我好无语啊，兴致勃勃回答问题，打字打了半天，还自己做了一个图片，后来发现内力不够，要打坐70多小时！！在学术论坛发帖一次要70的内力？我什么时候才能熬到能在学术论坛正常讨论问题的地步啊？我还发现，超闲网友的总内力还不够70呀，那是如何发的帖呢？
　　希望站长看在我热心且辛苦的份上，高抬贵手不要删帖，晚辈还奢望站长能帮忙把帖子移过去。
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※


　　既然星空前辈点名要客栈里的本科生来回答，我就做点贡献吧，我知道的也不多，如有硬伤请各位高人及时指出，希望不要误人子弟。

：：郭硕鸿《电动力学》第二章第二节静电场唯一性定理，介质中的证明时给了两个区域的边值关系，其中第二个偏导也就是两边的电位移矢量为什么是相等的呢？

　　俞允强老师的《电动力学简明教程》里给的证明就允许这两个电位移矢量之差有自由电荷面密度啊。


　　难道说不同的绝缘体之间的边界上一定没有自由面电荷吗?
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　静电场唯一性定理要求研究的区域是可以均匀分区的。也就是每个小区域里介质的性质是均匀的。这样介质内部不会出现束缚电荷。只有在各个分区的交界面才存在束缚电荷。另外，介质交界面上不会出现自由电荷。而电位移矢量的法向分量跃变只与界面自由电荷密度有关，所以在没有导体存在的静电场唯一性定理中，第二个边值关系中两个偏导数相等，即电位移矢量的法向分量相等。你说的“两个电位移矢量之差有自由电荷面密度”是有自由电荷的情况，无导体时界面自由电荷面密度是零。


：：另外，任伟《电磁场与微波技术》(电子工业出版社)第一章末提到一个亥姆霍兹定理，它说一个矢量场的旋度和散度给定，那么矢量也就确定了，最多相差一个积分常量，而利用给定的边界条件就可以确定该积分常量。
　　这个定理和唯一性定理似乎差别不大，不是吗？我理解为，至少把矢量场写成两部分，散度为0的和旋度为0的，后者作为一个标量场的梯度，它的散度就是泊松方程，但是前者就不太清楚了...
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　我们老师讲的亥姆霍兹定理是：“一般的有源有旋场可以表示为无旋有源场（纵场）与无源有旋场（横场）之和，且这种分解是唯一的。”你后面的疑问具体论述请见附图。
　　另外，矢量场的唯一性定理和静电场的唯一性定理并不相同。后者是前者的特例。郭硕鸿《电动力学》中讲的是静电场的唯一性定理。我们老师讲的矢量场唯一性定理是：“在以S为界面的区域里，若已知矢量场的旋度和散度，以及矢量场在边界上的法向或者切相分量，那么这个矢量场在S内唯一确定。”我个人感觉是和亥姆霍兹定理很像。把亥姆霍兹定理倒过来，如果已知那个无旋有源场的散度和无源有旋场旋度，在加上边界条件，那么这个场不就确定了吗？


：：我想唯一性定理证明过程用到拉普拉斯方程，其本意是因为按照(数学物理方法中的)复变函数的理解，解析函数满足柯西-黎曼方程，所以就会有实部函数和虚部函数都满足拉普拉斯方程，归而谓之共轭调和函数。所以如果一个矢量场的散度和旋度都为0，我们有时也叫它为调和场，不知道我的理解对不对，但是感觉思路还是不太清晰...
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
你的想法是对的，我发现你想问题很深入。证明过程中用到Laplace方程是因为静电场的势函数满足Laplace方程。不仅仅在证明中，我们在解决静电场问题时经常利用Laplace方程。课本上只说在每一个没有电荷分布的区域内，电势满足Laplace方程，却没有具体证明为什么。下面我将简要说明。
　　先说一下调和函数和共轭调和函数。函数在某区域上有二阶连续偏导数，且满足Laplace方程，那么这个函数称为在这个区域上的调和函数。事实上，如果两个函数满足C-R条件，那么他们必然同时满足Laplace方程。这样一来，一个解析的复变函数的实部和虚部必然满足Laplace方程，那么必然是调和函数。同时他们又是同一个复变函数的实部和虚部，所以又特别地叫做共轭调和函数。
　　调和场是说，如果一个矢量场既是势场又是无源场，那么称这个矢量场为调和场。势场要求旋度为零，无源场要求散度为零，调和场也就是旋度和散度在场内任一点均为零的场。星空前辈说，如果一个矢量场的散度和旋度都为0，那么这个场恒为零。我记得老师当时也这么讲，但我认为有问题。比如说，一个点电荷激发的静电场，除点电荷所在点外，场的任意一点散度均为零，同时场的散度为零，那么这个由点电荷激发的静电场除点电荷所在点外是调和场。调和场的势函数必定满足Laplace方程。证明如下：如果矢量场A是调和场，按照定义，必然存在一个势函数φ，使得A＝－grad(φ),又因为散度为零，即div(A)=0，那么把A代入，就有div(－grad(φ))=0.也就是 △φ＝0.这就是Laplace方程。上一段说函数在某区域上有二阶连续偏导数，且满足Laplace方程，那么这个函数称为在这个区域上的调和函数。因为无源无旋场满足Laplace方程，它的势函数是调和函数，所以我们叫它调和场。有一点很重要，就是由电荷激发的静电场除电荷分布的区域外都是调和场。也就是静电场中没有电荷分布的区域总满足Laplace方程。
　　静电场问题中用到Laplace方程是由于调和场的势函数满足Laplace方程。而你联想到的解析的复变函数的实部函数和虚部函数都满足Laplace方程似乎和本问题没有什么关系。

※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
再次希望站长高抬贵手，不胜感激！

　　

楼主热心回答他人问题，大家欢迎都还来不及，怎么会删你的贴呢？楼主过虑了:-)

非常感谢楼主这么详细耐心的回复啦！！！我用()来回贴吧。

1.我还发现，超闲网友的总内力还不够70呀，那是如何发的帖呢？
(我是刚刚注册，系统提示说过24小时就可以发贴的，然后就等了一天来发帖了，这个站注意n年了，都是潜水，刚好最近在重新看看电动力学感到困惑，想到这里每个贴都这么专业而耐心的回答，大牛多多，就跑过来发了一帖了，没指望得到这么热忱的回复啊，呵呵，thx！)

2.静电场唯一性定理要求研究的区域是可以均匀分区的。也就是每个小区域里介质的性质是均匀的。这样介质内部不会出现束缚电荷。只有在各个分区的交界面才存在束缚电荷。另外，介质交界面上不会出现自由电荷。
(我还是不明白，均匀介质内部为什么就不出现束缚电荷？书上讨论半天对P作散度，不就是想证明和束缚电荷体密度对应起来吗？或者你的意思是指束缚电荷面密度，所以在中间部分讨论体积的时候，因为极化电荷总是成对出现的，所以本来就是中和的。。。另外，我前面的帖子只是想确认一下，自由电荷面密度是不是只有出现在导体表面上这样一种情况，所以对E做散度得到的自由电荷密度和束缚电荷密度，一般都是不会同时出现的?)

3.而电位移矢量的法向分量跃变只与界面自由电荷密度有关，所以在没有导体存在的静电场唯一性定理中，第二个边值关系中两个偏导数相等，即电位移矢量的法向分量相等。你说的“两个电位移矢量之差有自由电荷面密度”是有自由电荷的情况，无导体时界面自由电荷面密度是零。
(如果没有自由面电荷，那么这个就没有什么好说的了^_^)

4.：：另外，任伟《电磁场与微波技术》(电子工业出版社)第一章末提到一个亥姆霍兹定理，它说一个矢量场的旋度和散度给定，那么矢量也就确定了，最多相差一个积分常量，而利用给定的边界条件就可以确定该积分常量。
　　这个定理和唯一性定理似乎差别不大，不是吗？我理解为，至少把矢量场写成两部分，散度为0的和旋度为0的，后者作为一个标量场的梯度，它的散度就是泊松方程，但是前者就不太清楚了...
(俺这段就是你画的那个图的意思，谢谢你把它画出来了!)

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
5.　　我们老师讲的亥姆霍兹定理是：“一般的有源有旋场可以表示为无旋有源场（纵场）与无源有旋场（横场）之和，且这种分解是唯一的。”你后面的疑问具体论述请见附图。
　　另外，矢量场的唯一性定理和静电场的唯一性定理并不相同。后者是前者的特例。郭硕鸿《电动力学》中讲的是静电场的唯一性定理。我们老师讲的矢量场唯一性定理是：“在以S为界面的区域里，若已知矢量场的旋度和散度，以及矢量场在边界上的法向或者切相分量，那么这个矢量场在S内唯一确定。”我个人感觉是和亥姆霍兹定理很像。把亥姆霍兹定理倒过来，如果已知那个无旋有源场的散度和无源有旋场旋度，在加上边界条件，那么这个场不就确定了吗？
(thx ^_^)

6.：：我想唯一性定理证明过程用到拉普拉斯方程，其本意是因为按照(数学物理方法中的)复变函数的理解，解析函数满足柯西-黎曼方程，所以就会有实部函数和虚部函数都满足拉普拉斯方程，归而谓之共轭调和函数。所以如果一个矢量场的散度和旋度都为0，我们有时也叫它为调和场，不知道我的理解对不对，但是感觉思路还是不太清晰...
--------------------------
　调和场是说，如果一个矢量场既是势场又是无源场，那么称这个矢量场为调和场。
(这个说法我不是很肯定了，书里方法直接把那个称为调和场，这里你的说法，和我之前问的，我不知道哪本书是不是这样称呼过矢量场，因为我看的是以前的笔记，重新看了一下，不太确定了...)


7.势场要求旋度为零，无源场要求散度为零，调和场也就是旋度和散度在场内任一点均为零的场。星空前辈说，如果一个矢量场的散度和旋度都为0，那么这个场恒为零。我记得老师当时也这么讲，但我认为有问题。比如说，一个点电荷激发的静电场，除点电荷所在点外，场的任意一点散度均为零，同时场的散度为零，那么这个由点电荷激发的静电场除点电荷所在点外是调和场。调和场的势函数必定满足 Laplace方程。证明如下：如果矢量场A是调和场，按照定义，必然存在一个势函数φ，使得A＝－grad(φ),又因为散度为零，即div(A)= 0，那么把A代入，就有div(－grad(φ))=0.也就是 △φ＝0.这就是Laplace方程。上一段说函数在某区域上有二阶连续偏导数，且满足Laplace方程，那么这个函数称为在这个区域上的调和函数。因为无源无旋场满足Laplace方程，它的势函数是调和函数，所以我们叫它调和场。有一点很重要，就是由电荷激发的静电场除电荷分布的区域外都是调和场。也就是静电场中没有电荷分布的区域总满足Laplace方程。
(thanks again!)

8.静电场问题中用到Laplace方程是由于调和场的势函数满足Laplace方程。而你联想到的解析的复变函数的实部函数和虚部函数都满足Laplace方程似乎和本问题没有什么关系。
(这个，是看到数理方程提到的，标量势和电通量，速度势和流量，温度分布和热流量，可以作为复变函数的实部和虚部满足C-R条件，知道其中一个，就可以算出另外一个/或者做出另外一个图，书上给了一个例子，然后又提到保角变换--以前没好好学过，所以就多次一问了。)

ok,差不多都搞清楚了，底下又有两位帮我重新回答了一下。没什么问题了，再次感谢^_^