陈维桓整理的陈省身先生的讲课笔记《微分几何讲义》，不是一本优秀的微分几何书籍。我们将从各个不同的角度来作出评价。
其一，人们的评价。
其二，以此为教材的实际效果。
其三，该书的内容。

据我所知，从来没有什么懂几何的人对于该书给出过一个正面的评价。大家不约而同的给出的理由是：讲得很精彩，但是整理得很差劲。其实这是为圣人讳，从实际的情况来看，这本书的选材并不好。陈是几何的圣人，没有人愿意说哪怕半点不好的话。

本书的内容分作几个部分，微分流形的定义，微分形式，仿射联络，Riemann流形，活动标架法，复流形。覆盖了微分几何的基本内容。但是这本书没有对其中的任何一部分作出深入的探讨。比如对于Stokes公式，本书未进一步讲解deRham上同调。既然没有引入上同调，也就没有办法深入讲解陈先生最卓越的贡献：示性类。本来这是可以在仿射联络一章展开的，结果只能提及示性类。当然不排除偶尔有那么一两个所谓的高手可以由本书的讲解出发把deRham理论和示性类搞清楚。总体上来说，本书的内容实际上是相当基本的，也就是说是微分几何的一个入门书籍而已。BTW,有人建议高手钻研此书，不知道这是什么样的“高手”，需要钻研一本入门书籍。


本书也没有什么有趣、精彩的定理，这使得本书对于阅读者没有多少吸引力。这与本书的风格有关，覆盖面广而且内容都停留在基本知识的层面上。本书基于陈先生的讲座，当年的听众不大懂得代数拓扑，陈先生的目的是向大家介绍微分几何的基本内容，从当年的角度看，这无可厚非。但是如今早已跨过这一初级阶段，本书早就不适合作为中国几何方向研究生的教材了。如果夸张一点，我们甚至可以说本书阻碍了中国学生掌握微分几何也不为过。据我观察，以此书来学习微分几何的人，至少有80%的人都没有学懂微分几何。这说明此书不利于学习，后面我们会简单的分析一下为什么此书并不适合于学习。微分几何本来是有趣、直观的，然而本书没有做到这一点。

第一章，微分流形。在我看来，对于微分流形、切向量的介绍应该使得不懂点集拓扑的人也可以很快搞懂。然而本书没有做到这一点。

对于微分流形的定义，本书没有解释，微分流形是一些局部欧氏空间粘起来的，而定义中的坐标变换就表示如何粘贴这些局部的小块。我相信这是记录者的问题。

本书对于切向量、切空间的定义过于繁琐，使得很多人都不能顺利掌握这一概念，或者要花很多时间。然而如果不这样处理，而是像一般的微分几何书上的处理方式，读者可以很快地理解切向量。本书以函数芽的形式来介绍切向量，是所有处理此问题的方式中最复杂的一种。当然这种处理有利于推广到代数几何，但是对于微分几何来说，这是永远都不需要的。我知道有几个学几何的研究生，学完了这本书还没搞清楚到底什么是切向量。不知道是不是某些人认为的：高手钻研此书。

无论人们要掌握的概念多么复杂难解，最终的理解都是通过直观的自然语言来完成的。一本好的书就需要这样一些经过作者提炼过的自然语言。如果你永远都停留在严格的数学语言中，恐怕只能被称为：还没有搞懂。国内的数学教材，相当大一部分，或者说几乎所有的书都是这样，由定义到定理，作者舍不得说任何一点口水话。其实，这些口水话恰恰是精华。本质上的情形是，不是他们吝惜笔墨，而是讲不出来，没那个能力。他们永远都做不到深入浅出，他们掉入数学的深坑却永远都没有爬上来俯视一番。这些口水话告诉你作者的观点、动机。

第二章的目的是外积，本书从多重线性代数的角度来处理。这也是普通的。陈维桓写了不下五本微分几何的书，都是这种初级程度的。可笑的是，在讲述外积时，其中一本居然以另一本为参考资料，于是该书没有对外积作详细的讲述。对于一个基本概念，不在书中将起描述清楚，而是参考另一本类似的书，不知道陈维桓怎么想的，难道是为了使得这几本书看起来多少有点不一样？

第三章，微分形式。我们已经说过，本书停留在基本知识的程度上，所以对于deRham定理也只能提及，而不能深入。

第四章，仿射联络。一个不足之处是没有讲解联络与平行移动之间的关系，结果读者看不到几何，只看到代数运算。

第五章，黎曼几何。这一章极为初等。你绝不可能通过这一章学会黎曼几何。

第六章，李群与活动标架。活动标架是几何计算的一个基本工具。然而还有两种方式，其一是局部坐标，物理学家、广义相对论都是用局部坐标来做计算。另一种是整体方式。这几种方式本质上等价。我知道有些人非要认为只有活动标架法可以算出来某些结果。请问，Yau或者Tian是不是只用活动标架法？共形几何中的调和坐标系如何用活动标架法来表示？

第七章，复流形。内容同样很少。

上面只是简单的提出了此书框架上的不足，我们还可以分析得更细致一些，指出哪些地方的细节处理不好之内，不过本人没有兴趣了。

实际上，作为微分几何入门内容的几个主要组成部分，每一个都必须要专门的一本书才能讲的比较清楚。比如，微分拓扑，示性类，黎曼几何，子流形等等。远非这样一本书可以完成。所以，这本书写成这个样子也没有什么奇怪的。不论如何，这本书充其量也就是微分几何的一个皮毛而已。你也不可能由此管窥全豹。既然每一部分都只是一个基础，那么为什么不找一本相应的书来学习？相比较而言，苏竞存的《流形上的拓扑》就要好得多。虽然这本书也不是非常好，但你总可以学到一点有趣的几何。实际上，大家认为苏竞存而不是陈维桓的书是一本不错的微分几何中文教材。

一本入门的书，结果大部分的人都不能较快的掌握其内容，虽然微分几何本身有一定的难度是一个因素，但为什么还有很多学习上比较容易的书籍呢？这说明本书无疑是失败的。有人宁愿去啃Hartshone的代数几何也不愿意读陈维桓的微分几何。看来，这本书只适合某些特定的“高手”。

请“高手”注意了，陈先生在教材方面的名著是Complex manifolds without potential theory，而不是陈维桓的笔记。

当然这本书也不是一无是处。至少，如果你通过此书学懂了微分几何的话，或者说你仅仅依靠此书就真的学懂了的话，就可以认为自己比大多数人有耐力或者要聪明一点。

太精彩了！

我这才想起来，老陈的书确实对de Rham定理挥墨极少。以前打算看这本书，不过后来忘了看。

我把“complex manifolds without potential theory”发到邮箱去。

谢谢了，正准备学微分几何

这个篇幅的确只能是走马观花。不过对于切空间的处理应该说是不错的，因为微分的关键在于线性结构，而函数芽空间上的线性结构是自然的，所以先定义了余切空间；毕竟用导子的观点也需要先定义函数芽。当然，在后来的学习研究中，我发现还是用曲线的等价类来定义切向量是最完美的。

"有人宁愿去啃陈维桓的微分几何也不愿意去啃Hartshone的代数几何。"------竟然还有这样的人?不知道是不是楼主自己.陈维桓写的微分几何书,确实不清楚,当年看的时候,dx,dy,dz等东西硬是没有看懂,说得不知所云.不过,再怎么样,不管写的多晦涩,至少讲的都是一些微分几何的基本知识,比起Hartshone的代数几何,还是要好读一些.陈维桓整理的chern的讲义,可能稍微偏代数一点,喜欢代数的人,可能是比较喜欢这中讲法的,比如我.学微分几何,不可能只学一本书.在一本书中能够学到一两个绝招,或者领悟一两个概念的精髓,就很不错了.
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这个篇幅的确只能是走马观花。不过对于切空间的处理应该说是不错的，因为微分的关键在于线性结构，而函数芽空间上的线性结构是自然的，所以先定义了余切空间；毕竟用导子的观点也需要先定义函数芽。当然，在后来的学习研究中，我发现还是用曲线的等价类来定义切向量是最完美的。
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我很喜欢函数芽这种讲法.季候风兄能否解释一下这句话"我发现还是用曲线的等价类来定义切向量是最完美的。"

流形上一点的一个切向量可以看成经过那一点的具有共同切向量的所有参数曲线，呵呵，明显这是一个循环定义。“具有共同切向量” 是可以用更底层的概念表述的条件。在数学物理中，特别是在无穷维的类比，一个切向量一般就用一条曲线来代表。

无论人们要掌握的概念多么复杂难解，最终的理解都是通过直观的自然语言来完成的。一本好的书就需要这样一些经过作者提炼过的自然语言。如果你永远都停留在严格的数学语言中，恐怕只能被称为：还没有搞懂。国内的数学教材，相当大一部分，或者说几乎所有的书都是这样，由定义到定理，作者舍不得说任何一点口水话。其实，这些口水话恰恰是精华。本质上的情形是，不是他们吝惜笔墨，而是讲不出来，没那个能力。他们永远都做不到深入浅出，他们掉入数学的深坑却永远都没有爬上来俯视一番。这些口水话告诉你作者的观点、动机。
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说的太好了，道破编写教材的精髓

另外，说到苏竞存的《流行上的拓扑学》，是一本很几何的书，不过感觉在很多概念建立起来之后在去读那本书会更好。

陈的书中很多东西点到为止的现象，其实本书就是在微积分基础下谈论微分几何的大概。

基本同意楼主的看法

权威湮没批判
流言代替思考


写的好啊，顶

这是我读研时的教材，当时就觉得非常吃力，总以为是自己功力不够，原来如此。