦移，同伦对应了一个单参数连续映射族。我们先从直观上绕过这个映射，因为对于基本群（一阶同伦群）的讨论，并不是一定要用映射，如果不考虑绝对严格性的话。
一个空间如果与独点空间同伦，即说其是可压缩的，显然，R^n中任意凸子集都是可压缩的，直观上说，可以收缩为一点的空间，就是可压缩的。圆周乃至n维球面S^n都是不可压缩的。

我们进一步考虑同伦，如果曲线两端是同一点，即曲线为闭曲线，此时闭曲线的连续变化，所有可以建立同伦等价的闭曲线形成一个同伦等价类，这个点我们称为“基点”。一个单连通空间中，任意点为基点，形成的简单闭曲线总是同伦的，于是同伦等价类中只有一个元素。绕这个基点转一圈（所有可以建立同伦的圈都视为一个等价类，“等同”一个圈）作为一个群元，逆着转一圈作为这个群元的逆元，不动，就是单位元，于是就形成一个群，这个群被称为基本群，也被称为“Poincare群”，但是现在大多数文献用前一个名称，而“Poincare群”被用来命名量子场论和相对论中的非其次Lorentz群。

基本群在拓扑学中有基础重要性。基本群不以来与基点的选取。单连通空间的基本群为平凡群（零元群），事实上拓扑学上用基本群平凡来定义单连通：基本群平凡的道路连通空间为单连通空间。由于可压缩空间的基本群与独点空间一样为平凡群，于是可压缩空间为单连通空间。

利用覆盖映射的相关技巧，可以证明圆周的基本群是无限循环群Z，射影平面基本群为二阶群Z_2。

n维球面S^n的基本群是平凡群，最简单的例子是S^2上任意点为基点的任意闭曲线都是同伦（闭路同伦）的。但是S^2本身非零伦，因为S^2无法压缩到一点。

我以前之考虑了R^n中的局部曲面，于是在这方面出现了失误。的确，局部曲面只要单连通就自然可以收缩到一点，也就使零伦的。这一点感谢道法自然兄指出，只是开始时我还以为他说的是基本群与单连通的关系出现问题，所以我驴唇不对马嘴地解释了半天才发现自己的疏漏。实际上，很多书上对单连通空间的基本群的描述是不严谨的。例如，说球面上的闭曲线可以收缩为一个点。我们知道，闭曲线无法收缩为点，而我当时最要命的是把这种直观上的收缩为一点和零伦混淆了，于是就以为球面上的闭曲线零伦，直接导致了我在解释问题时的不断失误。所以道法自然兄说“球面虽然单连通但是非零伦”，我却把他的话理解成“球面上闭曲线非零伦”（当然这是事实），于是就要说明球面上曲线零伦即可收缩为点（实际上是错误的）。这反映出我过去学习的一个致命伤：不求甚解。很多东西，我都是学到大概了解后，就直接往前，这样常常埋下重大隐患。非常感谢道法自然兄给我上了一课。

现在回到基本群的讨论，由于拓扑空间与其形变收缩核有相同伦型，穿孔平面（平面挖去一个点，不失一般性，挖去原点）以圆周为形变收缩核，因此基本群与圆周一样为无限循环群Z，穿孔R^n（n大于等于3）为道路连通空间，且以S^（n-1）为形变收缩核（因此基本群平凡），因此为单连通空间。

两个拓扑空间的积的基本群等于原来个空间的基本群之积。例如，圆柱面的基本群就是圆周的基本群Z与线段的基本群{0}的直积。二维环面为圆周与圆周的直积，因此基本群为Z*Z。

一个空间如果挖掉两个点，那么绕这两个点的先后不同，就导致不同结果，于是这个空间的基本群就不是Abel群，这样的空间以“8”字空间为形变收缩核，所以也可以得出“8”字空间基本群为非Abel群。双环面就是以“8”字空间为形变收缩核，因此其基本群为非Abel群。

于是，射影平面，二维球面，环面与双环面不同胚。

由于重复发帖，请站长扣除我额外获得的98分贡献值。

这不是重复发贴，这叫做螺旋式上升，理应得98分。

“感谢道法自然兄指出错误” 学术上犯错是再常见不过的事了，知错就改，勇气可嘉，您费心发大量帖子介绍各种知识，令人敬佩，希望再接再厉，本人专业辛几何，不过对数学物理与理论物理均有兴趣，以后还要向您多多请教！

"于是就以为球面上的闭曲线零伦"
好像讲曲线和一个点看成是区间到球面的映射的话，
这句话也说得过去。呵呵。

不过，“零伦”这个词实在是显示出汉语模棱两可
的一面，不好不好。

昌海兄：我说的重复发帖是指我把这个帖子内容误回到季候风兄的《Thurston 与低维拓扑》里了，所以才要委托你去删除那里我发的最后两个回帖，扣除因为那两个回帖导致的贡献值98。

道法自然兄：知错不改，只会更无法下台：）我以前对数学的学习都有意识与物理相联系，所以一些细节都没有去仔细探究，我对辛几何也很感兴趣，可惜没有时间看这方面文献。我对理论物理的理解也很粗浅，在物理方面，sage兄和昌海兄是最佳导师。

leo兄：有很多东西都翻译得不尽如人意，只好忍着吧

最近正好在读Massey的代数拓扑 整本书详细讨论了基本群 ZP兄还可继续写写Van-Kampen定理啥的以及覆盖空间