关于拓扑的一个问题：
这个问题是在一个大问题背景下提出来的，“什么条件下的拓扑空间是可度量的？”
当然这要在我读完“熊金城”之后才能知道。到时我将写一篇文章表明自己的观点。
1，这个问题我已解决，“有限补空间和可数补空间何时是可度量的？”
解：X是有限点集时，有限补空间变成离散空间，而离散空间可度量。同理当X是可数点集时，可数补空间可以度量。
2， 证明：每一个离散空间都是可度量的
3， 设（X，ρ）是一个度量空间，证明：作为拓扑空间X是一个离散空间当且仅当ρ是一个离散度量。
这里我出现了理解上的障碍 ρ（x,y）=1 （当x不等于y）,0 （当x等于y）（X*X到R）是离散度量
他是如何去度量X={a,b,c}; J={φ，{a},{b},{c},{a,b},{a,c },{b,c},{a,b,c}}这个离散空间（X，J）的
x={a,b,c}; J={φ,{a},{a,b},{a,b,c}}   (X,J)为何不能度量
而后者正说明了拓扑空间比度量空间更广泛。

这里的 "可度量" 应该改为 "可度量化"

可度量化的意思是存在一个度量使得这个度量诱导的拓扑跟原有的拓扑一致. 在离散度量下每个点都是开集 (度量空间的开集是 epsilon 邻域的并) 从而每个子集都是开集.

有限集合上的所有度量都诱导离散拓扑, 所以如果有限集合上的拓扑不是幂集, 就不能被度量化.

谢谢 季候风兄 你的回复使我对 可度量化 有了更深的理解

一个拓扑空间中的两个点并不是能用尺子量就叫可度量化，一个拓扑空间可度量化是说一个拓扑空间与由这个度量所诱导的空间同胚，也就是等价的意思。
因为在离散度量下每个点都是开集 ，从而每个子集都是开集.
所以在有限集合中，要求每个元素以致任意个元素的并也是开集，只有这样，才能与离散拓扑建立一一对应，也就是等价了。故在有限集合中如果不是离散拓扑，那么是不能与离散度量诱导的拓扑建立一一对应的，也就是不能度量化。
因此，对于一个有限集合，只有离散拓扑才能被度量化。