关于静电场唯一性定理的疑问
郭硕鸿《电动力学》第二章第二节静电场唯一性定理，介质中的证明时给了两个区域的边值关系，其中第二个偏导也就是两边的电位移矢量为什么是相等的呢？
俞允强老师的《电动力学简明教程》里给的证明就允许这两个电位移矢量之差有自由电荷面密度啊。
难道说不同的绝缘体之间的边界上一定没有自由面电荷吗?
另外，任伟《电磁场与微波技术》(电子工业出版社)第一章末提到一个亥姆霍兹定理，它说一个矢量场的旋度和散度给定，那么矢量也就确定了，最多相差一个积分常量，而利用给定的边界条件就可以确定该积分常量。
这个定理和唯一性定理似乎差别不大，不是吗？我理解为，至少把矢量场写成两部分，散度为0的和旋度为0的，后者作为一个标量场的梯度，它的散度就是泊松方程，但是前者就不太清楚了...
我想唯一性定理证明过程用到拉普拉斯方程，其本意是因为按照(数学物理方法中的)复变函数的理解，解析函数满足柯西-黎曼方程，所以就会有实部函数和虚部函数都满足拉普拉斯方程，归而谓之共轭调和函数。所以如果一个矢量场的散度和旋度都为0，我们有时也叫它为调和场，不知道我的理解对不对，但是感觉思路还是不太清晰...
数学物理方法里另有平面标量场一节，提到正对具体的平面场，找出适当的复势，并且涉及到保角变换，这个俺就暂时望洋兴叹了...
哪位大侠能指点一下，给个清晰的脉络图?
thx！
| 论坛嘉宾: blackhole zzzwp917 |
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超闲  发表文章数: 15
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星空浩淼  发表文章数: 799
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你问的这个问题，可能这里的本科生更容易回答。我尝试说一点:
“难道说不同的绝缘体之间的边界上一定没有自由面电荷吗?” --------------------------- 我记得只有良导体中才有自由电荷，而绝缘体中只有束缚电荷，束缚电荷被归结到极化强度中进行描述，或者归结到材料的介电常数中去了。 “它说一个矢量场的旋度和散度给定，那么矢量也就确定了，最多相差一个积分常量，而利用给定的边界条件就可以确定该积分常量。这个定理和唯一性定理似乎差别不大，不是吗？” －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 好像是这样。 “我想唯一性定理证明过程用到拉普拉斯方程，其本意是因为按照(数学物理方法中的)复变函数的理解，解析函数满足柯西-黎曼方程，所以就会有实部函数和虚部函数都满足拉普拉斯方程，归而谓之共轭调和函数。所以如果一个矢量场的散度和旋度都为0，我们有时也叫它为调和场，不知道我的理解对不对，但是感觉思路还是不太清晰...” －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 我记忆中，如果一个矢量场的散度和旋度都为0，那么这个场横为零。调和场的定义不是这样的。 其实你的问题属于翻翻书就可以弄明白的。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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超闲 发表文章数: 15
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谢谢楼上了，其实就是一直疑问那个D2-D1=sigma在证明的时候都是用介质的，我总感觉是绝缘体，而没把归入介质。
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blackhole 发表文章数: 196
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只有良导体中才有自由电荷，而绝缘体中只有束缚电荷
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 绝缘体中可以有自由电荷，如靠摩擦起电得到的电荷或人为放置的电荷。它然后可使介质极化，出现极化（束缚）电荷。 其实就是一直疑问那个D2-D1=sigma在证明的时候都是用介质的，我总感觉是绝缘体 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 这个式子适用于一般情况。 中国是一个从上往下煽耳光,从下往上磕头的社会。
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blackhole 发表文章数: 196
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唯一性定理之所以值得作为定理提出，个人以为在于：通常来说，确定二阶微分方程需要边界（或初始）分布及边界导数分布（想想二阶常微分方程），但对于Poisson方程来说，虽然它是二阶方程，但确定其解只要知道边界分布或边界导数分布即可。二者如果同时知道反而很可能无解。
把矢量场写成两部分，散度为0的和旋度为0的，后者作为一个标量场的梯度，它的散度就是泊松方程，但是前者就不太清楚了... ～～～～～～～～～～～～～～～～～～· 前者是一个矢量场A的旋度啊，方程为\del ×(\del ×A))=0. 它应该是和laplace方程并列的方程，但可能是比较复杂，故提得少。 我想唯一性定理证明过程用到拉普拉斯方程，其本意是因为按照复变函数的理解 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～· 不对。复变函数中涉及得laplace方程只能是二维的，但Laplace方程本身可以是任意维数，而通常谈的唯一性定理则是三维的。 我记忆中，如果一个矢量场的散度和旋度都为0，那么这个场横为零。调和场的定义不是这样的。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 不对。在无电荷的空间，电场就是散度和旋度都为0。这件问题涉及到Helmholtz定理。我查了它的另一表述：对于一个在无限远处有界、完全正则的矢量函数，一定可以把它分为无散和无旋两部分。所以这个问题涉及到边界条件和是否正则的问题，例如点电荷产生的电场在点电荷处就不正则。 老实说，此前一直只听说过标量场作为调和场（即满足Laplace方程），但查了一下，发现矢量场也可以谈调和场，其定义就是散度和旋度都为0。 中国是一个从上往下煽耳光,从下往上磕头的社会。
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星空浩淼 发表文章数: 799
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我记忆中，如果一个矢量场的散度和旋度都为0，那么这个场横为零。
----------------------- 看来我记错了，应该是：如果一个矢量场的梯度和旋度都为0，那么这个场恒为零 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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blackhole 发表文章数: 196
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看来我记错了，应该是：如果一个矢量场的梯度和旋度都为0，那么这个场恒为零
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 初一看，以为你只是把“横”改为“恒”,故觉得很奇怪。细一看，原来还有一个“梯度”。 矢量场的梯度是一个二阶张量，定义为： dA=dx.\del A 所以，如果梯度为0，必有dA＝0，即矢量场是常矢量场。其旋度必为0。 中国是一个从上往下煽耳光,从下往上磕头的社会。
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诗化人生  发表文章数: 40
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：：所以，如果梯度为0，必有dA＝0，即矢量场是常矢量场。其旋度必为0。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 这一点不明白啊，常矢量场其旋度必为0？ 向青草更青处慢溯，
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超闲 发表文章数: 15
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这一点不明白啊，常矢量场其旋度必为0？
如果矢量是常矢量，也就意味着与位置无关，求导/偏导为0，所以旋度，梯度，散度都是0吧 I believe I can fly!
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诗化人生 发表文章数: 40
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呵呵，犯迷糊了，把常矢量场和恒定场搞混了，见笑见笑…
向青草更青处慢溯，
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Re: 关于静电场唯一性定理的疑问 
Re: 关于静电场唯一性定理的疑问