标题: 关于量子场论中的符号系统问题 — 给初学者
作者: blackhole
量子场论有代表性的书我手头有三本：1、卢里的《粒子和场》（中译本）；2、Weinberg的The quantum Theory of Fields；3、Peskin的An Introduction to Quantum Field Theory。第一本是场论入门的极好教材，容易读；第二本可以说是量子场论教材的巅峰之作；第三本可以说是现在量子场论的标准教材。但三本教材所用的度规和其他符号规定都不一样，这就苦了初学者。本人开始时也是一头雾水，无所适从，不知道它们到底有哪些不同，哪些相同，又如何在各种符号系统之间相互转化。所以我下定决心要把这件事情彻底弄清楚。
初学者可能会认为，它们所采用的平面波是不一样的，一个是Exp[ik•x]，一个是Exp[-ik•x]吗。其实并非如此。用各自的度规展开它们，就会发现，它们都是Exp[ik¯•x¯-iEt]（此处用k¯表示三维矢量，用k表示四维矢量，下同）。发现这件事时我很惊讶：一个这么简单事情，为什么迟迟没发现？继续往下走，它们相同的东西还有：
1、量子力学的基本替换：E→ið_t，p¯→-i▽，只是表现形式不同：p^μ→±ið^μ。
2、Fourier变换。
3、各种场的Lagrangian。例如，Dirac场的Lagrangian都为L=(Ψ^+)β(iβð_t+iβα¯•▽-m) Ψ。我原以为各人所采用的Lagrangian是不一样的。
4、Ψ\bar≡Ψ^+β（至于β与γ^0或γ^4的关系各不一样，故形式各不一样）。
5、自旋张量的空间分量Σ^(ij)= ε_(ijk) Σ_k=(-i/2)[ α_i, α_j]= (i/2)[ β α_i, βα_j]。注意：ε_(ijk)、Σ_k和α_i的指标在上在下是无所谓的，但Σ^(μν)不行。
6、{γ_μ, γ_ν}=2η_(μν)的形式一样。
场方程当然相同，但由于可以相差±号，故不列入。
以上相同的东西总体来说可以说是必须相同，没得选择。其实也不能这么绝对，但大致可以这么说。
那么，三教材不相同的东西就是可以自由选择的了。这有以下内容：
1、度规η_(μν)。
2、γ_5＝±iα_1α_2α_3中的±。
3、ε^(0123)或 ε^(1234)的值。
4、α_i和β所取的表象。
相同的东西和不同的选择结合在一起就构成了同一内容的不同表达。我把它们列了几张表(已发往stars_forum1@yahoo.com，信的名称为 metrics.rar by blackhole ）。表中三种度规的顺序同前面三本书的顺序。Fig1是初步的对比，fig2是各Lagrangian的对比，fig3是Dirac程式所涉及的各种符号，但未涉及α_i和β所取的表象。Fig4则涉及各书所取的具体表象，其中Donoghue是指他的Dynamics of the Standard Model。
可以看到，尤其是对于Dirac场的涉及γ_μ的种种公式，其形式五花八门。但把它们用原始的β和α¯表示后，就会发现它们几乎相同。
再罗嗦一句。表示厄米共轭的符号不是加号+，而是匕首符号\dagger。这一点许多学生不清楚，甚至包括一些大学教师。