自量子力学产生之后，它在物理学中取得巨大成功的同时，人们开始试图为它建立一个严格而系统的数学基础，弄清该理论的整个框架构造，使之能够公理化。第一个比较系统地做这项工作的，是一代天才J. Von Neumann，他出过一本书《Mathematical Foundations of Quantum Mechancis》，此书成为历史上的经典。

然而，人们关于量子力学基础问题的争论从来就没有停止过（尽管此类课题在物理学中多少有些被边缘化）。其中围绕EPR的争论，对量子力学基础的进一步完善起了很大的推动作用，它使得量子力学的测量理论得以系统建立。如今成为物理学中新贵的量子信息与量子计算理论，就直接跟前面的这些工作有着密不可分的关系。关于量子力学基础问题的研究进展，如今早已不只停留在J. Von Neumann的那个年代，而是从传统“投影取值测度”（PV，又称“谱测度”）推广到“正算子取值测度”（POVM)，而广义测量理论在量子信息与量子计算理论中扮演重要的角色。有些文献可能把POVM中的M（即measure)翻译成“测量”，其中如果弄清它的数学来源之后，就知道应该是“测度”。

对算符F求平均值：<ψ|F|ψ>，它等于F的本征值f(i)乘以取该本征值的概率P(i)，再求和:
<ψ|F|ψ>=∑ f(i)P(i) （1）
但我们可以把这个方程两边同时剥去外衣<ψ|和|ψ>，直接露出赤裸裸的算符F本身，得到
F＝∑ f(i)μ(i) （2）
此时，称μ(i)为算子F的谱测度，上式称为算符F的谱分解。本来，矩阵也好，算子也好，谱分解不过是一个纯粹的数学事实，但是量子力学中，波函数（如果以|ψ>代表Hilbert空间中的矢量，那么通常所说的波函数，即是Hilbert空间中的泛函）代表概率幅，这使得(2)式所表示的谱分解，有更多的含义。例如在（2）式中，F的“算符性”由μ(i)来承载，因为本征值f(i)只是一个c数不是算符，而
<ψ|μ(i)|ψ>=P(i) （3）
从（3）式看，即算符μ(i)的平均值就是概率P(i)。因此谱测度μ(i)相当于一个概率算符！如果前面的求和是连续求和，那么谱测度μ(i)相当于一个概率密度算符。

在通常的量子力学中，谱测度μ(i)被称为投影算符，因为它是幂等的（它的平方等于它自己），而且利用它可以实现将某个矢量向μ(i)中包含的某个矢量上进行投影。
与此相应地，传统量子力学中，要求可观察量对应的算符是自共轭的，这类算符的谱分解中，谱测度对应投影算符。

但是传统量子力学存在局限性，需要扩展。比如，我们的测量，不一定对一个系统整体进行测量，而是对一个系统中额达某个子系统进行（严格说来，我们无法把观察者和被观察对象分离开来），此时算符的谱分解中，谱测度不一定对应投影算符。再例如，有些可观察量，例如时间，相位差等等，它们并不对应自共轭算符。

为了推广量子力学可观察量的概念（即不一定对应自共轭算符），我们需要推广算符的谱分解（2），使得其中的谱测度μ(i)不必对应投影算子，而是把投影算子看作它的特例。由（3）式可知，谱测度相当于“概率算子”（或“概率密度算子”），因此，在正统量子力学中它对应投影算子只是一个偶然，这并不表明它直接与投影算子等同，它应该对应更一般意义上的“概率算子”（或“概率密度算子”），从而谱测度μ(i)可以一般地推广到“概率测度”。由于概率测度非负，所以此时的谱测度称为“正算子取值测度”（POVM）。只要谱测度μ(i)对应POVM，（2）式表示的算符，均对应可观察量，此时这样的算符不一定是自共轭的。

但是，为了与传统区分开来，谱测度常常是指可以解释成投影算子的那种。一个算符是谱测度意义上的，还是POVM意义的，关键取决于所取的Hilbert空间（即算符的表示空间）。有一个定理是说：每一个POVM，存在一个谱测度的“膨胀”（dilation）。例如，假定Hilbert空间H(1)是H(2)的子空间，算符F在H(2)中存在谱测度分解，那么它在H(1)上的压缩compression（或限制restriction）记为E，假定E在H(1)中存在POVM分解，此时F是E在H(2)中的dilation。

需要提醒的是，dilation与扩张extension是两种概念，一个POVM意义上的算符，不一定存在谱测度意义上的extension，除非该算子的正负亏指数deficiency index相等。但是dilation就不存在这个限制：每一个POVM，都存在一个谱测度的dilation。换句话说，当闭对称算子的两个亏指数（deficiency index）相等时，才存在自共轭扩张（extension）。但是，如果这个算子存在POVM分解，则即使亏指数不相等，同样存在自共轭dilation。

一个应用实例：
按照传统量子力学公理，每一个可观察量对应一个自共轭的力学量算符（不太严格地说，是Hermitian operators）。按照这个标准，时间就不是一个可观察量，因为不存在一个自共轭算符与时间对应。但是，时间的确是一个可观察量（例如事件的发生时间，粒子的量子隧道穿透时间，粒子的到达时间，粒子的衰变时间，能级寿命，等等）。因此传统量子力学在这一点上，跟实际不符。这就是说，量子力学告诉我们，每一个可观察量对应一个自共轭的动力学算符。然而，时间是可观察量，但是它并不对应自共轭的动力学算符。所以这里就有一个矛盾。另外，相位差也是可观察量，但它并不对应自共轭的动力学算符。因此有人认为，量子力学的这条公理“每一个可观察量对应一个自共轭的动力学算符”，需要推广。时间是一个外在的演化参数，但是这仅仅是时间扮演的角色之一。

为什么不存在一个自共轭算符与时间对应？这是因为，能量E取值并非在整个实轴上，能量E取值不是在正负无穷大之间，而是永远至少存在一个下限。这点跟空间坐标之于动量，是不同的。但是，如果假设有一个无穷大的空间屏幕把空间分隔成两半，考虑粒子在屏幕的一边沿垂直屏幕的一维空间上运动，则可以证明，此时粒子的动量算符也不是自共轭的。

为了解决这个疑难，人们认为，应该放宽力学量算符的自共轭要求。相应地，把传统“投影取值测度”（PV，又称“谱测度”）放宽为“正算子取值测度”（POVM)，传统的测量理论推广到“广义测量理论”（这是量子信息理论中要涉及到的）。

比较有代表性的文献有：
1) G. Ludwig, Foundations of Quantum Mechanics, Springer-Verlag, 1983
2) V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory, Springer-Verlag, 1985
3) J. M. Jauch, Foundations of Quantum Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1968.
4）P. Busch, M. Grabowski and P. J. Lahti, Operational Quantum Physics, Springer-Verlag, 1997.

本论坛上，据我所知的，到目前为止，对量子信息与量子计算比较懂行的，当属刚刚去美国攻读博士学位的yinzhangqi兄。希望yinzhangqi兄有所补充。

然而，人们关于量子力学基础问题的争论从来就没有停止过（尽管此类课题在物理学中多少有些被边缘化）。其中围绕EPR的争论，对量子力学基础的进一步完善起了很大的推动作用，它使得量子力学的测量理论得以系统建立。如今成为物理学中新贵的量子信息与量子计算理论，就直接跟前面的这些工作有着密不可分的关系。关于量子力学基础问题的研究进展，如今早已不只停留在J. Von Neumann的那个年代，而是从传统“投影取值测度”（PV，又称“谱测度”）推广到“正算子取值测度”（POVM)，而广义测量理论在量子信息与量子计算理论中扮演重要的角色。有些文献可能把POVM中的M（即measure)翻译成“测量”，其中如果弄清它的数学来源之后，就知道应该是“测度”。
==========================================================

As much as I value the work on foundation of quantum mechanics, I don't think it is really about its mathematical foundation. It is the understanding of measurement, which is probably not crucially depending on how to define a measure in the mathematical sense. It appears already in system with very well-defined states and operators.

to sage兄：
这里的术语“数学基础”跟我们日常所理解的，可能有些不同，“量子力学的数学基础”更象是“量子力学的数学模型”。

关于测量理论，以及该理论的现代“进化版”，都可以用完全数学化的语言来描述。这有点像当年人们为了寻找其他可能存在但尚未发现的量子场，就去寻找彭加勒群的所有可能的表示一样，甚至还要数学化。量子力学中的测量，完全被变成一个数学模型来进行研究（这也是量子力学众多阐释派别中，逻辑学派最擅长的方法）。如今的测量理论，主要考虑到了主客体不可分，观测者和观测仪器与被观测对象构成一个整体，一个更大的量子力学对象，而不是象过去那样，把被观测对象单独分离出来进行研究。

这里的术语“数学基础”跟我们日常所理解的，可能有些不同，“量子力学的数学基础”更象是“量子力学的数学模型”。
====================================
The trouble of our understanding is not mathematics, it is dynamics. The puzzle could be completely understood with pretty elementary mathematics.


关于测量理论，以及该理论的现代“进化版”，都可以用完全数学化的语言来描述。
=========================================
I am sure you can describe everything in mathematics. However, it does not automatically solve the problem. You could cast the complete Aristotlian physics in terms very rigorous mathematics. It is still wrong.

这有点像当年人们为了寻找其他可能存在但尚未发现的量子场，就去寻找彭加勒群的所有可能的表示一样，
This is not how supersymmetry is discovered, if it is what you allude to.

量子力学中的测量，完全被变成一个数学模型来进行研究（这也是量子力学众多阐释派别中，逻辑学派最擅长的方法）。

Does it lead anywhere? Any new physics insights?

如今的测量理论，主要考虑到了主客体不可分，观测者和观测仪器与被观测对象构成一个整体，一个更大的量子力学对象，

Sure. it was this way since Heisenberg.

而不是象过去那样，把被观测对象单独分离出来进行研究。
It could still be describe without understanding how to define a measure in mathematical sense.


Again, I am not saying all these mathematical work is not interesting. It is probably making some better tools for something. However, since you mention things like EPR, it is a fundamental question about dynamics, not mathematics.

Again, I am not saying all these mathematical work is not interesting. It is probably making some better tools for something. However, since you mention things like EPR, it is a fundamental question about dynamics, not mathematics.
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
sage兄在前面谈到的观点我同意，也很中肯。只是有一点：数学本身虽然不能替代物理，但是它可以描述物理。例如你上面提到“EPR是动力学问题而不是数学问题”，而我的意思在于“动力学问题可以通过数学来描述，或者说，动力学问题也要通过数学来描述”。一旦一个物理问题用数学来描述时，可以把这个描述看作是这个物理问题的数学化身。

而我的意思在于“动力学问题可以通过数学来描述，或者说，动力学问题也要通过数学来描述”。一旦一个物理问题用数学来描述时，可以把这个描述看作是这个物理问题的数学化身。

Sure. However, we are usually not looking for more mathematical ways of describing things if we could understand the problem already using simple mathematics. We are probably more interested in the solution of the problem.

So, before one embarks on a new mathematical formalism, one should probably at least say why the simple way does not work, or why understanding the dynamical problem in the simple way does not capture of problem properly, and why the new formalism has a hope to work.

I don't think rigor for the sake of rigor has ever lead to anything.

　　我也并没看出从正交测量到POVM有什么原则上的突破。如果有，那应该是顶楼谈及的时间和相位差。但时间在POVM中到底是如何成为力学量的，具体如何，我并没有看出来。
　　我倒是倾向于认为二者在本质上是一回事，因为一个体系的POVM可以解释为一个大体系的正交测量局限在原体系中的结果。所以POVM更象是一个只是与人方便的东西。

sage兄关注从PV到POVM的动机和好处，这个讲起来比较技术一些（我利用网络借花献佛一下）：

以前研究的量子力学都是针对孤立的封闭系统，此时的量子测量理论是 von Neumann 正交投影测量理论（与PV对应)，是向被测力学量的本征函数族进行投影；而当我们研究开放系统的量子力学时，此时的量子力学出现三个新特点：
a）量子态可能是混的；
b）量子演化可能是非幺正的、不可逆的；
c）量子测量造成的投影分解可能是非正交的分解

POVM这个名词最初来源于文献[A.Peres, How to differentiate between non-orthogonal states, Phys. Lett. A, 128, 19(1988)]。该文首次引入广义测量概念来分辩一些非正交的态。POVM是针对封闭系统的von Neumann正交投影理论向开放系统的推广，是完全测量向非完全测量的推广。与之对应的是广义测量理论。广义测量是指，在一个由若干子系统组成的大系统上进行正交测量时，在局部的子系统上所实现的局限性测量，称为广义测量，又称为局域测量。从大系统的角度来看，现在的子系统是个开放系统，对其进行的观测是片面的观测、局部的观测。广义测量也可以说成是对开放系统的量子测量。而传统的正交投影测量，是对对孤立体系所作的测量。广义测量不一定是正交投影。

张永德 《量子信息物理原理》讲述得比较清楚