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星空浩淼
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 光子的位置算符杂谈 [文章类型: 原创]
通过定义新的内积，在该内积空间上，可以为有质量的粒子、以及质量为零的spin-0和spin-1/2的粒子引入位置算符。这种内积的合理性，可以在几何量子化那里找到理论证据。
但是光子的位置算符仍然是个问题：按照上述方法得到的位置算符，对于光子而言，光子位置算符的不同分量之间彼此不对易（这与光子的横极化特征相关，一个现象就是光子的Berry phase现象，例如光子在螺旋光纤中运行时，其极化方向将会发生转动）。位置算符的三个不同分量不对易，意味着光子在三维空间中不能同时确定三个位置坐标。有人试图构造出不同分量彼此对易的光子位置算符，可惜这样的位置算符不具备空间转动不变性，不是作为转动群的三维矢量出现。
在广义相对论中，比普通导数多出一些东西的协变导数，标志着引力场的存在使得时空弯曲。同理，我们知道AB效应，可以描述成由于规范势的存在，使得普通空间导数得换成协变导数，人们有时也把这个看作是由于电磁势的存在，使得空间发生某种方式的扭曲，使得AB效应得以发生（当然在这种类比的背后，有着很大的不同，前者涉及黎曼几何，后者涉及纤维几何，希望这个地方没有说外行话）。
实际上，还存在另外一类的东西。在量子力学中，形成共轭对的坐标与动量，总是存在某种对偶对称性。例如同一个量存在坐标空间中的表示，也存在动量空间中的表示，而且两种表示在数学上有相似性；由坐标空间表示或动量空间表示，到由坐标空间－动量空间构成的相空间中的表示，往往具有某种简单性和统一性。在上面，普通导数和协变导数都包含对时空坐标的导数。另一方面，在动量空间中，位置算符的表示，涉及到对动量的导数。这种导数有时候也要推广到“协变导数”，即多加上一个“势”，例如光子的位置算符就是这样的一个协变导数，它也代表某种“空间弯曲”，使得光子位置算符的不同分量之间彼此不对易，从而导致光子在螺旋光纤中运行时，极化方向发生转动，这就是光子的Berry相的来源。（光子的位置算符见上面的图形文件说明）
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发表时间: 2007-09-22, 20:55:29
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星空浩淼
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Re: 光子的位置算符杂谈 [文章类型: 原创]
补充一下：
上面提到光子在螺旋光纤中行进时极化方向发生转动，指的是光子每旋转一周时，极化方向不再指向原来的方向上。如果用几何语言来描述这种现象，就涉及到纤维丛上的和乐群（holonomy group)什么的。
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发表时间: 2007-09-22, 21:11:48
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北落师门
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 Re: 光子的位置算符杂谈 [文章类型: 原创]
为什么要加入后面的一项：i\lambda\alpha(k)?
84*5=420
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发表时间: 2007-09-22, 21:19:56
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星空浩淼
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Re: 光子的位置算符杂谈 [文章类型: 原创]
为什么要加入后面的一项：i\lambda\alpha(k)?
－－－－－－－－－－－－－－－－
这个不是一两句能够说清楚的，改天我睡眠补起来了再回答。
我楼顶的帖子，一粗心有一个笔误：位置算符，还要在对动量导数的前面乘以一个因子ih/2π，其中i是虚数单位，h是Planck常数，π是圆周率Pi。
这几天睡眠少，精神很差，很容易出错。
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发表时间: 2007-09-23, 09:13:02
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blackhole
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Re: 光子的位置算符杂谈 [文章类型: 原创]
楼主谈位置算符是在量子力学的范畴里谈的吧？那首先应该有光子的波函数了？但光子的波函数是什么？电磁4矢势？另外，也应该有几率流守恒定律吧？但光子最值得研究的情况是粒子数不守恒的情况。此时光子的量子力学是没有意义的。
又：谈到协变导数，这个事情可能很复杂。就连非相对论量子力学中引入曲线坐标而出现的协变导数就够头疼了。《大学物理》上关于此事有好几篇文章。
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发表时间: 2007-09-23, 09:54:27
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西门吹牛
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 Re: 光子的位置算符杂谈 [文章类型: 原创]
楼主谈位置算符是在量子力学的范畴里谈的吧？那首先应该有光子的波函数了？但光子的波函数是什么？电磁4矢势？另外，也应该有几率流守恒定律吧？但光子最值得研究的情况是粒子数不守恒的情况。此时光子的量子力学是没有意义的。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
非相对论量子力学中，波函数对应“概率密度幅”（模的平方对应概率密度）。到了相对论量子力学那里，波函数只有推广到“荷密度幅”、“能量密度幅”才有意义。当然也可以构造概率幅，但这样的概率幅存在一些问题。比如光子的具有概率幅意义的波函数，具有令人不安的非局域特征：波函数在某一点的取值，居然跟整个空间各处的坐标都有关。
可以这样说，经典电磁场理论本身，直接就是一次量子化意义上的量子力学的。而通常所谓电磁场的量子理论，则是指二次量子化意义上的量子场论。如果光子的粒子数算符跟时间无关，则粒子数是守恒的。
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发表时间: 2007-09-23, 10:12:01
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blackhole
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Re: 光子的位置算符杂谈 [文章类型: 原创]
到了相对论量子力学那里，波函数只有推广到“荷密度幅”、“能量密度幅”才有意义。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
那就是说此时允许粒子数不守恒但电荷和能量必须守恒了？那其实就是说谈论“粒子”没什么意义了，只能谈论“电荷”“能量”这些属性了。但离开了粒子如何谈属性？这在根本上似乎有问题。
另外，“光子的具有概率幅意义的波函数”到底是个什么样的东西？是不是四维矢势？还是其他东西？这个问题跟你这句“经典电磁场理论本身，直接就是一次量子化意义上的量子力学的”有关。
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发表时间: 2007-09-23, 10:33:36
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西门吹牛
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Re: 光子的位置算符杂谈 [文章类型: 原创]
blackhole：
对于自由场来说，粒子数应该是守恒的
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发表时间: 2007-09-23, 11:11:56
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sage
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Re: 光子的位置算符杂谈 [文章类型: 原创]
非相对论量子力学中，波函数对应“概率密度幅”（模的平方对应概率密度）。到了相对论量子力学那里，波函数只有推广到“荷密度幅”、“能量密度幅”才有意义。当然也可以构造概率幅，但这样的概率幅存在一些问题。比如光子的具有概率幅意义的波函数，具有令人不安的非局域特征：波函数在某一点的取值，居然跟整个空间各处的坐标都有关。
Why isn't e^{ipx} \times polarization vector (after fixing a gauge) a good wave function for photon?
Why isn't e^{ipx} a good wave-function for a Klein-Gordon field?
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发表时间: 2007-09-23, 20:39:32
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星空浩淼
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 Re: 光子的位置算符杂谈 [文章类型: 原创]
Why isn't e^{ipx} \times polarization vector (after fixing a gauge) a good wave function for photon?Why isn't e^{ipx} a good wave-function for a Klein-Gordon field?
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这里谈论的波函数，是一次量子化意义上的、类似于非相对论量子力学中的那种波函数的波函数。例如，可以利用这些波函数ψ(x)和内积（φ，ψ）来计算角动量的平均值（ψ，Jψ），其中J是角动量算符。
这里再回复一下北落师门兄的问题：光子的动量算符对应空间平移群的生成元，它总是存在的。利用动量算符的本征态，可以得到光子的动量波函数（即Hilbert空间中的态矢|ψ>在动量算符的本征态|p>上的投影：φ(p)=<p|ψ>）。由非相对论量子力学我们知道，位置算符对于位置波函数φ(x)=<x|ψ>而言相当于一个乘性因子x，动量算符对于位置波函数φ(x)=<x|ψ>而言是一个算符（包含对x的偏导。同理，动量算符对于动量波函数φ(p)=<p|ψ>而言相当于一个乘性因子p，位置算符对于动量波函数φ(p)=<p|ψ>而言是一个算符，即对动量的偏导乘以Planck常数（除以2Pi）和虚数单位。
但是对于光子而言，动量的偏导乘以Planck常数（除以2Pi）和虚数单位得到的传统位置算符，作用于光子的动量波函数时，要对波函数中所有的动量因子求导，由于光子的动量波函数包含极化因子，极化因子对动量的偏导不为零，因此传统位置算符作用于光子的动量波函数，除了得到位置矢量，还会多出来一项，因此只有让光子的位置算符在传统位置算符基础上减去一个量，它作用于光子的动量波函数时，才会析出一个位置矢量。
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发表时间: 2007-09-24, 01:43:31
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sage
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Re: 光子的位置算符杂谈 [文章类型: 原创]
Why isn't e^{ipx} \times polarization vector (after fixing a gauge) a good wave function for photon?Why isn't e^{ipx} a good wave-function for a Klein-Gordon field?
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这里谈论的波函数，是一次量子化意义上的、类似于非相对论量子力学中的那种波函数的波函数。例如，可以利用这些波函数ψ(x)和内积（φ，ψ）来计算角动量的平均值（ψ，Jψ），其中J是角动量算符。
Why don't the wave-functions I mentioned above satisfy these conditions?
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发表时间: 2007-09-24, 08:43:58
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星空浩淼
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Re: 光子的位置算符杂谈 [文章类型: 原创]
Why don't the wave-functions I mentioned above satisfy these conditions?
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要想作为传统意义上的波函数，在三维空间中，位置空间波函数的量刚必须为3/2，动量空间波函数的量刚必须为-3/2，它们都得代表概率幅，并且得满足相应的物理方程。但是在传统理论中，Klein-Gordon场和电磁场的基本场量量刚都是1，也没有概率幅的含义，并且不能利用它们定义的内积，来计算力学量算符的平均值。如果采用一些特殊表示，想办法构造电磁场和标量场的具有正确量刚的、具有概率幅含义的波函数，则发现这样的波函数存在很不好的如前所说的非局域特征。
对于自由电磁场，可以用电磁场场强构成的旋量表示作为光子的波函数，此时的波函数量刚为2，具有“能量密度幅”的含义。
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发表时间: 2007-09-24, 09:34:05
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