复双曲流形和Klein 群。

在研究低维拓扑的时候，Thuston采用了Klein群。当实流形的研究extensively的时候，复流形就逐渐进入了眼帘。

尤其是复双曲流形。对于复双曲流形，也可以采取同样的方法。研究保持复双曲流形不变的群的离散群和原来流形的关系。CH（2）和PU（2，1）的研究是比较典型的。

复双曲流形的研究带给了这些群很多新的内涵，主要是因为复双曲流形比实双曲流形有更加丰富的几何结构。因为复双曲流形是变曲率流形，而实双曲流形是常曲率流形。在复双曲流形的边界上，有自然切触结构。正如Miner曾在Invention上发表了一篇论文，就是利用了这个切触结构构造了Carnot－Caratheodory度量，用来衡量流形的上的距离。这时，给出了PU（2，1）中运动子群的一种离散化准则，而离散化准则可以用来衡量流形的体积。

复流形自身就比实流形的内容丰富的多。