客栈这段确实冷清. 我自己最近也很懒散. 在这里列出一些有趣的书籍, 为客栈添砖加瓦. 这些书籍都是我认为比较适合本科高年级和研究生低年级的, 或者说现代数学入门书籍.

拓扑方向, 我最欣赏的教材是 Bott & Tu 的 GTM 82: Differential forms in algebraic topology. 此书几乎只要求零基础, 用微分形式把流形的拓扑学非常直观地展示出来. 分别用 de Rham 方法, Cech 方法 和 谱序列方法 重复得到关于流形同调群的基本定理. 最后一章对示性类的处理也非常精彩. 当然, 这本书最大的优点就是精简.

数学物理方面, Reed & Simon 的 Methods of Modern Mathematical Physics. 第一卷 Functional Analysis 和第二卷 Fourier analysis, self-adjointness 写得也是简明易懂. 其中第一卷中对于谱分解的来龙去脉讲的颇为详细, 对于海森堡对易关系的细致讨论也是此书独有的. 第二卷在介绍傅立叶分析之后对所谓 "一般量子场论" 做了一个初步介绍, 个人认为很具可读性.

表示论方面, Michael E. Taylor 的 Noncommutative Harmonic Analysis (Mathematical Surveys and Monographs) 是一本难得的适合初学者的书. 表示论的代表人物们大都喜欢长篇大论, 据说是要继承祖师爷 Harish-Chandra 事无巨细的风格. 关于李群酉表示的大砖头著作往往让动机不够强烈的人望而却步, 然而表示论可以说是最优美的数学物理分支之一, 这个学科在中国的知名度还很低. Taylor 这本书最大的特点也是一个 "薄" 字 --- 328 页. 很多章节只是寥寥数语, 就给出了主要概念和结果.

微分几何方面, Nakahara 的 Geometry, topology and physics 能配得上 "酷" 这个字. 此书以第一章 "量子物理" 开头, 在这一章中就从分析力学讨论到了单极子和瞬子. 接着用了 11 章, 几乎涉及到了几何和拓扑的每个方面, 以指标定理结束关于数学的讨论, 最后两章解释了反常, 还涉及了弦论. 对数学物理有兴趣的初学者, 几乎可以把这本书作为一个总纲.



以上这几本书也许是大家平时不容易注意到的, 或者不是主流的教材和参考书. 它们共同的特点是言简意赅, 比较适合引起本科生的兴趣, 以及很快地给出一个现代数学物理的大致图像.

谢谢季兄推荐，不知季兄觉得季兄觉得E. Bick and F. D. Steffen的Topology and Geometry in physics如何？此书目前国内正在销售