标题: 广义相对论需要什么数学 (写给初学者)
作者: 萍踪浪迹
曲面论中的大部分东西在GR中无法用上。但是有些核心的东西是非常重要的，首先度量（metric，物理上译为“度规”）是最基本的，需要掌握，自然需要知道什么是曲面的第一基本形式了。Christofeell符号需要掌握，并且要学会计算，Gauss曲率是Riemann截面曲率的特殊情形，需要掌握。测地线方程要非常熟练掌握，不然就不用学GR了。
张量分析非常重要，虽然现在很多文献都用整体的映射观点处理问题，但是局部的计算一般而言是无法避免的，这就必须用到烦琐的张量分析，张量分析素以指标繁多而著称，但是Einstein求和约定可以简化一部分写法。不会张量分析，基本上等于无法在GR上入门，造就的肯定是花拳绣腿。张量分析需要一定的线性代数基础，而且特别需要的是线性变换知识。
还必须掌握协变导数（微商），梯度，散度和旋度的一般表达式，掌握各种坐标中度量的表达式。
因为GR处理的四维时空，所以必须掌握Riemann几何学的基本概念，从Gauss定理出发，理解Riemann截面曲率，知道什么是常截面曲率空间，知道Ricci曲率，知道什么是Einstein空间，知道标量曲率。这些都不是初等微分几何的内容了。从这些看来，为学习GR而学习微分几何时，是要根据实际情况挑着学的。
平直时空对应的Minkowski空间已经和4维欧空间有很大的不同。那么弯曲时空对应的Lorentz流形（伪Riemann流形的一种）与4维 Riemann流形之间也有不少差别，比如一些刚性问题和完备性问题。这都提醒我们不要照搬Riemann几何教科书里的内容到GR之中。
时空的自微分同胚变换群是Lie群，所以最好掌握Lie群的基本概念，知道什么是Lie导数，知道什么是Killing矢量。掌握一些活动标架法有关的知识，这个工具被一些学者夸大了，因为它只在形式上使GR优美许多，但是没有那些学者宣扬得那么本质。掌握外微分和广义Stokes公式对理解流形的一些性质是有帮助的，在研究时空整体性质时，同调群和同伦群当然很重要，但是这不是初学者的事情了，所以我没有必要继续讨论这些拓扑学工具在GR中的应用。不过如果要看Hawking和Ellis的书的话，至少要掌握覆盖空间和泛（万有）覆盖空间这两个个概念（其实算一个概念，因为一个流形的万有覆盖空间可以覆盖它的所有覆盖空间，这就是“万有（universal）”的含义），掌握Penrose图的画法。
曲面论中的Gauss-Codazzi方程组需要掌握，因为在广义相对论中超曲面的研究需要这个方程组。微分几何中的很多东西如Weingarten变换就不必那么深究。但是测地坐标系要掌握。
以上是因为我们版上有同学因为对GR感兴趣而想学微分几何，我就写这点小小建议，写得比较零散，也不系统有序，大家凑合着看吧。希望对他以及其他有同样想法的同学有所帮助。