标题: 漫谈 Calabi-Yau 流形
作者: 萍踪浪迹
什么是Kahler-Einstein度量？为了解释这个概念，让我们从Einstein的一个熟悉的典故说起，因为大家都熟悉，我就简略的谈谈再切入正题。
Einstein于1915年末得出广义相对论的场方程，1916年写出完整的综合报告，广义相对论被正式建立。1917年，他开始将这个全新的引力理论应用于宇宙学的研究。为了保持宇宙的静态，他臆测存在一个宇宙学常数λ，这样广义相对论场方程多了一项λg_ij，一旦考虑真空，能动张量为0，则有 R_ij=λg_ij，R_ij为Ricci曲率张量。
Einstein以错误的动机做了一件很可能正确的事情，这使他失去很大的荣耀却使后人有了很多paper可写。
毫不利己，专门利人，难道这位深明大义的物理学大师相信某某某主义吗？没有人知道。但是我们都知道他引入了一个宇宙学常数，那就是——λ（呵呵，用这一段恶搞一下）。
为什么说他“以错误的动机做了一件很可能正确的事情”呢？因为他的目的是为了让宇宙静止，但是宇宙实际上是运动的，可是后世的观测越来越倾向于表明宇宙学常数很可能是存在的。从数学上说，满足真空Einstein场方程的解的流形被称为Einstein，这是一个特殊的“伪Riemann流形（Psuedo-Riemannian manifold）。
数学家把Psuedo-Riemannian manifold的研究换成Kahler manifold，把其上的度规g_ij换成Kahler度规，如果也考虑到其Ricci曲率张量与Kahler度规成比例，那么我们说这个Kahler 流形满足真空Einstein场方程的解，称为Kahler-Einstein manifold。
如果比例常数λ=0，那么此时的Kahler manifold的Ricci曲率就是零了，这时候就是Ricci平坦的Kahler-Einstein manifold，这就是同样著名的Calabi-Yau manifold。所以说Calabi-Yau流形是满足宇宙学常数为零时的真空Einstein方程的解的Kahler流形。从最古老的内蕴几何开始，我们都是从度规出发，通过一步步求导，获取Riemann曲率张量，再缩并成Ricci张量，而反过来由Ricci曲率决定度规却要涉及困难的非线性偏微分方程的一系列课题，因此即使到现在，我们要写出一个满足Ricci平坦的度规g_ij仍然是很困难的，Yau的这个工作是非常了不起的。
近日产生巨大影响的The New Yorker上的文章Manifold destiny引起极大的争议，文中还把Yau与Calabi的关系，类比于Perelman与Hamilton的关系，足见可笑。因为在解决 Kahler流形上Ricci平坦度规的问题上，存在性比唯一性相比要难得多！我没有任何贬低Calabi这个成绩卓著的几何分析大师的意思，只是想说，在Calabi猜想方面，Yau的成就要重要得多，而Perelman与Hamilton的工作传承关系中，二者基本上是平分秋色的。
弦论要求额外空间为6维且有特殊的对称性，粗略说就是和乐群（holonomy group）为SU（3）的流形，为什么和乐群必须为SU（3）？
首先，物理上考虑，主要是因为要保持一个旋量不变，使得d=4，N=1的超对称成立，这时候要求是和乐群是SU（3），只有复三维Calabi-Yau流形正好可以满足d=4，N=1的超对称成立，而它的和乐群是SU（3），如果要d=4，N=2的超对称成立，则要求的流形的和乐群是SU（2），对应了第二个旋量不变性。这时考虑的K3曲面上（属于2维Calabi-Yau流形）的弦论。这些东西只是说明物理上为什么要用复三维Calabi-Yau流形。
其次，数学上说，迹形（orbifold）奇异性无法消除，但是光滑Calabi-Yau流形可以通过“吹胀（blowing-up）”获得，环面的和乐群太平凡，Ricci-flat决定了n维Calabi-Yau流形的和乐群是SU（n），因为其第一“陈省身数（Chern number）”为零，所以从U（n）约化为SU（n）。
（复）三维Calabi-Yau流形刚好符合这些苛刻的条件，因此1985年Candelas、Horowitz、Strominger、Witten四人发表了一篇关于Calabi-Yau流形在超弦中的基础作用的论文成为弦论的经典之作，由于C-Y流形是特殊Kahler流形，而Kahler流形是特殊的Hermite流形，Hermite流形是复流形。我们必须从复流形开始讲。
Calabi-Yau流形在进入弦论之前就被代数几何和微分几何学者深入研究。Calabi-Yau流形的紧致化（Calabi-Yau compactifications）和纤维化（Fibration）是弦论和几何学的重要课题。这使得C-Y流形的的研究成为最近二十多年的大热门。