\div { \vec{r} \dot r^(-3) } = 0 的计算 (r!=0)

很羞愧的再来问一个电动力学的数学问题(tex的语法可能是错的，没贴图权限，请见谅)：

1） r不为0的时候，上式按标量和矢量放在一起，按散度的公式，写成
div{ \vec{r} } \dot r^(-3） + \vec{r} \dot \grad(r^(-3))
然后算出来为0，这个很清楚，没有任何问题.

2）可是如果利用郭硕鸿的第一章第2题的公式:
\div { \vec{A(u)} } = \grad{u} \dot frac{d {\vec {A(u)} } }{du}

这里{\vec {A(u)} = \vec{r} \dot r^(-3) ，然后对u=r求导，似乎得到的就不为0了阿。

想了很久没想明白错在哪里了，之所以在乎它是因为这个公式是常用的，比如它的体积分是和\delta函数体积分对应的。。。有人路过顺带看一下吗? thx!

\vec{r} \dot r^(-3)不是r的函数，而是x,y,z的函数。

　　r连中间变量也不能做，只是用r表示起来公式更简洁。
　　由上图中的2、3式可以看出，向量r与标量r的表达式并不相同，并且向量r不可能用以标量r为自变量的函数表示出来。1式是错误的。
　　这个计算不适合套用那个公式。

　　另外，你说对u＝r求导，似乎把变量关系搞错了……

1)
\vec{r} \dot r^(-3)不是r的函数，而是x,y,z的函数。
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Q: 还是不很明白为什么，比如我可以写成\vec{r} = r \vec{e_r}啊, 能举一个\vec{A(u)}的例子吗?

2)
向量r与标量r的表达式并不相同，并且向量r不可能用以标量r为自变量的函数表示出来。1式是错误的。这个计算不适合套用那个公式。
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Q:但是我可以把向量r写成x,y,z轴三个分量，每个分量都用球坐标表示啊。再分别对x, y, z做r的偏导?

因为我觉得这和算曲线正交坐标系的线元h_idu_i中的h_i的方法是差不多的? 在曲线正交坐标系中，参数为u_i, i=1,2,3, 为了求出h_i，将它和直角坐标系做比较， 利用展开的公式

d \vec{r} =\Sigma{ \frac{\partial{ \vec{r} } }{\partial{u_i}} du_i }

= \Sigma{ h_i du_i \vec{e_i} }

所以有 h_i \vec{e_i} = \frac{\partial{ \vec{r} } } {u_i}

于是可以得到 h_i = \abs{\partial{ \vec{r} } } {\partial{u_i}}
=\sqrt{\Sigma{\frac{ \partial{x_i} }{\partial{u_i}} }

上面\abs表示取模(tex里一下子没找到，将就一下先，不好意思)，通常用这种方法就可以求出h_i的表达式。比如算球坐标，u_i = (r, \theta, \phi), 对应的求出h_i = (1， r, rsin{\theta})。这样，在计算h_1 = r的时候，取的u_1 = r,也就是上面的式子中，写成如下形式:

h_1 \vec{e_1} = \frac{\partial{ \vec{r} } } {r}

在这里，不就出现对r的偏导了吗?，所以至少我还是可以说\vec{r}是r的函数的吧？
不知道有没有问题，请不吝继续指教!

纠正一下：
于是可以得到 h_i = \abs{\partial{ \vec{r} } } {\partial{u_i}}
=\sqrt{\Sigma{\frac{ \partial{x_i} }{\partial{u_i}} }

应该是
h_i = \abs{ \frac{\partial{ \vec{r} } } {\partial{u_i}} }
=\sqrt{\sum_{j} { \frac{ \partial{x_j} }{\partial{u_i}} } }

寒，排版错误，用法也有些混乱\Sigma代表求和符号\sum，下次我装好tex先测试一下~

另外，你说对u＝r求导，似乎把变量关系搞错了……
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习惯这样说了，我的意思是 \frac{d }{dr}，这里是取u = r,后来回复的帖子也是这个意思。我想强调那个变量现在刚好是r， 正确的说法是？

latex我不熟也许没看清楚,我认为郭书中那个公式中间变量是指取标量.A(r)虽然可以看作r的函数,但是同时为方向的函数(因为你无法用标量r确定A).如果考虑到u是矢量那么郭的公式应该为
grad(A):grad(u)其中A,u都是矢量,A对u,u对r取梯度,:是张量的2次缩并.如果用球坐标该式也等于0

向量 \vec{r} 不是其长度的一元矢量函数，
也就是说，给定一个向量的长度并不能确定这个向量。

诗化人生讲得很清楚

矢量与矢量的模不能等同，不能混淆，如果A不能表示成模r的函数

谢谢楼上各位，已经明白了，这里的求导是不对的，和下面的偏导没有关系。或者说，郭的那个公式，实际上应该写成偏导再求和的。

简单说，\vec{r}不只是r的函数，还是角变量\theta和\phi的函数。
zzzwp917的那个公式是对的。
郭的那个公式本身没问题。

仅仅把blackhole和诗化人生的回答合起来，就能构成一个理想答案

\vec{r}不只是r的函数，还是角变量\theta和\phi的函数。
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是的