哥德爾不完全性定理無疑是20世紀初數學基礎中的重要成果。但是，很多人對於該定理幾乎一無所知，遂以訛傳訛，認為哥德爾不完全性定理說的是「任何一套公理體系中，總有一些無法判定的命題」云云，並以此為借口而濫用哥德爾不完全性定理，本人自己也一度深受其害，直到研究過哥德爾不完全性定理的具體證明過程後才知其非。本帖試以較為通俗的語言來談談這個問題。

哥德爾不完全性定理發表於1931年，其實，該定理說的是：一個包含算術的自洽的形式系統中，其中必存在不可判定的命題。定理中的不可判定的命題是指命題A本身及其否命題┐A在該形式系統中不可證，就是說，該形式系統是不完備的。自洽，就是無矛盾性，即任何命題不能既真又假。算術，就是關於自然數的四則運算的公理化形式系統，一般來說就是指皮亞諾算術公理系統。包含，可以是真包含，也可以是等同。
要進一步理解哥德爾不完全性定理，至少需要瞭解其證明步驟。哥德爾不完全性定理的證明步驟如下：
1、建立一階算術公理系統N；
2、構造自指命題U；
3、證明自指命題U在N中不可判定。
自指命題，或自指句，就是一個對其自身的斷定。比方說，「本命題是假的」，「我在說謊」，就是自指句。而哥德爾本人構造的自指命題是：本命題在N中不可證。
哥德爾本人是在比「自洽」更強的「ω-自洽」的條件下證明之的。ω-自洽的形式系統必自洽，反之則不然。後來，J.B. Rosser證明，該定理在自洽的條件下也成立。

那麼，下面就是對哥德爾不完全性定理的進一步解讀：
1、不自洽的形式系統中不存在不可判定的命題。也就是說，只要容忍自相矛盾，就可以證明一切。邏輯中有一個爆炸原理，說的就是這個。比方說，任何一神教神學都是如此。
2、一個不包含算術的自洽的形式系統，是有可能不存在不可判定的命題的。也就是說，一個公理化形式系統，是可以兼具自洽性與完備性的，只要它不包含算術。比方說，一階謂詞公理系統、歐氏幾何公理系統，都不包含算術，都是既自洽又完備的。一階謂詞公理系統的完備性恰恰是哥德爾本人於1929年證明的。
3、這一點，才是重點。哥德爾究竟證明了什麼？其實，哥德爾證明的是，在1931年那個年代的形式系統中容忍了對自指句的濫用，而對自指句的濫用必然導致不可判定命題的存在。也就是說，如果限制或禁止自指句的使用，就無法從哥德爾不完全性定理得知，這樣一個包含算術的自洽的形式系統是否肯定不完備。事實上，邏輯學家的反應是很快的，維特根斯坦在他的《邏輯哲學論》中就明確的禁止使用自指句。一旦禁止了對自指句的濫用，任何一個包含算術的自洽的形式系統是否完備，就只能具體問題具體分析了。
比方說，目前通行的數學基礎公理系統是ZFC公理系統，康托的連續統假設在其中不可證。然而，如果將連續統假設或其否命題作為公理加入ZFC，並禁用自指句，就無法簡單的斷言數學基礎公理系統仍是不完備的。當然，除了連續統假設，確實仍然存在一些ZFC中不可證的命題，但是，將所有這些命題列為公理，誰又能肯定的說這樣的數學基礎公理系統仍然是不完備的呢？

以上，就是對「任何一套公理體系中，總有一些無法判定的命題」這樣的以訛傳訛的回答。「任何一套公理體系中，總有一些無法判定的命題」，無論是前面半句，還是後面半句，都顯然錯的離譜。

（這是本人的1個多月前的一篇老文，敬請方家賜教。）

::哥德爾不完全性定理發表於1931年，其實，該定理說的是：一個包含算術的自洽的形式系統中，其中必存在不可判定的命題。

哥德尔不完全定理还有一个重要的条件，该形式系统中的公理集必须是递归集合。对于公理集为非递归集的形式系统，哥德尔定理不成立

我原先的文中也談及了遞歸集的問題。但是，此次發帖時又思考了一下。當一個形式系統的哥德爾數集是非遞歸集時，這個事實本身就已經證明了該形式系統的不完備。所以，發帖時就刪去了關於遞歸集的那一段。

楼主对哥德尔的证明过程分析得很准确，但你所说的看法，只能代表一家之言。相对而言，「任何一套公理體系中，總有一些無法判定的命題」是一个比较权威、比较广为接受的说法。你的“禁用自指句”的做法，是没有根据的，最多是一种个人建议。而事实上，禁用自指句，是没有道理的。自然界中存在自相互作用，存在自我相关的现象，逻辑中没有道理禁用自我相关的句子。在试图把物理化归为数学、数学化归为逻辑的努力中，采用的是同构翻译。数学上的自乘运算，或者算符的自作用，就可以翻译成自我相关的抽象逻辑实体。

另外，构造哥德尔的证明（即构造一个逻辑悖论），光靠“自指”（“自我相关”）是不够的，还必须包含奇数个否定。例如：“我这句话是对的”，虽然自指，却不构成逻辑悖论；而“我这句话是错的”，才是一个逻辑悖论。总之有（根据否定之否定规律，奇数个否定＝（一个）否定）：
逻辑悖论＝自我相关＋否定

再如：
A:B是对的
B:C是错的
C：A是对的
就通过（自我相关＋否定）构成逻辑悖论，而
A: B是对的
B: C是错的
C: A是错的
由于包含两个否定，不构成逻辑悖论。

搂主能不能写简体字啊？看得人吃力。

「任何一套公理體系中，總有一些無法判定的命題」確實是一種很流行的說法，但是否權威，只需要找相關的數學家問一下就可以了。民眾中的流行觀念，恐怕還擔不起「權威」之名。
是否要限制或禁用自指句，在邏輯學家中可能還存在爭議，但是，在具體的形式系統中，往往可以自然而然的避免這個問題。比方說，群論的研究對象是代數結構，不是命題，因此根本就不涉及自指句的問題。

PS：
我這機器目前只能輸入繁體，敬請見諒。

::當一個形式系統的哥德爾數集是非遞歸集時，這個事實本身就已經證明了該形式系統的不完備

如果允许公理的哥德尔数集为非递归集，则这个系统有可能是完备的。
不过这时不存在一个算法判断任一公式是否为公理，也不存在算法判断一个公式序列是否为形式证明

比方說，群論的研究對象是代數結構，不是命題。
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原则上是可以把任何一个判断，一个陈述变成命题。任何一个理论系统，只要可以公理化变成一个公理系统，就可以变成一个形式数论系统，而形式数论系统可以变成一个逻辑系统。

::假設該形式系統是完備的，那麼該形式系統中就不存在不可證命題

我说的完备性和完全性是同一回事，即真命题皆可证，而不是说所有的命题都是可证的。

形式算术系统既一致又完全的一个例子：把所有真命题全部都取为公理。不过这个时候，公理集不是递归集

我對咬文嚼字興趣不大。
最近發現我樓頂文中有一些錯誤，過幾天整理好了一起發上來。

我對咬文嚼字興趣不大。
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逻辑学讲究的就是咬文嚼字，呵呵！许多逻辑难题，在外人看来似乎是无聊的咬文嚼字、钻牛角尖的游戏，但这就是逻辑。

quote : "一旦禁止了對自指句的濫用，任何一個包含算術的自洽的形式系統是否完備，就只能具體問題具體分析了"

事实上 存在一个（ 无穷多的中间一个）包含peano算术公理集的递归公理系统 ，把为真的自指句子（例如哥德尔曾构造过的三个自指句子）除外 依然存在一个非递归集 甚至也非递归枚举集的基数为可数无穷的真命题集 。

quote "一旦禁止了對自指句的濫用，任何一個包含算術的自洽的形式系統是否完備，就只能具體問題具體分析 但是，將所有這些命題列為公理，誰又能肯定的說這樣的數學基礎公理系統仍然是不完備的呢？"

把所有为真的命题加到公理集里面 就完备了 ..
严格的判断一个命题为真 想想一些可能
a 它本身或者它的否定是这个系统的形式推论 --绝大多数的未解数学难题是属于这个范围的
b 它的成立依赖于具体模型 比如非欧几何 . 这是观念上的突破 某种程度上来说难于a
c 我们的公理系统还需要增加一些基本的公理 在我们的直观里抽象出一条公理（这些集论公理是先验的？） 然后再论证它与已有公理集的独立性 -- 证明它与它的否都是与原有公理集是相容的
d 事实上存在这这样一些命题 它属于一个系统的Tarski集 但是它们为真是原则上不能被证明的，这严格的区别于同样属于tarski集的可判为真的哥德尔自指句子 。