相对性原理和光速不变原理从数学上不足以确定 Lorentz 变换的形式. 一般关于狭义相对论的书上都假定时空的齐性和空间的迷向性, 但推导的过程中都下意识地用了另一个假设: 如果 O' 系相对 O 系的速度是 v, 那么 O 系相对 O' 系的速度是 -v.

我觉得在得到 Lorentz 变换以前, 以上 "事实" 只能作为一个假设. 速度是严重依赖参照系的概念, 从逻辑上来说, 没有理由做以上假定.

实际上牛顿第一定律已经给出了很强的限制条件. 不受外力的物体在惯性系中必须保持静止或者作匀速直线运动. 它在惯性系中的 "时空轨迹" 必须是一条直线. 所以惯性系之间的变换必须把时空的直线映到另一参照系中时空的直线, 这样的变换只能是仿射变换 (线性变换复合平移).

相对性原理和光速不变原理说明这些变换必须保持光锥不变. 简单代数计算说明, 保持光锥不变的线性变换在时空间隔上的作用只能是伸缩, 伸缩系数不依赖于时空点, 而只依赖于变换本身.

现在需要进一步假设 "迷向性". 但这里的迷向不是空间的迷向(从物理上看, 没有一个独立于参照系的空间, 我甚至觉得不同参照系的方向之间 "平行" 这个概念都需要靠 Lorentz 变换来定义), 而是某种 "相对性原理", 即, 惯性系平权. 一个变换的逆变换的伸缩系数当然是原来伸缩系数的倒数. 既然惯性系平权, 不可能变换过去是 "伸" 而变换回来却是 "缩", 所以伸缩系数必须恒为 1.

这样, 从最少的假设: (1)惯性定律, (2)相对性原理, (3)光速不变, (4)参照系迷向, 我们得到 Lorentz 变换的最终条件: 保持时空间隔.

然后利用平移和空间旋转对称(都是子变换群)将一般 Lorentz 变换归结为单参数变换, 再用保持时空间隔的条件得出具体形式. 用这个单参数变换去计算 O' 的原点在 O 中的速度 v, 得到原来使用的参数和 v 之间的关系, 这样才写出标准的Lorentz 变换. 然后对这个变换求逆, 再用这个逆变换计算 O 的原点在 O' 中的速度, 才能下结论说这个速度是 -v.

原来还有这么多学文啊，我还以为就两个基本假设呢

两个惯性系A和B之间的相对速度，A看到B速度为V，则B看到A为－V，这个也许就跟牛顿力学中的“作用与反作用大小相等、方向相反”的公设类似。

如果按刚才说的程序导出 Lorentz 变换, 那么速度反向成为一个结论, 而不是假设.

对于物理学家来说这些其实都无所谓, 基本上是有逻辑洁癖的人自寻烦恼, 呵呵.

推导的过程中都下意识地用了另一个假设: 如果 O' 系相对 O 系的速度是 v, 那么 O 系相对 O' 系的速度是 -v. 速度是严重依赖参照系的概念, 从逻辑上来说, 没有理由做以上假定.
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　　确实用到了这个假设。但我并不认为逻辑上没有理由做此假定。速度严重依赖参照系又如何呢？只要有参考系就可以定义速度（在有了时间和长度的度量之后）。参考系的概念总是原始概念吧。
　　如果这一条不能用，那么下面这条能不能用：“你在我左边10米，那么我在你右边10米。”？这两条有着类似的东西，我认为都可以用。
　　这里的关键是：相对运动的结论能否用于此处？能。一则，相对运动的基本概念先于时空观，二则，这是相对性原理的要求。同一个相对运动，两人测出的相对速度能不同吗？

这样, 从最少的假设: (1)惯性定律, (2)相对性原理, (3)光速不变, (4)参照系迷向, 我们得到 Lorentz 变换的最终条件: 保持时空间隔.
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（4）是由（2）来的吧？可以去掉。另外，郭硕鸿的《电动力学》好像也是这种思路。手边没书，不确定。也不确定他是否用了相对速度那一条。

然后利用平移和空间旋转对称(都是子变换群)将一般 Lorentz 变换归结为单参数变换,
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什么是单参数变换？

arXiv:physics/0302045 Nothing but Relativity 也是讨论这一问题的。内容很简单，但有趣。

“逻辑洁癖”用得好，我也经常有。


另外，这篇帖子是否该移往琢玉坊啊。一家之言。

不同参考系选用的坐标框架之间的平行，我以前是通过“两个参考系的相对速度在两个坐标系中的分量都一样，除了可能的符号差异之外”来定义的

的确该发在琢玉坊的, 以前发贴习惯了, 不好意思.

不同参考系选用的坐标框架之间的平行，我以前是通过“两个参考系的相对速度在两个坐标系中的分量都一样，除了可能的符号差异之外”来定义的
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如果速度平行于坐标轴, 这个要求不能限制另外两个坐标轴的方向

你在我左边10米，那么我在你右边10米
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严格来说, 这个是 "平移变换的逆变换就是反方向的平移" 的推论. 呵呵. 只不过这个命题太平凡, 所以看上去更像是可以直接采用的结论.

那么 "平移变换的逆变换就是反方向的平移"能否直接承认？还是必须在导出Lorentz变换后才能作为推论给出？