量子力学中的自伴算符与厄米算符
大多数量子力学教材都认为在物理上自伴算符与厄米算符是相同的，但是也有极少数压根就不提厄米算符，比如dirac的，他在书上只定义了自伴算符。介于两者之间的一种做法是，仅仅在书中指出自伴算符和厄米算符在数学上是不同的，但是如何的不同却避而不谈（每次看到这个地方就心虚）。似乎将这一任务交给了数学家去做。
当然将算符认为是自伴的，这是我们处理物理所必须的做法，由泛函分析的“谱定理”知道，只有自伴算符，才能够有完备的本征函数组，对应过来，测量物理量时，测量值域恰好是谱。因此说这种假设是合情合理的。
但是不区分自伴算符和厄米算符有时候是会出问题的，该文末提供了一个例子 http://www.wanfangdata.com.cn/qikan/periodical.articles/dxwl/dxwl99/dxwl9904/990401.htm
文中提到“用式(2)表示的算符，虽然是厄米的，但却不是自伴的”，这句话不能理解，可能是我的数学功底不够。怎么计算这个算符是厄米却不自伴？我看了泛函分析相关的章节，还是没能理解这里的例子。希望有人能给解释一下。
| 论坛嘉宾: sage |
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一刀  发表文章数: 9
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星空浩淼 发表文章数: 799
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 我的上面回帖写得不够清楚，重新写一下（请昌海兄帮我删去上面的，谢谢）  One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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一刀 发表文章数: 9
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 谢谢师兄回复。我看了上面的定义，你说的大概是下面的意思： 1、厄米算符是定义在H的子空间上的 2、对称算符是定义在H的稠密子空间上的 3、如果F是对称的，并且F的伴算符的定义域等于F的定义域，那么F是自伴的 4、与我们的问题关系不大 有数学上的严格分析固然更好，但我更想知道的是结合物理上的解释，对dirac这个被人指责的算符（如图）例子来说，为什么是厄米的却不是自伴的，怎么得出来的呢？？？
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星空浩淼 发表文章数: 799
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谢谢师兄回复。我看了上面的定义，你说的大概是下面的意思：
1、厄米算符是定义在H的子空间上的 2、对称算符是定义在H的稠密子空间上的 3、如果F是对称的，并且F的伴算符的定义域等于F的定义域，那么F是自伴的 4、与我们的问题关系不大 对dirac这个被人指责的算符（如图）例子来说，为什么是厄米的却不是自伴的，怎么得出来的呢？？？ ---------------------- 应该是根据上面给出的厄米算符的定义1，和自伴算符的定义3，以及二者之间的差别而得来的。具体地需要数学论证，因此这仍然是一个数学问题，而不是你所需要的物理理解。 我猜想，答案的关键在于：这个算符在r=0处存在奇异点，因此它定义在H的子空间上的，而不是定义在H的稠密子空间上的。 我的泛函分析丢下很多年了，而且感觉这类数学问题讨论起来不容易（我的回帖其实取自我过去发表的论文，当时为了相关的内容论证，费了我很多时间），就看这里的数学高手能否回答了。对于物理学子而言，有时不必知道得那么精细，对于纯粹的数学技术问题，在自己无法亲自推导的时候，知道结论也行。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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星空浩淼 发表文章数: 799
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我刚刚看了楼主给出的关洪的那篇文章，原来这里r是径向坐标：0＜r＜+∞
这样一来，算符不是自共轭的原因，直接跟r不是在区间(-∞, +∞)上而是在(0, +∞)上有关。如果把坐标r看作力学量，而假定原动量算符自共轭的（即自伴的），则会推导出r的本征值范围在(-∞, +∞)上，这与0＜r＜+∞矛盾。其推导过程跟Pauli证明时间算符不是自伴的推导过程一样，时间算符不是自伴的原因也是因为能量的谱有下限，比如，自由粒子的能量E满足0＜E＜+∞。 进一步的分析我不太清楚，没有研究过。不过楼主如果想作一些研究，尽量以国际上比较权威一些的杂志为标准，以避免被人误导而瞎费功夫。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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一刀 发表文章数: 9
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能从数学上搞清楚这个问题固然更好,其实我更关心的是，不区分厄米和自伴，在物理上哪些情形下会出问题
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星空浩淼 发表文章数: 799
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能从数学上搞清楚这个问题固然更好,其实我更关心的是，不区分厄米和自伴，在物理上哪些情形下会出问题
－－－－－－－－－－－－－－－－ 物理上通常不怎么区分厄米和自伴，只有涉及量子力学的基础问题时，才钻些牛角尖。 事实上，人们认为“力学量算符必须是自伴的”这个要求太严格，应该把“自伴”推广到“极大对称”（前者是后者的一个特例），这即是POVM（正算子取值测度）理论。具体讲来比较费工夫，就免了:-) 物理上，只要算符的本征值是实数的，其他都好说，这样算符的厄米性和自伴性就没有严格区分。 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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季候风 发表文章数: 262
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据我所知大多数数学家不太关心定义域太小的算子. 毕竟对于无界算子, 还没有必要, 也很难把它们放在一起研究. 至于单独的无界算子, 都假设它稠定, 因为总可以把所考虑的 Banach 空间缩小为这个算子定义域的闭包. 在泛函分析教材上一般只见到对称算子和自伴算子.
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blackhole 发表文章数: 196
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星空浩淼在二楼对算符的分类很好，有时间值得仔细研读。
但 物理上，只要算符的本征值是实数的，其他都好说， ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 此言差已。关洪那篇文章谈Hermitian算符和自伴算符的区别，就是在强调作为表征力学量的算符，不只要求其本征值是实的，更重要的一点在于它有完备的正交规一本征态。而Hermitian算符不一定满足后一点。 实际上，表征力学量的算符，首先要求其本征态完备，其次要求其存在正交规一的本征态，最不重要的一条，就是本征值是实数。 而本人以为，这三条当中，最后这一条可以不需要。对这一条的强调大概源自Dirac。他的理由是：如果本征值是复数，即一次测量的值是复数，那就是两个实数。这就意味着同时做两次测量。但在量子力学中不一定能同时做两次测量。所以需要算符的本征值是实数。其实这里的推理过头了。加上“两个测量算符可对易”的要求，不就允许本征值（测量值）是复数了？去掉最后一条，满足前两条的算符是更大的一类，即正规（normal）算符。而且其“实部”和“虚部”（都是自伴算符）确实可对易。所以表征力学量的算符原则上等价于正规算符。 但另一方面，既然做一次正规算符测量归结于同时做两个可对易的自伴算符测量，为了理论简洁起见，也可以要求本征值是实数。这样做不是必须的，但是是可行的，不会引起问题。 所以，本征值是实数的要求是最不重要的一个要求。 另外，对于有限维Hilbert空间而言，Hermitian算符和自伴算符没有区别，此时可放心使用Hermitian算符。当然对于无限维空间而言，考虑二者的差别一般人（比如我。shy。虽然此前向大家讨教过，也一度认真读了好几本书，但一放下就仍是晕的）做不到。此时一般只考虑本征值实数性要求就大致ok了。这大概就是星空浩淼的意思。 无论如何，关洪的观点我认为很重要，很物理。 中国是一个从上往下煽耳光,从下往上磕头的社会。
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星空浩淼 发表文章数: 799
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关洪那篇文章谈Hermitian算符和自伴算符的区别，就是在强调作为表征力学量的算符，不只要求其本征值是实的，更重要的一点在于它有完备的正交规一本征态。而Hermitian算符不一定满足后一点。
-------------------------- 我不知道他的这一说法的根据在哪里 One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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一刀 发表文章数: 9
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谢谢大家。我很赞成blackhole的观点，这样逻辑上比较清晰。我后来看了关洪另一篇文章，他和blackhole的说法也不谋而合。我摘抄如下（该文章其他段落观点如何，我们暂且不管）：
××××××××××××××××××××××××××××××××××××× 第19 卷第5 期大 学 物 理Vol. 19 No. 5 2 0 0 0年 5 月COLL EGE PHYSICS May. 2000 在量子力学里先有算符,还是先有态矢 关 洪 (中山大学物理系,广州 510275) ～～～～前文略 一些教材在证明厄米算符的本征值必 定是实数之后,又去费力证明只有厄米算符的 本征值才是实数;进而推理说,因为动力学变量 的必定是实数的测量值,要同算符的本征值相 对应,由此得出必须要用厄米算符来描写动力 学变量的结论. 这种从算符性质出发的、貌似严 格的论证,其实是经不起推敲的. 因为,用一个实数固然可以描写一个实数, 但是用多个实数也可以描写一个实数. 一个复 数无非是一组两个实数,用它去描写一个实数, 完全是能够胜任的. 实际上,这种麻烦的办法如 果能够取得方便的代价的话,也是可行的. 例 如,在电学里表示一种确定频率的电量随时间 变化的因子cos (ωt ) ,等于复数的相位因子的 实部Re [ exp ( iωt ) ] . 于是就常常用复函数 exp (iωt) 去描写电学量的变化. 这样做的好处 是计算上的方便,只要把最后的结果取实部,就 能得到所需的答案. 所以,并不是只用实数,才 能同观察值相对应. 在量子力学里必定要用厄米算符(准确地 讲是自伴算符) 来描写动力学变量的真正原因, 是这种算符具有完备的本征函数组,可以用它 来作为任意态函数展开的基. 而只有存在着这 种展开,才得以在一般的情况下,实现态函数的 概率诠释. 这就像必须要有完备的一组三角函 数,才可以有傅里叶展开式,才能够做频谱分析 一样. 在量子力学里,厄米算符本征值的实性, 只是一种带来方便的副产品. 这就是从态函数 即概率幅出发而进行的推理. 由此可见,在这个问题上,上述两种观点的 出发点和推理步骤都是不同的,而从算符性质 出发的推理,在实际进行的时候,容易出现以上 所讲的一类本末倒置的毛病. 在那种推理里,本 征函数组的完备性,是作为厄米算符的一种附 带的具体性质来陈述的,难以使读者体会到其 中的根本意义. 结果,常常会看到不少读过量子 力学的学生,甚至教过这门课程的先生,都以为 这种完备性是可有可无的;因为没有谁告诉过 他们,这种完备性是量子力学基本原理里面所 必须含有的重要成分. 后文略～～～～～～～～～～ ×××××××××××××××××××××××××××× 星空浩淼是从数学上做了各种算子的准确定义，但是我总觉得跟我们的物理问题相离太远。我找了几本泛函分析，就是这种感觉 。也许正如blackhole所说，搞清楚这两个算符的区别，可能还有点困难（也许要期望在这里的师兄们继续出招指点了）。 似乎按关老的说法，自伴性算符就有完备的本征函数组。我在三楼贴的那个算符的本征函数组不完备因此算符是厄米而不自伴。在我们的物理问题上区分自伴和厄米应该是很容易的，并不象rudin的泛函分析或星空浩淼给出的那么复杂的定义。 PS：三楼那个算符的本征函数组不完备，我还不知道怎么算，感觉应该很简单的 好了，等待大家拍砖
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星空浩淼 发表文章数: 799
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因为,用一个实数固然可以描写一个实数,但是用多个实数也可以描写一个实数. 一个复数无非是一组两个实数,用它去描写一个实数,完全是能够胜任的. 实际上,这种麻烦的办法如果能够取得方便的代价的话,也是可行的. 例如,在电学里表示一种确定频率的电量随时间变化的因子cos (ωt ) ,等于复数的相位因子的实部Re [ exp ( iωt ) ] . 于是就常常用复函数exp (iωt) 去描写电学量的变化. 这样做的好处是计算上的方便,只要把最后的结果取实部,就能得到所需的答案. 所以,并不是只用实数,才能同观察值相对应.
---------------------------- 关洪老师的这段话是误人子弟。 本科阶段我看过一些关洪老师的文章（包括书）。但是到了后来，觉得他更像一个哲学家而不是物理学家。 如果你们想真的弄清量子力学中的一些基础问题，第一，泛函分析是必不可少的工具；第二，应该去看比较严肃的“量子力学基础”方面的书（而不是一些哲学式的夹生饭）。不具备第一条，就无法做到第二条。相对而言比较简单一点的书有： J.M. Jauch, Foundations of Quantum Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Philippines,1968. 关于POVM，近作有 P. Busch, Operational Quantum Physics, Springer-Verlag, Berlin, 1995. One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
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blackhole 发表文章数: 196
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我不知道他的这一说法的根据在哪里
～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 如果这么问，我就有点慌了。不过应该存在本征值为实数但本征态非完备正交的算符吧？ 另一方面，本人有点觉得，对Hermitian算符的定义似乎不是一定的。首先，正统数学书上似乎没有这一概念。只在物理里面才出现这一名词。而使用这一名词的著者，有的将其等同于自伴算符，有的为了强调“本征值为实数”与“本征态完备正交”是两码事，则将前者视为Hermitian算符。（否则哪争得起来啊？） 中国是一个从上往下煽耳光,从下往上磕头的社会。
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一刀 发表文章数: 9
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因为,用一个实数固然可以描写一个实数,但是用多个实数也可以描写一个实数. 一个复数无非是一组两个实数,用它去描写一个实数,完全是能够胜任的. 实际上,这种麻烦的办法如果能够取得方便的代价的话,也是可行的. 例如,在电学里表示一种确定频率的电量随时间变化的因子cos (ωt ) ,等于复数的相位因子的实部Re [ exp ( iωt ) ] . 于是就常常用复函数exp (iωt) 去描写电学量的变化. 这样做的好处是计算上的方便,只要把最后的结果取实部,就能得到所需的答案. 所以,并不是只用实数,才能同观察值相对应.
---------------------------- 也许关老举的这个例子不太恰当。但是关老认为dirac所言“复数力学变量对应两次测量”的确有误导之嫌疑。 比如，我假设一个算符的本征值只能是实数或纯虚数，问题又该如何考虑呢。 我赞同关老的说法，“实”性是由算符自伴性而来的，而算符自伴性对应本征向量完备，而本征向量完备正好是我们物理测量的一个合理假设（全部本征值肯定对应物理量的所有可能值）。
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blackhole 发表文章数: 196
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我赞同关老的说法，“实”性是由算符自伴性而来的，而算符自伴性对应本征向量完备，
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～· 这里恰恰有关洪的一个误区：对应本征向量完备（应该加上“正交”）的不是自伴算符，而是更广泛的正规算符。他的量子力学教材里有这样的话：选取厄米算符的原因全在于它存在完备正交的本征态。可见他确有这样的误区。 中国是一个从上往下煽耳光,从下往上磕头的社会。
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一刀 发表文章数: 9
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还想麻烦blackhole再解释清楚一些
那么“实”性是怎么来的呢？ 怎么理清楚这些逻辑关系？ 谢谢，拜托了
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blackhole 发表文章数: 196
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见本楼我的第一次发言
中国是一个从上往下煽耳光,从下往上磕头的社会。
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一刀 发表文章数: 9
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谢谢。又读了一遍，解释很清晰，明白是怎么回事了。泛函分析课本上那套感觉还结合不到物理上来，先不管了，至少物理上是清楚的。
你新发的那篇“关于普通测量、广义测量和POVM的心得”没太看懂，可能我基础不够好，一会再好好想下。
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元江  发表文章数: 86
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我量子力学已忘了很多，有个问题请各位帮忙解释一下。
量子力学的薛定锷方程(带电粒子，有规范导数)在直角坐标系中 的表示似乎比较容易理解。如果在柱坐标中，原点处的奇点好像 不太好处理。有谁处理过带电粒子在圆柱坐标中的薛定锷方程么？ 道可道，非常道
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toroid 发表文章数: 1
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 见图
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Re: 量子力学中的自伴算符与厄米算符 