标题: 从场量到波函数
作者: 星空浩淼

标准理论中，主要涉及三类场：自旋为零的标量场、自旋为1/2的Dirac场和自旋为1的矢量场，它们的描述形式差异很大。追求统一和美感是物理学家们喜欢干的事情，所以总是有人试图用相同的数学描述形式对不同的场进行统一的描述。因此，这才有了标量场的Feshbach-Villars 表示，此时Klein-Gordon方程可以写成Schrodinger方程形式，可以象量子力学中那样定义内积和算符的平均值，即此时的场量扮演波函数的角色——在非相对论极限下即为概率幅。当然人们意识到，在相对论量子理论那里Schrodinger 意义上的波函数概念应该推广，推广到能量密度概率幅、荷密度概率幅和粒子数密度概率幅。同样自由电磁场除了可以用电磁势描述（对应Lorentz群的 (1/2,1/2)描述），还可以用电磁场各三个分量的六分量旋量描述（对应Lorentz群的(1,0)+(0,1)描述），这个旋量想当于能量波函数。

然而，满足同样方程的解，原则上有很多种，例如彼此可以相差量纲因子。例如在标量场的Feshbach-Villars 表示中，波函数的量纲不再是原标量场的1，而是3/2（四维时空中）,这只需要在解的系数中去掉那个对能量开平方的倒数，此时波函数的内积对应无量钢的荷。这样一来，波函数不对应Lorentz群的标量表示，它不对应任何表示。类似地，对光子的波函数也可以这样取。不对应Lorentz群的任何表示，这会有问题吗？我看不会，否则非相对论量子力学没有意义。只要能给出Lorentz协变的可观察量，中间步骤也许可以放宽。

换句话说，标准理论中，总是会把场量取做Lorentz群的某个表示。但是在非相对论量子力学，不同自旋的粒子波函数，都有概率幅的含义，此时它们的量纲都是3/2，除了Dirac粒子之外，其它的都不对应Lorentz群的某个表示，但是非相对论量子力学仍然有着巨大的意义。如果由标准理论的量子场论取非相对论极限，除了Dirac场之外，其他的是不可能由各自的场量退化为概率幅意义上的波函数的，只有标量场的Feshbach-Villars 表示,电磁场的旋量表示，才可以完成这种非相对论过渡——自由空间中中的电磁场不存在非相对论极限，但是，例如波导中的电磁波等效于自由空间中有质量的粒子，就可以存在非相对论极限（群速远小于自由真空中的光速时）。